ENS Mathématiques C MP 2019

Soit un entier valant 1 ou 2 . On rappelle qu'une fonction polynômiale sur à valeurs complexes est un élément de .
Une fonction est dite bornée s'il existe une constante positive pour laquelle l'inégalité est vraie pour tout vecteur de .
Une fonction est dite à décroissance rapide si pour toute fonction polynômiale , la fonction est bornée sur . L'ensemble des fonctions continues à décroissance rapide est noté .
Une fonction est dite à croissance lente s'il existe une fonction polynômiale pour laquelle est bornée sur .
Pour toute fonction et tout multi-indice on pose

Par un abus de notation, si et , on notera la fonction dans les deux lignes qui suivent. On introduit les ensembles suivants :

Pour on considère les endomorphismes suivants de :

et les endomorphismes suivants de :

Pour tout élément de , la fonction est bornée sur . En particulier, par le théorème de convergence dominée, les deux fonctions

sont bien définies, continues et intégrables sur . On admet dans tout le sujet le Théorème de Fubini sur qui exprime l'égalité suivante pour les éléments de cet espace :

On notera dorénavant le nombre complexe précédent

et on pourra utiliser sans la justifier l'inégalité

Le but de ce sujet est de démontrer un résultat fondamental établi en 1974 et par la suite considérablement généralisé dans le cadre de l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires.

Les parties I et II sont indépendantes. La partie III utilise des résultats de la partie II. La partie IV utilise ceux des parties II et III. La partie V dépend de toutes les précédentes.

Soit ( ) un espace préhilbertien réel. On dit qu'une suite de converge faiblement vers si, pour tout converge vers ; ce mode de convergence sera dorénavant noté . On dit que converge fortement vers lorsque quand ; ce mode de convergence est classiquement noté .
(I.1) Démontrer que la limite faible, lorsqu'elle existe, est unique.
(I.2) Démontrer que la convergence forte implique la convergence faible.
(I.3) Démontrer que si et si converge vers , alors .
(I.4) Démontrer que si est de dimension finie, alors la convergence faible équivaut à la convergence forte.
(I.5) Soit une suite bornée. Démontrer que si et , alors .
(I.6) Soit muni du produit scalaire suivant pour

(I.6.a) En notant , montrer que la suite est bornée dans et que .
Indication: On pourra utiliser une intégration par parties.
(I.6.b) Montrer cependant que ne converge pas vers 0 .

Le reste du sujet se consacre à l'élaboration d'un cadre préhilbertien précis que l'on exploitera dans la partie pour assurer le passage à la limite dans un produit sans qu'aucune des deux suites ou ne converge fortement.

Dans cette section nous allons établir quelques propriétés de l'espace qui nous seront utiles pour la suite.

On admet dans tout le sujet que et sont des sous-espaces vectoriels du -espace vectoriel stables par les opérateurs et lorsque et par les opérateurs D et M lorsque .
(II.1) Soit . Montrer qu'en fixant l'une ou l'autre de ses variables, la fonction d'une variable obtenue est un élément de .
(II.2) Exhiber un élément qui ne s'annule en aucun point.
(II.3) Montrer que si et , alors la fonction

appartient à .
(II.4) Soit un sous-espace vectoriel de ne contenant que des fonctions bornées. On suppose que est stable par les opérateurs et pour . Démontrer que .
(II.5) Montrer que si , alors . Indication: On peut traiter cette question en utilisant la précédente.
(II.6) À l'aide du théorème de convergence dominée sur , établir la version bidimensionnelle suivante : si converge simplement vers 0 sur et s'il existe un élément telle que pour tout , alors

Dans cette section nous allons montrer qu'un endomorphisme de -espace vectoriel de commutant avec les opérateurs et est nécessairement une homothétie. Nous commençons par le cas d'une seule variable, où les opérateurs précédents sont simplement remplacés par D et M.
(III.1) Soit L un endomorphisme de -espace vectoriel de commutant avec M .
(III.1.a) En utilisant une formule de Taylor, montrer que si s'annule en , alors s'écrit où .
(III.1.b) Démontrer que si s'annule en , alors également.
(III.1.c) Soient et . Montrer que .
(III.1.d) En déduire l'existence d'une fonction telle que .
(III.1.e) Montrer que si L commute en plus avec D , alors L est une homothétie, i.e. qu'il existe tel que pour toute , on ait .
(III.2) Soit T un endomorphisme de -espace vectoriel de commutant avec tous les opérateurs et , pour .
(III.2.a) Soit et

Démontrer que est une surjection linéaire.

