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ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2002

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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Banque
X-ENS
Année
2002
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2002MP MathsMaths 2002
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SESSION 2002

Filière MP

MATHÉMATIQUES

(Epreuve commune aux ENS de Paris et Cachan)

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Notations. On note l'ensemble des nombres réels par , l'ensemble des réels positifs par , l'ensemble des nombres complexes par , l'ensemble des entiers relatifs par , des entiers positifs par et des entiers strictement positifs par . Pour toute fonction de dans et tout réel , on note la fonction définie pour tout réel par . On note la fonction conjuguée de définie pour tout réel par .
On désigne par l'ensemble des fonctions continues de dans et par l'ensemble des fonctions continues bornées de dans . Pour tout de on note le nombre . On dit qu'une suite de fonctions ( ) de dans converge uniformément sur vers une fonction si et seulement si . On rappelle que muni de la norme est un espace vectoriel normé complet.
On rappelle la définition de l'uniforme continuité: on dit qu'une fonction de (resp. ) dans est uniformément continue sur (resp. ) si et seulement si:
En particulier si est un élément de est uniformément continue si et seulement si:
Soit une application de dans . On dit que le réel est une période de si est non-nul et si pour tout réel , on a . On note l'ensemble des fonctions de admettant pour période et on note la réunion des ensembles parcourant l'ensemble des réels non-nuls. est l'ensemble des fonctions périodiques de .
Soient et deux réels tels que . Soit un intervalle d'extrémités et . On définit la longueur de que l'on note comme le nombre . Pour tout intervalle borné non-vide on définit . On admet que:
Soit un réel non-nul et soit un élément de . On rappelle que pour tout réel :
Pour tout réel , on désigne par la fonction de définie pour tout réel par . Pour tout réel , tout de et tout de , on définit le -ième coefficient de Fourier de par:
On rappelle la formule de Parseval:
Question préliminaire 1 Montrer que la fonction n'est pas dans .
Soit un sous-ensemble de . On dit que est bien réparti si et seulement si il existe un réel tel que tout intervalle de longueur contient un élément de .
Soient dans et . On dit qu'un réel est une -quasi période de si est non-nul et si:
On note l'ensemble des -quasi périodes de (il est possible que cet ensemble soit vide). On dit qu'une fonction de dans est une fonction presque périodique si et seulement si est un élément de et est bien réparti pour tout . On désigne par l'ensemble des fonctions presque périodiques.
Question préliminaire 2 Montrer que .

PARTIE I

1 Soit dans . Il existe donc un réel tel que tout intervalle de longueur contient un élément de . Montrer que pour tout dans :
En déduire que toute fonction presque périodique est dans .
2-a Montrer que si est dans alors et le sont également.
2-b Soit uniformément continue. Montrer que est dans dès que l'est.
3 Soit ( ) une suite d'éléments de qui convergent uniformément sur vers une fonction . Montrer que pour tout réel et tout dans :
En déduire que est dans .
4 Soit dans . Soient et deux réels strictement positifs. Soit a dans . Montrer que pour tout réel on a:
En déduire que toute fonction presque périodique est uniformément continue.
On dit qu'une fonction de est normale si et seulement si de toute suite de réels on peut extraire une sous-suite ( ) telle que la suite de fonctions converge uniformément sur . On note l'ensemble des fonctions normales. Le but des questions et est de montrer que .
5 On cherche tout d'abord à montrer que . On fixe dans et ( ), une suite réelle.
5-a Soit un réel strictement positif. Il existe tel que tout intervalle de longueur contient un élément de . Montrer qu'il existe une suite ( ) à valeurs dans telle que d'une part:
et d'autre part:
5-b Montrer que pour tout , il existe une sous-suite (dépendant de ) telle que
(Indication: penser à extraire de ( ) une sous-suite convergente et à utiliser l'uniforme continuité de .)
5-c Montrer par récurrence qu'il existe une famille de suites strictement croissantes d'indices telle que:
et
En déduire que (considérer la suite ).
6 On cherche ensuite à montrer que . Pour cela, on raisonne par l'absurde: supposons qu'il existe , un élément de qui ne soit pas dans .
6-a Montrer qu'il existe un réel et une suite d'intervalles bornés ( ) tels que et pour tout :
  • est inclus dans le complémentaire de ;
  • .
    (On rappelle que pour tout intervalle borné , on a posé .)
    6-b Montrer qu'il existe une suite de réels ( ) telle que et pour tout :
  • est dans mais pas dans ;
  • l'intervalle fermé de longueur centré en est inclus dans .
6-c Montrer que pour tous entiers distincts plus grands que et
Conclure.
7-a Montrer que si et sont dans alors et le sont également (utiliser le fait que ) .
7-b On note l'ensemble des fonctions de la forme , pour variant dans dans et dans . Montrer que .
8-a Soit ( ) une suite à valeurs dans telle que . Montrer que la série de fonctions est bien définie et appartient à .
8-b Montrer que:
(Justifier soigneusement la réponse.)
8-c Montrer ensuite que est périodique si et seulement si la suite ( ) est nulle à partir d'un certain rang.
Dans les parties II et III, on admet que l'ensemble est dense dans pour la convergence uniforme sur , c'est-à-dire:

