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ENS Mathématiques C MP 2021

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X-ENS
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2021MP MathsMaths 2021
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

VENDREDI 16 AVRIL 2021 08h00-12h00

FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATI QUES C (ULCR)

Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le thème de ce problème est l'étude des intersections atypiques: étant donnés deux ensembles et , une fonction et un sous-ensemble "exceptionnel" de , le graphe de ne peut pas rencontrer en beaucoup de points, sauf si la fonction est elle-même "exceptionnelle". La première partie, de nature plus algébrique, étudie le cas où la fonction est donnée par une fraction rationnelle, l'ensemble "exceptionnel" étant soit , soit l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont des racines de l'unité. La deuxième partie, plus analytique et totalement indépendante de la première, étudie le cas d'une fonction "transcendante" (par exemple ), l'ensemble exceptionnel étant un réseau du plan.

Notations

Si est un ensemble fini, on note son cardinal. Si est un ensemble infini on pose . Par convention est strictement supérieur à tout nombre réel.
Si est un sous-corps de on note l'ensemble des polynômes à coefficients dans , de degré inférieur ou égal à , et on note l'ensemble des fractions rationnelles avec et . L'inclusion de dans se prolonge en une injection de corps , et on se permettra dans la suite d'identifier à un sous-corps de .
Si est un intervalle de non vide et non réduit à un point on note l'ensemble des fonctions numériques de classe sur . Si et si est un entier naturel on note la -ième dérivée de .
Si est un ensemble et si est une fonction on note
l'ensemble de ses zéros et
son graphe.

Question préliminaire

  1. Soit un intervalle et un entier. Montrer que si vérifie , alors pour tout .

I Intersections atypiques et fractions rationnelles

Pour , avec premiers entre eux et , on note l'ensemble des pôles de et on note abusivement la fonction envoyant sur .

Fractions rationnelles et rationalité

Soit un sous-corps de et soit telle que soit un ensemble infini. On se propose de montrer que . On écrit , avec et pour certains entiers . On note .
2. (a) Soient . Montrer que l'application linéaire
n'est pas injective.
(b) Soient deux à deux distincts tels que
Montrer qu'il existe et tels que et pour . En déduire que .
(c) Soit telle que soit un ensemble infini. Montrer que .

Intersections avec le cercle unité

Soit . On dit qu'une fraction rationnelle est spéciale si l'ensemble
est infini. On se propose de décrire les fractions rationnelles spéciales.
Si on note son conjugué. Si on note
Dans les questions 3 à 5 on fixe , avec et . On pose et .
3. (a) Soit . Montrer que si et seulement si 1.
(b) En déduire que est spéciale si et seulement si .
4. Montrer que si alors est spéciale. Que vaut pour et pour ?
5. On suppose que est spéciale.
(a) Soit . Montrer que si et seulement si .
(b) Montrer que si alors il existe et tels que .
(c) Montrer qu'il existe des entiers avec et tels que
On pourra écrire et raisonner par récurrence sur le nombre de racines de .

Racines de l'unité

Soit l'ensemble des tels qu'il existe un entier vérifiant , i.e. est l'ensemble des racines de l'unité dans . On se propose de décrire les fractions rationnelles telles que .
Pour on pose et on note
Ainsi est un sous-corps de .
On note l'indicatrice d'Euler et on rappelle que et que si est la factorisation de , alors . On admet le résultat suivant:
Théorème 1 (admis). Pour tout le corps est un -espace vectoriel de dimension .
On fixe dans les questions 6 à 12 une fraction rationnelle telle que . On suppose qu'il existe une suite strictement croissante d'entiers tels que pour tout on a et .
6. Montrer que pour tout il existe un unique tel que
  1. Montrer que .
  2. (a) Soit un polynôme tel que . Calculer .
    (b) Calculer et en déduire que la suite converge.
  3. On suppose qu'il existe un entier tel que pour tout . Montrer qu'il existe tel que .
  4. En utilisant le résultat établi dans la question 2 b , montrer qu'il existe un entier tel que .
  5. Soit un entier, et notons . On suppose que . On écrit avec premiers entre eux et . Soit le PPCM de et .
    (a) Montrer qu'il existe tels que .
    (b) En utilisant le théorème admis, montrer que , puis que et que .
  6. Montrer qu'il existe un entier tel que pour tout et qu'il existe tel que .
  7. Décrire les fractions rationnelles telles que .

