ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2003

SESSION 2003

Filière MP

Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Le but de ce problème est l'étude mathématique de la notion d'entropie. La partie I est consacrée à des questions préliminaires et les parties suivantes à l'étude des propriétés et des liens entre différentes définitions de l'entropie.

On notera l'ensemble des nombres réels, et l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
On dira qu'une fonction de dans est à support compact s'il existe un intervalle fermé borné de tel que pour tout .
On aura besoin de considérer la fonction définie pour , et par continuité, lorsque , on posera .
D'autre part, on rappelle la valeur de l'intégrale de Gauss:

Dans cette partie, désigne une fonction de classe définie sur un intervalle de et à valeurs réelles. On suppose que la dérivée seconde de est positive sur (on dira alors que est convexe).
I-1. A l'aide d'une formule de Taylor, montrer que

I-2. Soit un entier , soient dans et soient dans tels que . En utilisant la question précédente avec , montrer que

I-3. Soient et deux fonctions continues définies sur un intervalle de et à valeurs réelles. On suppose que: est positive sur et est à valeurs dans . Montrer que

Pour tout entier , on note l'ensemble des de tels que pour tout entier entre 1 et et tels que . On définit alors sur la fonction entropie, notée , par

II-1. Soit un entier , et soit dans tel que pour tout entre 1 et , . A l'aide de la convexité de la fonction , montrer que

En déduire que pour tout entier , et tout , on a: .
II-2. Soient et dans , et . Vérifier que le vecteur appartient aussi à , et montrer (en utilisant la convexité de la fonction ) que

II-3.a. Pour dans et dans , on note le vecteur de défini par . Vérifier que appartient à et que

II-3.b. Soit et dans tel que . Vérifier que

II-4. Soient et deux éléments distincts de . On suppose de plus que pour tout , et on définit alors l'entropie relative de et par

Soit l'ensemble des indices entre 1 et tels que . On pose alors et .
II-4.a. Montrer que est non vide et de cardinal strictement inférieur à . Puis montrer, à l'aide de la convexité de la fonction , que pour tout sous-ensemble non vide de , on a:

En déduire alors que

II-4.b. Montrer que

II-4.c. A l'aide d'une étude de la fonction , montrer que

II-5. Soit une suite de fonctions , définie pour , et vérifiant les propriétés suivantes:
(P1) Continuité: la fonction est continue sur .
(P2) Symétrie: permutation de , et ,

(P3) Maximalité: .
(P4) Extensibilité: .
(P5) Additivité: .
(P6) Récursivité: tel que ,

II-5.a. On pose pour tout . Montrer que la suite est croissante, et que pour tous les entiers , on a .
II-5.b. On pose dans toute la suite . Montrer tout d'abord que si alors pour tout . On suppose maintenant . Soit un entier . En encadrant, pour tout entier non nul, entre des puissances de 2 , montrer que .
II-5.c. Montrer par récurrence sur que pour tout tel que et , et tous et dans , on a:

II-5.d. Soient et deux entiers tels que , montrer que

Puis en déduire que pour tout , on a

II-5.e. Montrer par récurrence sur que pour tout , on a .

Dans cette partie on notera l'ensemble des fonctions de dans , continues et telles que la fonction soit bornée sur , l'intégrale converge et .
On notera de plus l'ensemble des fonctions de qui sont à support compact.
III-1. Pour tout appartenant à , on définit l'entropie différentielle de par:

Montrer que cette intégrale est bien définie.
III-2. Soient un réel et un réel strictement positif. On définit sur la fonction par

Montrer que appartient à , et que

En déduire la valeur de .
III-3.a. Soit telle que . Pour tout réel et tout réel strictement positif, on pose

Montrer que cette quantité est bien définie, et montrer de plus, à l'aide de la convexité de la fonction , que .
III-3.b. En déduire que si on définit les réels et par et , alors

On reprend dans cette partie les notations des parties précédentes.
IV-1.a. Soit . Pour tout réel , et , on définit l'entropie de Renyi d'ordre de par

Montrer que cette quantité est bien définie. La fonction étant fixée, on considère la fonction définie sur par . Montrer que est de classe , et calculer .

IV-1.b. En déduire que tend vers lorsque tend vers 1.
IV-2.a. Soient et dans . On appelle alors produit de convolution de et de , que l'on note , la fonction définie sur par:

Justifier la convergence de cette intégrale pour tout réel.
IV-2.b. Montrer que est uniformément continue sur . En déduire que est continue sur .

IV-3.a. On suppose dans la suite que et sont dans . Montrer alors que appartient aussi à .

IV-3.b. En utilisant la convexité de la fonction , montrer que

IV-4.a. Soient et dans . On admet dans la suite le résultat suivant (inégalité de Young forte): pour tous réels strictement supérieurs à 1 , tels que , alors

où pour tout , on a posé .
Soit et . On pose et , montrer que

IV-4.b. On fixe . En faisant tendre vers 1 dans l'inégalité ci-dessus, montrer que

IV-4.c. Utiliser le résultat de la question précédente avec choisi de façon optimale pour en déduire que