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ENS Mathématiques BCPST 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsRéductionSéries et familles sommables
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Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2004BCPST MathsMaths 2004
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SESSION 2004

Filière BCPST

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 4 heures
L'usage de toute calculatrice est interdit.
Les problèmes sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Le candidat composera sur des copies séparées pour chaque problème, et veillera à les identifier de façon claire.
Le correcteur sera particulièrement attentif à la clarté, à la rigueur et à la concision des raisonnement proposés.
Tous les résultats demandés seront encadrés.

Définitions et notations

Dans tout le problème, nous utiliserons les notations suivantes.
  • représente l'ensemble des entiers naturels et on note , ensemble des entiers naturels non nuls; est l'ensemble des entiers relatifs; est l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des réels positifs; est l'ensemble des nombres complexes.
  • Si sont des entiers tels que , on notera l'ensemble des entiers compris entre et inclus.
  • Si est une variable aléatoire, on notera son espérance.
  • On note (resp. ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans (resp. ) et (resp. ) l'ensemble des matrices inversibles de (resp. de ). On note l'ensemble des vecteurs colonne de taille . Un vecteur colonne sera parfois noté pour des besoins de mise en page. Enfin, représente la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont .

Rappels

  • Si est une fonction continue de deux variables, dérivable par rapport à et si est une fonction continue par rapport à et , alors la fonction est de classe et, pour tout :
  • si est de classe sur , alors pour tout , il existe tel que
  • Soient et des séries entières de rayons de convergence supérieurs ou égaux à 1 . On définit la suite par
Alors la série entière a un rayon de convergence et, de plus,
La suite est appelée convolée (ou produit de convolution) de et , et on la note .
On donne le tableau de quelques valeurs de la fonction :
1 2 3 4 5 6
0,37 0,14
7 8 9 10 11 12

Premier problème : équation de diffusion

Soit une fonction positive, continue, et telle que .
On s'intéresse à une fonction , dépendant de deux variables et , vérifiant l'équation différentielle suivante, appelée équation de diffusion :
où est une constante, ainsi que la condition initiale
et les conditions au bord
Cette équation permet notamment d'étudier la diffusion de la chaleur, ou bien la diffusion d'une substance dans un milieu : on suppose qu'à , la substance a une densité sur ; la fonction représente alors la densité de cette substance à l'instant .
  1. Montrer que, pour tout . Interpréter ce résultat.
  2. On se propose de remplacer l'étude de l'équation (E) - qui fait intervenir des dérivées partielles - par l'étude d'un système différentiel - ne faisant intervenir que des équations différentielles ordinaires -, qui approche le problème précédent; c'est ce qu'on appelle la discrétisation.
Pour cela, on choisit un entier naturel , et on pose
On remplace l'équation (E) par le système
Pour des facilités d'écriture, on posera et on étudiera le système d'équations différentielles
De plus, la condition aux bords (CB) sera remplacée par
et on supposera que .
a) Montrer que le système ( ) assorti de sa condition aux bords ( ) peut se mettre sous la forme
Expliciter la matrice A.
b) Montrer que la quantité est constante par rapport au temps. Interpréter.
3. Montrer que 0 est valeur propre de A . En déduire toutes les solutions stationnaires du problème, c'est-à-dire les fonctions vectorielles constantes par rapport au temps.
4. On cherche à encadrer les valeurs propres de la matrice A.
a) Rappeler pourquoi A est diagonalisable.
b) On note l'ensemble des valeurs propres de .
Montrer que .
Indication : On pourra choisir un vecteur propre associé à une valeur propre .
5. a) On note une matrice inversible telle que est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux seront notés , classés dans l'ordre décroissant.
Que vaut ? Comparer et 0 .
b) On note . Que vaut ? En déduire .
c) En déduire que existe et appartient à un certain sous-espace propre que l'on déterminera. En déduire la valeur de . Interpréter ce résultat.
6. Exemple. Dans cette question uniquement, on prend et .
a) Écrire la matrice A . Trouver une matrice telle que .
b) La condition initiale est donnée par .
Calculer , puis et pour tout . Tracer l'allure des courbes et .
c) À partir de quelle valeur de peut-on être sûr que la solution que nous venons de calculer atteint sa valeur limite avec une marge d'erreur de ?
7. Évaluation de l'erreur commise On suppose que, pour tout , la fonction est de classe . Montrer qu'il existe une fonction , telle que
La fonction dépend-elle de ? Commenter.
8. Quels commentaires, remarques, critiques, pouvez-vous faire sur la méthode employée?