PARTIE II

Dans cette partie on utilise (ii) pour donner une caractérisation nécessaire des fonctions qui s'obtiennent comme limite uniforme sur de fonctions périodiques continues. Pour tout réel , toute fonction de et tout réel , on pose:
1-a Montrer que pour tout de et tout réel existe.
1-b Montrer que pour tout réel et tout élément de existe. On note cette limite et on définit le spectre de , noté , par:
1-c Soit un élément de . Calculer explicitement et pour tout réel .
1-d Soit ( ) une suite d'éléments de qui converge uniformément vers . Montrer que pour tout réel :
2 Soit dans et une suite d'éléments de telle que .
2-a Montrer que si n'est pas dans , alors pour tout .

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2-b Montrer que est au plus dénombrable.
3-a Soient un réel non-nul et un élément de . Pour tout , on pose . Montrer que pour tout réel on a:
3-b En déduire (une justification soigneuse est demandée).
4 Soit une fonction définie sur à valeurs dans telle qu'il existe une suite ( ) d'éléments de satisfaisant:
4-a Montrer que les éléments de sont tous des multiples rationnels d'un même réel.
4-b On suppose que contient un élément non-nul. Il existe une suite ( ) de réels non-nuls telle que , pour tout . Montrer qu'il existe un certain rang tel que les périodes sont toutes des multiples rationnels d'un même réel.
4-c Donner un exemple simple de fonction presque périodique qui n'est pas limite uniforme de fonctions périodiques continues.

PARTIE III

Soit un élément de . D'après II-2-b, est au plus dénombrable. Si Spec est infini, on en fixe une énumération notée ( ) et on pose:
(cette expression pouvant prendre éventuellement la valeur ). Si est vide, on pose
Si est fini, la somme est définie sans ambiguité. Le but de cette partie est de généraliser la formule de Parseval aux fonctions presque périodiques. Plus précisément, on se propose de montrer le résultat suivant:
1 Soit . Justifier l'existence de
Montrer que tout élément de satisfait (iii).
2-a Soient réels distincts. On note l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans de . Soit un élément de . Montrer que est bien défini et que:
En déduire que est atteint en un unique élément de à préciser.
2-b Montrer que:
2-c Soit ( ) la suite d'éléments de considérée à la question II-2: d'après II-2-a et II-2-b, on sait que est inclus dans . En déduire que:
En déduire l'assertion (iii).
3-a Soit une fonction presque périodique à valeurs réelles positives. On suppose qu'elle est non-nulle. Il existe alors un réel et un réel strictement positif, tels que:
On introduit un réel tel que tout intervalle de longueur contient au moins un élément de . On peut supposer sans restriction que . Montrer que tout intervalle de longueur supérieure à contient un intervalle de longueur tel que:
3-b Déduire de la question précédente que .
3-c Montrer que:
3-d Soit dans . Soit une énumération de . On suppose que:
Prouver que pour tout réel ,
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