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ENS Mathématiques C MP 2015

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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X-ENS
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2015MP MathsMaths 2015
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)L'utilisation des calculatrices électroniques est interdite.

On définit, pour tout le problème, la fonction Gaussienne donnée par .

I

a. Pour on pose
A l'aide du changement de variables , montrer que les fonctions et ont la même dérivée.
b. En déduire que
  1. Etant donnée une fonction bornée continue sur , résoudre l'équation différentielle ordinaire
  1. Etant donnée une fonction bornée continue sur , et posant , montrer que la fonction donnée par
est de classe sur et est solution de l'équation différentielle
Montrer aussi que
  1. Montrer que pour tous nombres réels , on a
Montrer que pour tout on a
avec . Pour ce faire, on distinguera les cas . En déduire que est bornée sur .
5) On suppose dans tout le reste de cette partie en outre que est de classe avec bornée sur . Montrer que
En déduire que pour tout , on a
où est une constante indépendante de . En définissant comme la meilleure constante possible dans cette inégalité, en proposer une majoration explicite.
6) Justifier que est de classe sur et que pour tout on a
où est une constante indépendante de . En définissant comme la meilleure constante possible dans cette inégalité, en proposer une majoration explicite.

II

Soit une suite de fonctions réelles positives continues par morceaux.
  1. En utilisant une intégration par parties que l'on justifiera, montrer que pour toute fonction de classe sur telle que et soient bornées sur , on a
  1. On suppose pour cette question que la suite est telle que et que pour toute fonction de classe sur telle que et soient bornées, on a
Montrer, en utilisant les résultats de la partie I, que pour toute fonction continue bornée, on a
  1. On suppose pour cette question que la suite est telle que est bornée indépendamment de et que pour toute fonction bornée de classe sur on a
a. Justifier que si est de classe sur et à support compact, on a
b. On considère une famille de fonctions bornées indépendamment de , de classe sur , telles que vaut 1 sur et 0 en dehors de . Montrer que si est de classe sur et telle que et soient bornées sur , étant donné et , il existe tel que
c. Montrer que si est de classe sur , bornée et de dérivée bornée sur , étant donné , il existe tel que
d. Montrer que le même résultat est vrai si est seulement de classe sur , avec toujours bornée et de dérivée bornée.
e. Déduire des questions précédentes que si est de classe sur et telle que et soient bornées sur , on a

III

Dans toute cette partie et la suivante, on suppose que est une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs réelles, sur un espace de probabilité. On suppose que les sont indépendantes, d'espérance nulle, de variance 1, et uniformément bornées en valeur absolue par une constante .
On pose, pour tout . On notera la probabilité et l'espérance.
Soit une fonction de classe sur telle que et sont bornées sur , et . Soit définie à partir de comme à la question I. 3).
  1. Vérifier que
  1. Pour entier dans , on définit . En utilisant les résultats de la partie I, montrer que
  1. En déduire que
  1. En utilisant le même type d'arguments, montrer que
  1. Déduire de toutes les questions précédentes que
  1. Montrer que pour tout nombre réel , on a
et montrer que la vitesse de convergence peut se majorer par un . On pourra par exemple encadrer la fonction indicatrice de l'intervalle ] - ] par des fonctions bien choisies.

IV

On garde les mêmes hypothèses qu'à la partie précédente, à savoir que ( ) forme une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs réelles, indépendantes, d'espérance nulle, de variance 1, et uniformément bornées en valeur absolue par une constante .
1)
a. En utilisant une propriété de convexité, montrer que pour tout et tout , on a
b. Montrer que pour et , on a
  1. En déduire que pour tout ,
  1. Comparer ce résultat à celui de la question III. 6) : quelle est la meilleure estimation quand tend vers l'infini (discuter selon les cas)?
a. On définit sur la fonction
Montrer que si on a .
b. En utilisant les hypothèses sur et l'inégalité , en déduire que pour tout et tout , on a
En déduire l'amélioration suivante du résultat précédent:
où .
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