On admet l'égalité Ker , où désigne l'endomorphisme de avec I l'endomorphisme identité sur . La preuve de cette égalité est analogue à celle développée pour la question (III.1.a).
(III.2.b) Montrer que pour , l'application est constante sur l'ensemble .

La valeur que prend sur sera par la suite notée ; c'est un élément de .
(III.2.c) Montrer que pour tout l'application est un endomorphisme de commutant avec D et M .
(III.2.d) En déduire l'existence d'une fonction telle que pour tout couple de , on ait . Conclure.

Pour , on note la fonction de dans définie par la formule , où est le produit scalaire euclidien sur .
(IV.1) Pour on pose

(IV.1.a) Démontrer que pour est bien définie et continue sur .
(IV.1.b) Démontrer que pour est de classe en exprimant et .
(IV.1.c) Démontrer que pour et est bien définie et qu'il existe une fonction telle que . En déduire le caractère de .
(IV.2) En utilisant (II.4), montrer que .
(IV.3) Soit , montrer que pour tout .

Pour , on introduit sa transformée de Fourier :

(IV.4) Que vaut ? En déduire que .

De la même manière qu'en (II.6) nous avons établi un théorème de convergence dominée bidimensionnel, il est possible de démontrer un théorème de dérivation sous l'intégrale et une formule d'intégration par parties sur . Avec l'aide de tels résultats on peut démontrer les formules suivantes pour , que l'on admet jusqu'à la fin de l'énoncé :

(IV.5) Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout élément , , où est définie par .
(IV.6) On considère sur l'endomorphisme défini par .
(IV.6.a) Pour , montrer que

(IV.6.b) En déduire

Indication : Démontrer que les endomorphismes et de commutent.
(IV.7) En déduire que, pour , on a

où désigne la conjugaison complexe et le nombre complexe de la question (IV.5), dont on démontrera qu'il est réel et strictement positif.

Pour deux éléments on définit

On admet par la suite que l'expression définit une norme sur et que l'on dispose de l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante (cas complexe) :

Le sous-espace des fonctions de à valeurs réelles muni de est un espace préhilbertien ; c'est dans ce cadre que nous allons reprendre la notion de convergence faible introduite dans la partie .
Une suite de sera dite bornée si la suite est bornée dans .
On rappelle que pour tout élément , on a défini dans la partie IV sa transformée de Fourier, laquelle est notée .

Pour tout entier naturel on pourra utiliser sans preuve le résultat suivant : il existe une fonction paire à valeurs dans , identiquement égale à 1 sur le carré , identiquement nulle en dehors du carré et telle que pour .
(V.1) Soient et deux suites bornées de convergeant faiblement vers 0 dans cet espace (voir partie ).
(V.1.a) Montrer que pour toute fonction , les suites et convergent simplement vers 0 sur et que

(V.1.b) On suppose l'existence d'un compact en dehors duquel toutes les fonctions sont identiquement nulles. Montrer que pour tout on a , où et sont deux suites de telles que et convergent simplement vers 0 sur et

ainsi que

(V.1.c) En déduire (toujours en supposant l'existence de ) que si et sont bornées dans , alors .
Indication: On pourra montrer que .
(V.2) Montrer le Théorème de Rellich : soit un compact de et une suite bornée dans identiquement nulle en dehors de et convergeant faiblement. Si et sont également bornées dans , alors converge fortement.
(V.3) Pour cette dernière question étant donnés deux éléments et de on pose

On admet que est un produit scalaire sur et on y considère , deux suites bornées convergeant faiblement vers et . On suppose l'existence d'un compact en dehors duquel les éléments de la suite sont identiquement nuls. Démontrer que si et sont bornées dans , alors

où la divergence et le rotationnel d'une application sont définis par

Fin de l'épreuve