II Intersections atypiques: le cas transcendant

Courbes et fonctions transcendantes

Un intervalle de sera appelé non trivial si est non vide et non réduit à un point. Si est un intervalle non trivial et si , on dit:
  • que est plate en un point si pour tout , c'est-à-dire si toutes les dérivées successives de s'annulent en ;
  • que est transcendante si pour tout et tous polynômes , non tous nuls, la fonction n'est plate en aucun point de .
  1. Soit une suite de nombres réels telle que la série converge pour tout réel . On note pour , obtenant ainsi une fonction . Montrer que et que si est plate en 0 alors pour tout .
  2. Soit un entier, des réels et des polynômes non nuls. Soit la fonction définie par .
    (a) En calculant pour et convenables, montrer que n'est pas identiquement nulle.
    (b) En déduire que n'est plate en aucun . On pourra commencer par traiter le cas .
  3. Montrer que si et sont non nuls, alors pour tout intervalle non trivial la fonction définie par est transcendante.
On fixe pour la suite de cette partie un entier et un segment non trivial . On note la longueur de . On a donc . Un sous-ensemble de est appelé -courbe s'il existe des nombres réels , non tous nuls et tels que
On se propose de démontrer le résultat suivant:
Théorème 2. Soient I un segment non trivial et une fonction transcendante, de graphe . Il existe tel que pour toute -courbe .
On fixe comme dans l'énoncé du théorème à démontrer et on note le -espace vectoriel engendré par les fonctions pour . On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe une suite de -courbes telles que pour tout .
17. Soit une fonction non identiquement nulle. Montrer que n'est plate en aucun .
18. Soit un entier. Montrer qu'il existe non identiquement nulle telle que . Montrer que pour toute telle fonction il existe un segment de longueur inférieure ou égale à tel que .
Soient une base de et
Pour posons .
19. Montrer qu'il existe une suite d'éléments de , ainsi qu'une suite de segments inclus dans dont les longueurs tendent vers 0 quand et tels que pour tout .
20. Montrer que est compact. En déduire qu'il existe et une suite strictement croissante d'entiers avec tels que et .
21. En utilisant la question 1 , montrer que est plate en et conclure la preuve du théorème 2 .

Une inégalité

On fixe un segment non trivial , un entier et des fonctions . Pour on note
On se propose de démontrer le résultat suivant:
Théorème 3. Il existe tel que pour tous deux à deux distincts, on a
Dans les questions 22 et 23 on fixe deux à deux distincts et on note
  1. Soit .
    (a) Montrer que si alors il existe tel que . On pourra considérer la fonction définie par .
    (b) En déduire qu'il existe tel que
  1. Montrer qu'il existe tel que
  1. Conclure la preuve du théorème 3.

Intersections atypiques: le cas transcendant

On fixe un segment non trivial et une fonction transcendante , dont on note le graphe. Pour un entier on note . On se propose de démontrer le résultat suivant.
Théorème 4. Pour tout il existe un réel tel que pour tout on a
On fixe pour la suite et un entier tel que .
Pour on note le vecteur dont les coordonnées (numérotées de 1 à ) sont définies par la formule pour . Par exemple, si on a et pour on a .
Si on note la matrice de taille dont les vecteurs colonnes sont .
25. Soient un entier et . Montrer qu'il existe une -courbe contenant si et seulement si
  1. En utilisant le théorème 3, montrer qu'il existe un réel tel que pour tous points deux à deux distincts de on a
On fixe un tel réel pour la suite.
27. Soient des points deux à deux distincts appartenant à .
(a) Montrer que est un entier.
(b) En déduire que si n'appartiennent pas à une même -courbe, alors
  1. Soit un segment contenu dans et de longueur strictement inférieure à . Montrer qu'il existe une -courbe contenant tous les points de dont l'abscisse appartient à .
  2. Finir la preuve du théorème 4 .
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