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ENS Mathématiques Paris Cachan MP 2004

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Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesEquations différentielles
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Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2004MP MathsMaths 2004
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SESSION 2004

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
L'objectif de ce problème est d'étudier les propriétés de quelques espaces de fonctions périodiques et de quelques transformations opérant entre ces espaces. Dans tout l'énoncé, désigne l'ensemble des fonctions continues périodiques sur , à valeurs dans , de période , et plus généralement pour tout est l'ensemble des fonctions fois continument dérivables, périodiques de période . Enfin est l'ensemble des fonctions infiniment dérivables.
Pour tout on définit sur la fonction par . Pour une fonction , on définit pour tout , son -ième coefficient de Fourier par
On rappelle que pour de telles fonctions,
On utilisera également les deux résultats suivants:
Résultat 1: Soit une application de vers . Soit
Si converge alors
Résultat 2: Soit une application continue par morceaux de vers . On suppose que la série de fonctions converge simplement sur vers une fonction continue par morceaux notée . On suppose que la série converge. Alors,
Introduisons maintenant quelques notations. Pour et pour , on note
On note de plus
Pour et pour , on définit par
si cette série converge et par sinon. Enfin, on pose:

Partie I.

Cette partie est consacrée à l'étude des premières propriétés des fonctions et des ensembles .
  1. Montrer qu'il existe une constante telle que:
  1. Montrer que
  1. Soit . Montrer qu'il existe une constante telle que
  1. Soit la fonction périodique de période qui vaut pour . Calculer . Pour quelles valeurs de a t on ? Pour quelles valeurs de at on ?
  2. Montrer qu'il n'existe pas de constante telle que
  1. Montrer que si , alors .
  2. Donner un exemple de fonction , telle que mais qui ne soit pas .
  3. On fixe un réel positif.
    8.1) Montrer que et que définit une norme sur l'espace vectoriel .
    8.2) Montrer que est une norme associée à un produit hermitien sur que l'on précisera.
    8.3) Trouver une famille ( ) d'éléments de orthonormée pour et telle que est dense dans pour .
    8.4) Soit . On définit pour tout l'application . Montrer que est un endomorphisme continu de ( . ) et montrer que pour ,
Calculer la valeur de ce supremum pour .

Partie II

Une fonction de deux variables , de vers , périodique de période en la première variable , est appelée symbole d'ordre pour dans s'il existe une constante telle que pour tout et tout ,
et si de plus pour tous , il existe une constante telle que
Soit un symbole d'ordre . On définit pour tout la fonction par
L'objectif de cette partie est d'étudier les propriétés de .
1.1) Vérifier que est un endomorphisme de .
1.2) Dans cette question on suppose que est seulement . Montrer que si est assez grand par rapport à , alors est correctement définie et est dans .
2) On suppose que ne dépend pas de la seconde variable et est une fonction -périodique. Vérifier que est un symbole d'ordre 0. Calculer .
3) Vérifier que (avec ) est un symbole d'ordre 1 . Pour , calculer . Calculer de même .
4) Dans cette question .
4.1) Soit pour
Montrer que pour tout il existe une constante telle que
pour tout et tout .
4.2) Pour tout , on définit sur la fonction , qui ne dépend donc pas de la première variable. Montrer que pour tout
4.3) Montrer qu'il existe une constante , dépendant de , telle que
4.4) Soit un réel positif. Montrer qu'il existe une constante , dépendant de , telle que
  1. Dans cette question, désigne un entier strictement positif. Soit . Exprimer très simplement puis calculer . En déduire que pour tout il existe une constante telle que
  1. Dans cette question, est un entier strictement négatif. Montrer que pour tout il existe une constante telle que pour tout ,

Partie III

Cette partie est consacrée à l'étude de la composée de deux endomorphismes et où un symbole d'ordre et un symbole d'ordre .
  1. Montrer que est un symbole. Quel est son ordre?
  2. On suppose dans cette question que ne dépend que de et que ne dépend que de . Vérifier que
Comparer et (donner des exemples).
3) Cette question est consacrée au calcul de .
3.1) Montrer que peut s'écrire sous la forme
où
3.2) Dans le cas où est un polynôme en (les coefficients étant des fonctions périodiques de ), montrer que où

Applications

Cette partie est consacrée à l'utilisation des endomorphismes définis dans les parties précédentes pour résoudre des équations
différentielles. Soient et deux fonctions , et soit . On cherche à résoudre l'équation suivante en
On suppose de plus que et pour tout .
  1. Montrer que (1) peut se réécrire
et expliciter . Quel est l'ordre du symbole ?
2) Vérifier que est un symbole. Quel est son ordre?
3) Trouver tel que .
4) Montrer que pour tout , il existe tel que .
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