ENS Mathématiques C MP 2022

VENDREDI 29 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n
MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 .

On note l'ensemble des séries entières complexes . Un élément de est donc une suite complexe . L'ensemble est muni d'une structure de -espace vectoriel avec les opérations

On le munit aussi du produit de Cauchy donné par

pour lequel c'est une -algèbre.
Pour et , on note la valeur de la série

lorsque celle-ci converge. On note (c'est-à-dire l'ensemble des réels positifs auquel on ajoute l'élément ) le rayon de convergence de la série . Il est caractérisé par la propriété suivante : la série converge en si , et diverge si .

On note l'espace des séries entières dont les premiers coefficients sont nuls, c'est-à-dire des séries de la forme . Pour et , on note

le polynôme obtenu en tronquant à l'ordre . C'est un élement de , et .

Lorsque est une fonction développable en série entière au voisinage de 0 , on note encore la série entière correspondante. Par exemple, on note la série . On note , ou , l'application identité du plan complexe ainsi que la série entière associée.

Étant donné une série entière , on note la série entière dont les coefficients sont les modules des coefficients de . Pour , la somme à termes positifs a toujours une valeur dans . On convient pour la définir sans ambiguïté que le terme est nul si , même pour .

On définit sur la relation par

Lorsque vérifie , elle admet une série réciproque, qui sera définie et étudiée dans la question D , et qui sera ensuite notée .

Le problème comporte 29 questions, numérotées de 1 à 29 , et regroupées par thèmes.

(1) Soit une série entière et un complexe tel que . Montrer alors que la série converge en et que . Donner un exemple où cette inégalité est stricte.
(2) Si et sont deux séries entières telles que , montrer que .
(3) Montrer, pour , que

déduire en particulier que .
(4) Montrer que , déduire que .

Si est une série entière quelconque et une série entière sans terme constant (c'est-à-dire ), on définit la composée par

où est le coefficient de degré du produit ( facteurs) pour , et . On verra ci-dessous que sous les hypothèses appropriées, ce qui justifie la notation.
(5) Si et , montrer que , que et .
(6) Soit et des séries entières, avec . Montrer que . Déduire que, si et ont un rayon de convergence strictement positif, alors .
(7) Si sont à coefficients réels positifs, , montrer que .
(8) Montrer, si et sont à coefficients réels positifs et si , que .
(9) Soit et des séries entières, avec . Pour tout vérifiant , montrer que la série converge en et que .
(10) Soit et des séries entières, avec , montrer que .

Dans cette partie, on considère une série entière à coefficients réels positifs. On suppose qu'il existe tels que

On se propose de montrer qu'alors . On interprète ici comme la composition des séries entières et .
(11) Montrer qu'il existe et une fonction , développable en série entière en 0 , vérifiant et telle que

pour tout . On note encore l'élément de associé à la fonction .
(12) Montrer, par récurrence sur , que pour tout , conclure.

On considère dans la suite du sujet une série entière . On se propose de montrer qu'il existe une unique série , la série réciproque de , telle que . On montrera de plus dans cette partie que a un rayon de convergence strictement positif si a un rayon de convergence strictement positif.
(13) Montrer qu'il existe une unique série telle que , et que .
(14) Montrer qu'il existe une unique série telle que .
(15) Montrer que .
(16) Montrer que , conclure à l'aide de la partie C que si .
On considère maintenant le cas particulier d'une série de la forme . On note .
(17) Montrer que pour tout (la notation est définie dans l'introduction du sujet).
(18) On suppose qu'il existe et tels que . Montrer alors que pour tout . Conclure que

Toute la suite du sujet est consacrée au problème de linéarisation qui consiste, étant donné une série , à trouver une série pour laquelle .

On pose et on note , avec . On suppose que et que n'est pas une racine complexe de l'unité, c'est-à-dire que pour tout entier , et on se propose de montrer qu'il existe une unique série entière de la forme vérifiant . On étudiera le rayon de convergence de dans les parties suivantes.
(19) Montrer qu'il existe une unique série telle que .
(20) Conclure.

On suppose ici que et que . On se propose de montrer sous ces hypothèses que les séries entières et de la partie précédente ont un rayon de convergence strictement positif.
(21) Montrer qu'il existe tel que pour tout entier .
(22) Montrer que la série vérifie .
(23) Conclure.

On étudie maintenant le problème de linéarisation dans le cas . On suppose de plus que n'est pas une racine de l'unité, de sorte que la suite

est strictement positive. Contrairement au cas de la partie précédente, elle n'est toutefois pas minorée par un réel strictement positif (fait qui pourra être utilisé sans vérification dans la suite), ce qui nous amène à utiliser une méthode différente pour étudier le rayon de convergence de la série entière de la partie E . On pose, pour ,

de sorte que et .
(24) On se donne une série telle que . Montrer qu'il existe tel que pour tout . Montrer alors, pour , que

pour tout .
(25) Toujours pour , on pose

Montrer que et que . Montrer que pour tout , et que

pour tout .
(26) Pour , montrer que

vérifie .
(27) Montrer que

pour tout tel que

(28) On considère une série entière avec . On suppose encore que est de module 1 et n'est pas une racine de l'unité. On considère le réel donné par la question (24) (appliquée pour ) et la suite définie par récurrence à partir de par la relation

Montrer qu'il existe des suites et d'éléments de , définies pour , telles que et, pour tout ,

(29) On pose et

Expliquer pourquoi est bien définie, et montrer que pour tout . Déduire que la série de la question E vérifie , donc que .

Le nombre ne dépend que de . On peut montrer qu'il est strictement positif pour de nombreux complexes de module 1 , on a alors .
Fin du sujet.