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ENS Mathématiques D MP 2017

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X-ENS
Année
2017
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2017MP MathsMaths 2017
2025_08_29_bf9805182c2493bda027g

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)

(Durée : 6 heures)

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.

Dans tout ce qui suit, la variable désignera toujours un entier naturel et désignera l'ensemble des entiers naturels tels que .
On considérera des applications où est un intervalle de , et on notera toute suite définie par et la relation de récurrence :
On définit la suite par
de sorte que pour tout . S'il le souhaite, le candidat pourra utiliser la notation à la place de la notation .
Pour tout ensemble et , on pose
Un point est un point fixe de si , et un point périodique de s'il existe un entier tel que . La suite est périodique si est un point périodique de .
On dit que est monotone par morceaux s'il existe un ensemble fini tel que soit strictement monotone sur chaque intervalle inclus dans (qui est une réunion finie d'intervalles disjoints). On dit que est un point critique de si on ne peut pas trouver d'intervalle ouvert contenant tel que soit monotone sur (en particulier, si est un intervalle fermé borné, ses extrémités sont des points critiques). On note l'ensemble des points critiques de . Un pli de est une composante connexe de , c'est-à-dire un intervalle contenu dans dont les extrémités sont des points critiques ou des extrémités de . C'est un intervalle ouvert maximal sur lequel est monotone. Si est monotone par morceaux, on note le nombre de plis de (voir Figure 1).
Figure 1: Le nombre de plis de et pour .

Question préliminaire

Montrer que si est monotone par morceaux, alors pour tout entier naturel la fonction est monotone par morceaux.
Un des objectifs de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique de la suite quand tend vers l'infini.

Partie I

Dans cette partie, on considère le cas où et est de la forme
ùé
On étudie la topologie de l'ensemble défini par
é
L'étude dépend des valeurs de . On commence par étudier le cas particulier pour lequel on peut donner une formule explicite de en fonction de . On considère ensuite le cas général.
  1. On suppose que . Exprimer en fonction de . Déterminer ainsi que la limite de la suite en fonction de .
On se place maintenant dans le cas général .
2. Déterminer les points fixes de en fonction des valeurs de .
3. On suppose que . Montrer que pour tout , la suite est croissante. En déduire que .
Dans le reste de la partie I , on suppose que et on note le plus grand point fixe de .
4. Lorsque , montrer que .
5. On suppose finalement que .
(a) Montrer que . En déduire que est un compact non vide.
On souhaite montrer que est totalement discontinu, c'est-à-dire que tout intervalle contenu dans est réduit à un point. On suppose donc que et on veut conclure que . On définit les suites et par
(b) Montrer que pour tout , la fonction est strictement monotone sur le segment d'extrémités et (c'est-à-dire l'intervalle ( ) = quand et quand ).
(c) Montrer que est bien défini et que pour tout , puis conclure.

Partie II

Dans cette partie, on considère le cas où et où est de la forme
ùé
On étudie l'ensemble des points périodiques de selon les valeurs de .
  1. Vérifier que est définie sur et que .
  2. Montrer que pour tout , on a et que envoie chaque pli de sur .
  3. Dans cette question, on suppose que .
    (a) Montrer que si , alors la suite définie par vérifie pour tout .
    (b) En déduire que l'ensemble des points périodiques de est dense dans .
On se place de nouveau dans le cas général .
4. Montrer qu'il existe une unique fonction impaire, -périodique, de classe telle que pour tout ,
et que si l'on définit par , alors on a
On pourra considérer la quantité .
5. Pour , on définit par
Montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers une fonction continue et croissante . On pourra considérer la série de fonctions .
6. En déduire que pour tout , il existe une fonction continue et croissante telle que
  1. Dans cette question, on suppose que .
    (a) Montrer que pour tout .
    (b) En déduire que et admettent des applications réciproques continues et .
    (c) En déduire que l'ensemble des points périodiques de est dense dans .
  2. On suppose pour finir que [. Montrer que l'ensemble des points périodiques de n'est pas dense dans .

