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ENS Mathématiques 2 MP 2010

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresRéduction
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X-ENS
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2010MP MathsMaths 2010
2025_08_29_55bb425ffca84641a209g

Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices est interdit.

Notations

Dans tout le problème est fixé. On note et les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe . . sur ,
On note l'ensemble des matrices carrées de taille , à coefficients complexes,
Pour , on note l'adjoint de , c'est-a-dire la matrice définie par
On a alors, pour tous ,
On dit que est hermitienne lorsque et que M est antihermitienne lorsque . On note la matrice identité de taille et . subordonnée à la norme . à
Pour , on note l'exponentielle de , c'est-à-dire la matrice définie par
Lorsque est continue et périodique, on note la suite de ses coefficients de Fourier, qui sont les nombres complexes définis par
Lorsque est continue et périodique, on note la suite de ses coefficients de Fourier, qui sont les vecteurs de définis par
où sont les composantes de , c'est-à-dire
Les sommes infinies indexées par sont à comprendre comme la somme de deux sommes infinies indexées par ,
La série indexée par converge lorsque les deux séries indexées par ou convergent et on a alors l'égalité précédente.
Les parties ne sont pas indépendantes. Les résultats de questions non traitées peuvent être admis et utilisés dans les réponses aux questions suivantes, mais cela doit être clairement indiqué dans la copie.

Partie I

Dans cette partie, on fixe un entier et nombres complexes deux à deux distincts.
  1. On définit le déterminant par
(a) Montrer que
(b) En déduire que
  1. Soit . Pour , on définit la fonction par
Déduire de la question précédente que la famille ( ) est libre sur .

Partie II

Dans cette partie, on fixe deux matrices . Le but de cette partie est d'étudier les relations entre les énoncés et suivants.
[a] : Il n'y a pas de vecteur propre de dans le noyau de .
[b] : Pour tout , l'application suivante n'est pas identiquement nulle,
[c] : Pour tout , il existe tel que .
[d] : La matrice rectangulaire de taille définie ci-dessous est de rang ,
  1. On suppose que l'énoncé [c] est vérifié. Démontrer l'énoncé [d].
  2. On suppose que l'énoncé est vérifié. Démontrer l'énoncé .
  3. (a) Montrer que, pour tout il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à ( ) tel que .
    (b) On suppose que l'énoncé [b] est vérifié. Démontrer l'énoncé [c].
  4. On suppose que est diagonalisable sur et que l'énoncé [a] est vérifié. En utilisant la question 2 de la Partie I, démontrer l'énoncé [b].
  5. Quelle relation entre les énoncés peut-on en déduire?

Partie III

Dans cette partie, on fixe deux matrices et un vecteur . On suppose que est antihermitienne. On admettra que est diagonalisable sur .
  1. Montrer que pour tout et que les valeurs propres de sont imaginaires pures.
  2. Montrer qu'il existe une unique fonction solution de l'équation différentielle
Donner son expression explicite, en utilisant l'exponentielle de matrice.
3. Montrer que
En déduire que l'application est décroissante et que, pour tout ,
  1. Montrer que l'application admet une limite quand .
  2. On suppose que et vérifient la propriété [a] (cf Partie II) et que est constante.
    (a) Montrer que pour tout .
    (b) Montrer que . En déduire que .
  3. On suppose que et vérifient la propriété [a] (cf Partie II). Soit une suite de nombres réels dans telle que .
    (a) Montrer qu'il existe une application strictement croissante telle que la suite converge vers un point de .
    (b) On considère la solution de l'équation différentielle
Montrer que, pour tout , on a
(c) En déduire que et que .
7. On suppose que et vérifient la propriété [a] (cf Partie II).
(a) Déduire des questions précédentes que
(b) Soient les valeurs propres de (deux à deux distinctes). Montrer que pour .
(c) Montrer qu'il existe des constantes et telles que, pour tout ,
Indication : On pourra admettre la décomposition
où sont des entiers et montrer que, pour , on a où est un polynôme en , à valeurs matricielles, indépendant de .
8. Si et ne vérifient pas la propriété [a] (cf Partie II), a-t-on toujours la convergence (2) ?

Partie IV

Dans cette partie, on fixe deux matrices . On suppose que est hermitienne et que et vérifient la propriété [a] (cf Partie II). On admettra que est diagonalisable sur . On fixe également une application , de classe périodique, telle que .
  1. Montrer que est antihermitienne.
  2. Montrer que, pour tout , on a
En déduire que la série
converge.
3. Montrer que l'expression
définit une fonction dérivable par rapport à et par rapport à qui vérifie
  1. Montrer que

Partie V

Dans cette partie, on fait les mêmes hypothèses que dans la partie IV. On suppose de plus que , c'est-à-dire que les matrices et sont de taille .
Le but de cette partie est de démontrer que la convergence (5) est exponentielle, c'est-à-dire qu'il existe des constantes , ne dépendant que de et , telles que
  1. Montrer qu'il existe des constantes ne dépendant que de et , telles que, pour tout ,
  1. Pour et , on note et
(a) Quelle problème de Cauchy résout ?
(b) Montrer qu'il existe tel que, pour tout , pour tout et pour tout ,
(c) Soit et . Montrer que la fonction
est dérivable et calculer sa dérivée.
(d) Soit et . Montrer que, pour tout
où est une constante qui ne dépend que de et (par exemple, ).
(e) Montrer qu'il existe et ne dépendant que de et tels que pour tout et pour tout
(f) En déduire que
  1. Déduire des questions précédentes qu'il existe des constantes et telles que, pour tout et pour tout ,
  1. Conclure.
Dans ce problème, on a démontré que, sous la condition de Kalman sur la paire de matrices (i.e. la propriété [d] de la Partie II), le système hyperbolique linéaire (4) est hypocoercif : ses solutions ne vérifient pas forcément une inégalité de coercivité, c'est-à-dire
(où désigne la norme usuelle sur ) mais elles convergent néanmoins exponentiellement vite vers zéro dans . La preuve de la convergence exponentielle repose sur la recherche d'une norme , équivalente à la norme , pour laquelle on a l'inégalité

Fin de l'épreuve

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