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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2003

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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Banque
X-ENS
Année
2003
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2003MP/PC MathsMaths 2003
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SESSION 2003

Filière MP (groupes M/MP/MI)

Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan

Filière MP (groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filière PC (groupe I)

Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

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Introduction

Soit un entier naturel non-nul. On note l'espace vectoriel de dimension des matrices carrées a coefficients dans le corps des nombres complexes. On note l'espace vectoriel de dimension des matrices colonne à coefficients dans , et l'espace vectoriel de dimension des matrices ligne. Enfin, on note le sous-ensemble de constitué des matrices de rang 1 .
Si et sont deux éléments du groupe linéaire , on note l'endomorphisme de l'espace vectoriel défini, pour , par
On note l'endomorphisme transposition de , c'est-à-dire l'endomorphisme de défini par pour . On note alors
et

Première partie

On va montrer dans cette partie que les endomorphismes de l'espace vectoriel , tels que , sont précisément les éléments de .
  1. Montrer que si , et si , alors .
  2. Montrer que toute matrice de rang 1 est produit d'un élément de par un élément de .
  3. Soient et . On suppose que est de rang , et que et sont linéairement indépendants dans .
3-a) Montrer qu'il existe , tels que et .
3-b) En déduire que et sont liés dans .
4) Soient trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel . On suppose que . Montrer que ou .
5) Si , on note . De même, on note pour .
5-a) Montrer qu'il s'agit là de sous-espaces vectoriels de , de dimension et constitués de matrices de rang inférieur ou égal à 1 .
5-b) Soit un sous-espace vectoriel de , de dimension , et constitué de matrices de rang inférieur ou égal à 1 . Montrer que est soit de la forme pour , soit de la forme pour .
5-c) Calculer, pour et , les intersections , et .
On se donne, jusqu'à la fin de cette partie, un endomorphisme sur l'espace vectoriel , tel que .
6) Montrer que l'image par d'un sous-espace vectoriel de , de dimension , et constitué de matrices de rang inférieur ou égal à 1, est du même type.
7) On suppose qu'il existe , non colinéaires, tels que et avec .
7-a) Montrer qu'il existe , telle que pour tout . [Indication : définir sur une base de .]
7-b) Montrer que . [Indication : raisonner par l'absurde.]
7-c) Montrer que pour tout est de la forme avec .
7-d) Que dire de pour ?
7-e) Montrer que pour tout , il existe , telle que pour tout , on ait
pour la matrice obtenue en 7-a).
7-f) Montrer que .
8) Conclure.

Deuxième partie

On va montrer qu'un endomorphisme d'espace vectoriel de vérifie si, et seulement si, il est dans .
  1. Montrer que si , et si , alors .
  2. Soit , de rang .
2-a) Montrer qu'il existe , telle que pour tout . [Indication : on commencera par traiter le cas où est la matrice par blocs .]
2-b) Montrer qu'il existe , telle que soit non inversible pour exactement valeurs distinctes de .
3) Soit un endomorphisme de , tel que .
3-a) Montrer que si n'est pas inversible, alors non plus.
3-b) Montrer que pour , on a
3-c) En déduire que préserve le rang.
3-d) Conclure.

Troisième partie

On note le groupe unitaire, c'est-à-dire le groupe des éléments de préservant le produit scalaire hermitien standard de . Si est un endomorphisme de , on note l'adjoint de , c'est-à-dire l'unique endomorphisme de vérifiant pour tout .
Soit un endomorphisme de , tel que . On va montrer qu'alors .
  1. Montrer que pour tout endomorphisme sur est un endomorphisme hermitien positif de même rang que .
Soient et deux endomorphismes de , tels que soit unitaire pour tout nombre complexe de module 1 . Montrer que et que .
2) Soient des endomorphismes de , tels que soit unitaire pour tous complexes de module 1 .
2-a) Montrer que pour , et que .
2-b) Montrer que les espaces vectoriels sont deux à deux orthogonaux.
2-c) Montrer que .
2-d) Montrer que pour tout endomorphisme unitaire , on a
2-e) En déduire que pour tout , le rang de reste constant lorsque décrit . On admettra que pour tout , il existe une application continue , telle que , et pour tout .
2-f) Montrer que pour tous endomorphismes unitaires et , on a rang .
3) Montrer qu'il existe un entier , et des endomorphismes de rang 1 , tels que l'hypothèse de la question 2) ci-dessus soit satisfaite.
4) Montrer que .
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