Partie III

Dans cette partie, on considère le cas où est un intervalle borné et où est une fonction continue et monotone par morceaux.
  1. Définition de l'entropie . On souhaite montrer que la suite définie par
converge.
(a) Montrer que la suite est minorée. On définit
(b) Montrer que si et sont deux fonctions monotones par morceaux, alors .
(c) Soient deux entiers. Montrer qu'il existe un entier tel que:
(d) En déduire que
(e) Établir que pour tout entier , on a
  1. Un premier exemple. Dans cette partie, on se propose de déterminer l'entropie d'un polynôme cubique (que l'on identifie à la fonction polynomiale associée) dont le graphe est représenté sur la Figure 2 ci-dessous.
Figure 2: Le graphe d'un polynôme cubique .
(a) Montrer qu'il existe un unique réel pour lequel le polynôme cubique vérifie .
Dans toute la suite de cette partie, on suppose que avec et que .
(b) On pose . Montrer que .
On définit les intervalles et par
On considère la matrice carrée dont le coefficient est égal à 1 si et à 0 sinon. Étant donné , on note le vecteur de dont la -ème coordonnée est le nombre de plis de contenus dans .
(c) Montrer que pour tout , on a .
(d) Déterminer et les valeurs propres de .
(e) Montrer que l'entropie de est , où est la plus grande valeur propre de .
3. Cas des applications tentes. On considère maintenant le cas particulier où est une application tente, c'est-à-dire une application continue et affine par morceaux (donc dérivable en dehors d'un ensemble fini ) pour laquelle il existe un réel tel que
On souhaite montrer que
(a) Montrer que la longueur de n'importe quel pli de est au plus . En déduire que .
(b) Etant donné un réel , montrer qu'il existe tels que
  • tous les points critiques de sont des points ;
  • pour tout et tout ,
(c) Montrer qu'alors l'image par de chaque intervalle intersecte au plus intervalles et en déduire que
(d) Conclure. On pourra utiliser la relation établie à la question III.1.e.

Partie IV

On se place maintenant dans le cas où . Plus précisément, est un intervalle borné, , et est continue, strictement décroissante sur et strictement croissante sur , avec . On définit l'application par
  1. La série entière . A chaque point , on associe la série entière définie par
(a) Montrer que le rayon de convergence de est supérieur ou égal à 1 .
(b) Exprimer et sur leurs disques de convergence sous la forme de fractions rationnelles.
(c) On suppose que et que et que pour . Montrer que est monotone sur , que son sens de variation dépend du signe de , puis que .
(d) En déduire que pour tout réel , l'application est croissante sur .
2. Discontinuités de . Pour , on définit
et
(a) Montrer que pour tout , on a
(b) Montrer que si et seulement s'il existe tel que et que dans ce cas, si est le plus petit de ces entiers, on a
  1. L'invariant . On pose
(a) Montrer que
(b) Pour tout entier naturel , on note le cardinal de l'ensemble des points où change de signe. Montrer que .
(c) En déduire que le rayon de convergence de la série entière définie par
est supérieur ou égal à .
(d) Etablir que l'égalité suivante est valide sur le disque :
  1. Le nombre de plis. On considère finalement la série entière définie par
(a) Montrer que le rayon de convergence de est où
est l'entropie de . En déduire que .
(b) Montrer que pour tout entier naturel , on a
(c) En déduire que si , on a
  1. Un exemple. On va déterminer l'entropie du polynôme . Cette application a trois points périodiques de période 3 qui forment un cycle pour :
Les points sont les trois racines du polynôme avec et De plus, en posant , et , on a
(a) Donner une expression explicite de pour tout vérifiant .
(b) En déduire que si , on a
(c) Déterminer le rayon de convergence de (on pourra utiliser une décomposition en éléments simples) et en déduire que
(d) Déterminer une expression de en fonction de .
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