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ENS Mathématiques C MP 2012

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2012
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2012MP MathsMaths 2012
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le présent sujet comporte 4 pages numérotées de 2 à 5 .

Avertissement et Notations

L'usage des calculatrices et téléphones portables est interdit.
L'objet de cette épreuve est l'étude des nombres de Pisot, qui interviennent dans différents domaines de l'arithmétique et de l'analyse. L'épreuve comporte quatre parties. Ces parties ne sont pas indépendantes (les parties 1 à 3 sont liées, la partie 4 ne dépend que de la partie 1). Les résultats de questions non-traitées peuvent être admis et utilisés dans les réponses aux questions suivantes, mais cela doit être clairement indiqué dans la copie.
Dans la suite, on notera (resp. ) l'ensemble des polynômes à coefficients dans (resp. dans ). On utilisera les deux définitions suivantes:
  • est un nombre algébrique, s'il est racine d'un polynôme non-nul de .
  • est un entier algébrique, s'il est racine d'un polynôme unitaire de .
Il est clair qu'un entier algébrique est un nombre algébrique, la réciproque étant fausse. D'autres définitions (dont celle des nombres de Pisot) sont données dans la partie 1.

Partie 1

  1. Soit un nombre algébrique. Montrer que est un idéal de . En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire, de degré minimal, et annulant . Le polynôme est appelé polynôme minimal de .
  2. Un polynôme est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer que si sont primitifs, leur produit l'est aussi.
Indication: On raisonnera par l'absurde. En notant et , on introduira un diviseur premier de tous les , ainsi que le plus petit entier pour lequel ne divise pas .
3. En déduire que si est un entier algébrique, alors .
4. On appelle nombre de Pisot un entier algébrique tel que:
i) .
ii) .
On note l'ensemble des nombres de Pisot. Montrer que .
5. Soit . On admet qu'il existe , et des nombres complexes de module strictement plus petit que 1 , tels que
En déduire que la série de terme général est convergente. On montrera dans la partie 3 la réciproque de ce résultat.

Partie 2

Dans toute cette partie,
désigne une série entière à coefficients complexes , de rayon de convergence (éventuellement infini). On note .
  1. On suppose dans cette question que est une fraction rationnelle, c'est-à-dire qu'il existe avec et pour tout . Montrer qu'il existe , des complexes non tous nuls , et tels que
  1. Réciproquement, on suppose qu'il existe , des complexes non tous nuls , et tels que (0.1) soit vérifiée. Montrer que est une fraction rationnelle.
  2. On suppose que est une fraction rationnelle. Montrer que les déterminants
sont tous nuls à partir d'un certain rang.
4. On suppose réciproquement que pour tout à partir d'un certain rang. On note le rang minimal. On souhaite montrer que est une fraction rationnelle. On suppose (le cas est trivial).
(a) Montrer qu'il existe des complexes tels que
soit nul pour tout .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que pour tout .
Indication: on pourra raisonner par récurrence, et montrer que si est nul pour tout , alors .
(d) En déduire que est une fraction rationnelle.
5. On suppose que est une fraction rationnelle, que l'on écrit sous forme irréductible:
avec et premiers entre eux dans , uniques à constante multiplicative près. On suppose de plus que est à coefficients dans pour tout .
On admet que les coefficients et peuvent alors être choisis dans et premiers entre eux dans leur ensemble. On supposera désormais ces deux hypothèses satisfaites.
(a) Montrer que les coefficients de sont premiers entre eux dans leur ensemble.
(b) En utilisant le théorème de Bezout dans , montrer qu'il existe et tels que .
(c) En déduire que divise les coefficients de .
Indication: on pourra s'inspirer du résultat de la question 2, Partie 1, en le généralisant aux séries entières.
(d) Conclure que .

Partie 3

Soient et tels que la série de terme général converge. L'objectif de cette partie est de montrer que est un nombre de Pisot. Pour tout , on écrit , avec et . On introduit aussi .
  1. (a) Montrer que les séries de terme général et convergent.
    (b) On introduit pour tout le déterminant . Montrer que
Indication: on utilisera sans démonstration le lemme d'Hadamard suivant: pour toute matrice réelle de taille , de colonnes , on a
ùé
(c) Déduire des questions précédentes que quand .
2. En utilisant les résultats de la partie 2 , montrer qu'il existe deux polynômes premiers entre eux, tels que et
  1. On garde les notations de la question précédente. Montrer que la série entière a un rayon de convergence , et que
  1. En déduire que est l'unique zéro de dans le disque unité ouvert.
  2. Montrer que quand . En déduire que est l'unique zéro de dans le disque unité fermé.
  3. En déduire que est un nombre de Pisot.

Partie 4

On rappelle pour cette partie le résultat suivant, démontré dans les parties précédentes:
Soit . Si est un nombre de Pisot, la série de terme général converge. Réciproquement, s'il existe tel que la série de terme général converge, alors est un nombre de Pisot.
Soit . On introduit, pour tout ,
  1. Montrer que la fonction est bien définie sur .
  2. Montrer que dans le cas pour tout .
Indication: on fera bon usage de la formule .
3. On suppose dans cette question que lorsque .
(a) Montrer l'existence d'un , d'une suite réelle convergente , et d'une suite d'entiers strictement croissante tels que:
On notera , et la limite des .
(b) Montrer que pour tout ,
En déduire que pour tout ,
(c) En déduire que est un nombre de Pisot.
4. On suppose dans cette question que est un nombre de Pisot avec .
(a) Montrer que , pour tout et pour tout .
(b) Montrer que le produit converge vers un nombre lorsque .
(c) Montrer que le produit converge vers un nombre lorsque .
(d) En déduire que lorsque .
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