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ENS Mathématiques D MP 2019

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X-ENS
Année
2019
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2019MP MathsMaths 2019
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2019

MERCREDI 24 AVRIL 2019-8h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES D

(U)
Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend 8 pages numérotées de 1 à 8 .
On désigne par l'ensemble des entiers . On notera la relation de divisibilité entre deux entiers et . On appelle fonction arithmétique tout élément de . On munit d'une loi de composition interne * appelée convolution et définie par
où la somme porte sur l'ensemble des diviseurs de . On admettra que la convolution est bien une opération interne et qu'elle est commutative et associative.
On appelle série de Dirichlet associée à la série, dépendant d'un paramètre réel ,
On note la somme de cette série en tout point de convergence .
On considère la fonction définie par où désigne la fonction constante valant 1 . Lorsque , on a donc
Ainsi désigne le nombre de diviseurs de l'entier et pour tout .
On note la somme de la série de Dirichlet associée au produit (classique) des fonctions arithmétiques et en tout point de convergence . Finalement, étant donné un nombre premier , on introduit la fonction définie par
Le but de ce problème est d'étudier dans quel cas une fonction qui est -périodique satisfait . On obtiendra un résultat complet lorsque est à valeurs dans .
On introduit aussi la somme appelée fonction sommatoire associée à la fonction arithmétique définie par
où . La sommation sur les entiers tels que signifie que l'on somme entre 1 et où désigne la partie entière de .

I- Séries de Dirichlet et formules de sommation.

Soit un nombre premier. On note l'ensemble des applications de dans où est un corps qui pourra être ou et l'ensemble des éléments de qui sont de plus impairs et -périodiques.
  1. Lorsque , montrer que l'on a .
  2. Sommation d'Abel. Soient une fonction dérivable sur l'intervalle tout entier et une fonction arithmétique. Montrer que l'identité suivante est valable pour tout ,
  1. La méthode de l'hyperbole. Montrer que pour toutes et tous tels que on a :
  1. a) Soient bornée et . Montrer que la série
est absolument convergente. On note sa somme.
b) Soient et dans . Montrer que lorsque les séries et sont absolument convergentes, alors la série est encore absolument convergente.
c) On appelle fonction complètement multiplicative une fonction vérifiant pour tous . Soit complètement multiplicative. Montrer que pour tout on a
  1. a) Soit telle qu'il existe et tels que pour tout . En utilisant une sommation d'Abel (Question I.2), montrer que, pour tout , la série converge et que sa somme vaut
b) En déduire que l'application est continue.
c) Soit . Montrer que, pour tout réel , la série est convergente et que l'application est continue.
d) On pose en tout point de convergence . Soit . Montrer que la série est bien convergente. En s'inspirant de la question a), montrer

II- Caractères modulo .

Nous rappelons que est un nombre premier fixé. Soit le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau . Soit
le groupe des morphismes de vers le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 . On munit de la loi de groupe déduite de la multiplication dans . On peut relever un morphisme en une fonction en posant
On dit alors que est un caractère modulo . On appelle caractère principal modulo la fonction associée à l'élément neutre de . Autrement dit est définie par
On définit le conjugué d'un caractère pour tout .
6. Soit un caractère modulo .
a) Montrer que est une fonction arithmétique complètement multiplicative.
b) Montrer que est impair si, et seulement si, l'on a .
c) Montrer que, pour tous entiers et , on a
  1. Soit un groupe fini commutatif.
    a) Soient d'ordre et d'ordre avec . Montrer qu'il existe un élément d'ordre égal à st.
    b) En déduire que si est d'ordre et est d'ordre avec alors il existe tel que l'ordre de soit .
    c) Soit d'ordre maximal. Montrer que pour tout l'ordre de divise l'ordre de .
    d) En déduire que le groupe est cyclique.
  2. a) Montrer que est un groupe de cardinal et que est cyclique.
    b) Soit caractère non principal modulo différent de . Montrer que .
    c) Montrer de plus que, pour tout entier premier à , on a :
  1. a) Soit . On admettra qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout , on ait . Montrer qu'alors, pour tout entier , il existe un nombre réel tel que, pour tout , on ait .
    b) On pourra utiliser librement la question a) pour répondre à la question suivante. Soit un caractère modulo différent de . En utilisant la méthode de l'hyperbole (Question I.3) avec un choix pertinent de , montrer que, pour tout et tout , il existe tel que, pour tout on ait
  1. Soit un caractère modulo différent de et soit un entier . Déduire de la question précédente que, pour tout , la série est convergente et que la fonction est une fonction continue. Montrer la relation
III- Calculs autour de .
Étant donné un nombre premier , un entier strictement positif et un entier relatif , on considère la somme finie
où cot désigne la fonction cotangente qui est le rapport du cosinus avec le sinus. Lorsque cette somme est vide, on conviendra qu'elle vaut 0 .
On note la partie fractionnaire d'un nombre réel et aussi : la première fonction de Bernoulli définie par
On admettra que, pour tout , la série
converge simplement vers .
11. Montrer que l'application est impaire et -périodique.
12. Soit un entier strictement positif et soit un entier relatif premier à . Montrer que
  1. On note, dans cette question et dans les questions suivantes,
Soit un entier relatif premier à . Montrer que
  1. Soient un caractère modulo et un entier . On appelle somme de Gauss le nombre complexe défini par la somme finie
On notera simplement le nombre .
a) Supposons . Montrer que
b) Supposons . En calculant , montrer que
c) En utilisant les questions a et b, montrer que
  1. Soit un caractère modulo impair. En utilisant la formule de la question précédente, montrer que
  1. Soit et soit un entier relatif premier à . Montrer que
En déduire que pour tout on a
  1. Soit . Montrer que
est convergente de somme égale à . Puis montrer que
  1. Dans cette question, on suppose que le nombre premier est impair. Soient un entier et une fonction -périodique dans . Montrer que tend vers une limite finie lorsque tend vers 1 par valeur supérieure si, et seulement si, et . Dans ce cas-là, montrer que l'on a
où la somme porte sur l'ensemble des caractères modulo et où . Pour cela, on pourra utiliser la question III.16.

IV- Un peu d'algèbre linéaire ...

  1. Soit un nombre complexe qui annule un polynôme non nul de .
Soit . On considère le polynôme unitaire de de degré minimal qui admet pour racine .
a) Montrer que est un -espace vectoriel de dimension .
b) Soit un élément non nul de . Montrer que la multiplication par induit un endomorphisme de . En déduire que admet un inverse dans .
c) En déduire que avec
On rappelle que est un nombre premier fixé.
20. Dans cette question, on pourra utiliser librement que si est un polynôme de degré de la forme satisfaisant pour tout et , alors est irréductible dans .
a) Soit . En considérant , montrer que le polynôme est irréductible dans .
b) Soient . Montrer que est le polynôme minimal de . Montrer que pour, tout entier , on a .
c) Soit un entier premier à . Montrer qu'il existe une application : vérifiant
Montrer que définit un automorphismedu corps .
d) Soient et tels que . Montrer que
On supposera dorénavant que le nombre premier est impair.
21. Soient un entier strictement positif et un entier relatif premier à .
a) Montrer que .
b) Montrer que .
Soit . On pose
  1. Soient un entier naturel premier à et tels que . On note un générateur du groupe cyclique .
    a) Montrer que
En utilisant les morphismes , montrer que, pour tout , on a
En déduire la relation
b) Soient et le vecteur colonne défini par . Déduire de la question précédente que
  1. Le but de cette question est de montrer pour tout et on a
a) Commencer par vérifier cette formule lorsque où .
b) Soit la base canonique de . Montrer que avec
c) Montrer que les vecteurs
avec impair et sont des vecteurs propres de dont on calculera les valeurs propres.
d) En déduire le résultat concernant la valeur de dét .
24. a) Déduire de la question précédente que pour
on a
où est un générateur du groupe des caractères modulo .
b) Soit . Déduire de a) que, si pour tout caractère impair modulo , alors la dimension du -sous-espace vectoriel
vaut 0 .
25. Soient et est un caractère réel impair modulo . Montrer à partir du résultat de la question III-14c que l'on a .
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