J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques C MP 2016

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2016
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2016MP MathsMaths 2016
2025_08_29_2cd3cd8ec484fc809cfdg

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2016

filière MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - C - (ULCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On note
  • l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré ,
  • . pour tout ,
  • l'algèbre des matrices carrées à coefficients réels,
  • son élément unité,
  • exp l'exponentielle sur ,
  • la dérivée -ième de la fonction , pour , lorsque est un intervalle ouvert de et est -fois dérivable sur ; par convention ,
  • , pour , l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle fermé , de classe sur l'intervalle ouvert , admettant des dérivées à droite en 0 , et à gauche en , jusqu'à l'ordre et telles que soit continue sur pour ,
  • ,
  • les coefficients binomiaux: .
Les relations entre les 5 parties sont:
Ainsi, la partie 1 est utile pour résoudre la partie 2 mais les parties sont indépendantes des parties ( 1,2 ), etc.

1 Équation différentielle scalaire

Dans cette partie, on fixe . Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant.
Proposition 1 Il existe tel que la solution du système
vérifie pour .
  1. Justifier, pour tout , l'existence et l'unicité de vérifiant .
  2. Montrer que l'application suivante est un isomorphisme
  1. Montrer qu'il existe telle que et pour .
  2. Montrer la Proposition 1.
  3. La fonction évoquée dans la Proposition 1 est-elle unique?

2 Système différentiel

Dans cette partie, on fixe et . Le but de cette partie est de montrer l'équivalence entre les énoncés suivants.
  • (E1): est une base de .
  • (E2): Pour tout , il existe tel que la solution de
vérifie
  1. Justifier, pour tout et tout , l'existence et l'unicité de vérifiant (2.1).
  2. Exprimer en fonction de et . En déduire une reformulation de l'égalité de la forme .
  3. Montrer que, pour tout , il existe un polynôme tel que .
  4. Le but de cette question est de démontrer . On suppose que n'est pas une base de .
    (a) Justifier l'existence de tel que pour tout .
    (b) Que dire de pour ?
    (c) Soit tel que . Montrer qu'il n'existe pas de fonction pour laquelle la solution de (2.1) vérifie .
    (d) Conclure.
Jusqu'à la fin de la partie 2, notre but est de démontrer (E1) (E2). On suppose donc que (E1) est vérifié. On note les coefficients du polynôme caractéristique de :
et on définit une famille de par récurrence descendante, de la façon suivante
  1. Exprimer en fonction de et pour .
  2. Montrer que pour . En déduire que est une base de .
  3. Montrer que
  4. En déduire l'existence de telle que
  1. Soit et la solution de (2.1).
    (a) Quel problème de Cauchy la fonction
résout-elle?
(b) Notons la première composante de . Quel problème de Cauchy la fonction résout-elle?
10. Conclure.

3 Classe de Gevrey: résultats généraux

Dans cette partie, on fixe et .
Définition: Une fonction est dans la classe de Gevrey d'ordre sur si et s'il existe tels que
On note alors .
  1. Montrer que, si alors la fonction
est dans la classe de Gevrey d'ordre sur .
2. Montrer que contient les fonctions polynomiales.
3. Montrer que est un espace vectoriel.
4. Montrer que si alors leur produit est dans la classe de Gevrey d'ordre sur .
5. Soit et des constantes associées comme dans la définition ci-dessus. On suppose qu'il existe tel que pour tout .
(a) Montrer que, pour tout .
(b) Montrer qu'il existe tel que, pour tout
(c) Montrer que avec, par exemple, les constantes et .

4 Classe de Gevrey: exemples

On fixe . Le but de cette partie est de montrer que les fonctions et définies par
sont dans la classe de Gevrey d'ordre sur .
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que .
  3. Soit une suite de nombres réels tels que la série entière ait un rayon de convergence . Pour tel que , on note . Montrer que, pour tout , on a
  1. Dans cette question, on fixe et .
    (a) Montrer que, pour tout , on a
(b) En déduire qu'il existe une suite de nombres réels tels que pour tout vérifiant .
(c) Montrer que
(d) Montrer que, pour un certain indépendant de , on a
(e) Montrer que, pour tout alors .
(f) Montrer que ! pour tout .
(g) En déduire que .
5. Montrer que .
6. Soit . Montrer que la fonction est dans la classe de Gevrey d'ordre sur
7. Calculer et pour tout .

5 Équation de la chaleur

Dans cette partie, on fixe et une fonction .
  1. Montrer que
est bien défini, pour tout .
2. Montrer que toutes les dérivées partielles de sont définies et continues sur .
3. Montrer que sur et que pour tout .
4. En déduire que, pour tout polynôme pair , il existe une fonction et une solution du système
qui satisfasse pour tout .
ENS Mathématiques C MP 2016 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa