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ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2004

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Algèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVN
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Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2004MP/PC MathsMaths 2004
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Filière MP (groupes M/MP/MI)
Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan

Filière MP (groupe I)Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filière PC (groupe I)Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Soit un entier . On note l'espace des matrices à coefficients dans . Le produit scalaire hermitien dans est donné par . On munit de la norme et de la norme .
L'adjointe d'une matrice est la matrice dont les coefficients sont . Une matrice est unitaire si , où est la matrice identité.
Une conjugaison unitaire est une application de dans lui-même de la forme où est une matrice unitaire. Une telle matrice est dite associée à .
On appelle groupe d'Arveson une famille de telles conjugaisons unitaires qui est un groupe continu à un paramètre ; c'est-à-dire
  1. , pour tout ,
  2. , pour tous ,
  3. est une application continue de dans , pour tout .
Si est un sous-groupe de , on appelle groupe unitaire (indexé par ), toute famille de matrices unitaires telle que
i) ,
ii) , pour tous .
On dit que est continu si de plus l'application ( ) est continue, c'est-à-dire : pour tous , il existe tel que impliquent .
Le but de ce problème est de démontrer le théorème suivant.
Théorème [Théorème d'Arveson en dimension finie] Pour tout groupe d'Arveson , il existe un groupe unitaire continu tel que
pour tout et tout .
On pose , le cercle unité de .

I. Cocycles

  1. a) Montrer que deux matrices unitaires et sont associées à une même conjugaison si et seulement si pour un .
    b) Soit un groupe d'Arveson. Montrer que est de la forme où les matrices unitaires vérifient pour une famille de points de telle que
pour tous .
Une famille de points de vérifiant les propriétés ci-dessus sera appelée cocycle.
2) On considère un cocycle quelconque et on note la restriction de aux indices qui sont dans . On dit qu'une suite dans détermine si
pour tous .
a) Montrer que si et sont deux suites qui déterminent alors il existe tel que pour tout .
b) Montrer que est entièrement fixé lorsque l'on connaît les valeurs .
c) En déduire qu'il existe toujours une suite qui détermine .
3) a) Montrer que, pour tout , on peut construire une suite qui détermine la famille et telle que
pour tout .
b) En déduire qu'alors pour tous .
c) Soit l'ensemble des nombres dyadiques positifs : (noter que est stable par l'addition). Soit un cocycle, montrer qu'il existe une application de dans telle que
pour tous .
4) Montrer que la famille , est un semigroupe, c'est-à-dire pour tous .
On a ainsi construit un semigroupe de matrices unitaires , telles que pour tout et tout .
5) Soit le sous-groupe des nombres dyadiques (positifs ou négatifs) : . Montrer qu'il existe un groupe unitaire tel que pour tout et tout .
6) Montrer que si le groupe , ci-dessus est continu alors le théorème d'Arveson est démontré.
On va s'attacher dans la suite à obtenir cette continuité.

II. Continuité

On se donne maintenant un semigroupe quelconque de matrices unitaires telles que pour tout , tout .
Dans ce qui suit, les limites portant sur s'entendent pour .
  1. a) Déduire de la propriété de continuité de que pour tout de norme 1 on a .
    b) En déduire que est de la forme avec .
  2. Soit et deux vecteurs de , de norme 1 . On pose, pour tout , et . Montrer que .
  3. En déduire que s'il existe un non nul tel que alors cette propriété sera vraie pour tout .
Notre but est maintenant de démontrer qu'on peut changer , pour qu'il existe un tel .

III. Familles presque multiplicatives

Une famille , de nombres complexes est dite multiplicative si pour tout et pour tous ; presque multiplicative si et
  1. Montrer que, pour tout , la famille , est presque multiplicative.
  2. a) Soit , une famille presque multiplicative. Montrer que la famille est encore presque multiplicative.
On suppose donc dans la suite que pour tout .
b) On pose et on construit , par récurrence sur , comme étant la racine carrée de la plus proche (pour la topologie usuelle de ) de (dans le cas où les deux racines sont à la même distance, on choisit n'importe laquelle des deux). Enfin, pour tout on pose .
Montrer que cette définition ne dépend pas de la manière d'écrire sous la forme et qu'elle définit une famille multiplicative .
c) Montrer que
Indication : soit , montrer que et que .
3) Soit , une famille presque multiplicative telle que tend vers 1 quand tend vers . On veut montrer l'inégalité suivante pour assez grand:
où est la distance usuelle sur , tous les arguments étant pris dans . Dans la suite, on a choisi un tel que le membre de droite de (1) soit majoré par pour tout . On suppose, pour simplifier, que .
a) Montrer qu'on peut se ramener au cas et à montrer seulement :
b) Soit . Supposons que . Montrer qu'il existe un plus petit tel qu'il existe un avec .
Soit le plus petit tel . Soit l'argument de . Supposons que pour fixer les idées.
c) Montrer que et si .
d) Montrer que .
e) Montrer que .
f) En distinguant les deux cas suivants : et , montrer que ou que (respectivement). En déduire une contradiction et que (1) est démontré.
g) En déduire que pour toute famille presque multiplicative , il existe une famille multiplicative , telle que .
4) Terminer la démonstration du théorème d'Arveson.
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