Deuxième problème : détérioration d'une séquence génétique

On modélise une séquence génétique par une succession de sites, indicés par ou par . Pour chaque entier , le site pourra subir ou non une détérioration (mutation). On définit alors la variable aléatoire en posant en cas de détérioration du site , et dans le cas contraire.
Dans les parties et , nous considérerons des mutations ponctuelles, c'est-à-dire que sera une suite de variables indépendantes identiquement distribuées, suivant une loi de Bernoulli.
Dans la partie D , nous considérerons le cas des recombinaisons, où des segments entiers, de longueur aléatoire, sont détériorés.
Nous considérons maintenant un événement, noté , qui peut se produire à chaque site. On dira que cet événement est régénératif si et seulement si il vérifie la propriété suivante : les distances entre les occurrences successives de l'événement sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi.

A Étude d'un événement régénératif : quelques relations fondamentales

Dans cette partie, la séquence génétique est indicée par .
Soit . Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi :
L'événement correspond à la détérioration du site et l'événement correspond à la non-détérioration de ce site.
  1. Exemple : On définit dans cette question l'evénement par : a lieu au site si et seulement si . Montrer que est régénératif.
Bien sûr, d'autres événements régénératifs peuvent être envisagés, comme par exemple la répétition d'un motif non recouvrant (cf. partie C).
Soit un événement régénératif quelconque.
Pour tout , notons la probabilité que l'événement ait lieu au -ième site, et la probabilité qu'il ait lieu pour la première fois au -ième site :
è
De plus, définissons par commodité et . Ainsi, on supposera implicitement que a lieu au site (on ne cherchera pas de signification à cette hypothèse).
Enfin, posons
  1. On note D la variable aléatoire exprimant la distance de la première occurrence de l'événement (cette distance pouvant être si l'événement n'a pas lieu). On notera que, grâce à notre hypothèse sur , D représente également la distance entre deux occurrences successives de l'événement .
Expliciter la loi de D.
Que représente le nombre en terme d'occurrences de l'événement ?
Si , on dira que l'événement est récurrent.
3. On note la probabilité que ait lieu pour la deuxième fois au -ième site, et on définit
Calculer, pour tout entier , le coefficient en fonction de .
Écrire alors sous la forme d'un produit de convolution.
En déduire .
4. Montrer que, pour tout , on a , c'est-à-dire que .
5. Montrer que pour tout .

B Occurrence de sous-séquences entièrement détériorées

Soit K un entier naturel. On s'intéresse, dans la séquence des sites, aux occurrences de sous-séquences non recouvrantes de K sites détériorés. Plus précisément, on dira que l'événement a lieu au site si les sites à sont détériorés et si n'a pas eu lieu aux sites à : ainsi, en représentant une détérioration par un « 1 » et un site sain par un « 0 », dans la séquence suivante
a-t-on des suites de 3 détériorations aux sites 5 , 10 et 13 (mais pas, par exemple, aux sites 6,11 ou 12).
6. Montrer que est régénératif.
On emploiera les notations introduites aux équations (1) et (2).
7. Soit tel que .
a) Quelle est la probabilité d'avoir des sites détériorés aux rangs ?
b) En utilisant la formule des probabilités totales et en notant que, si les sites indexés à , sont détériorés, l'événement a lieu à un et un seul de ces indices, trouver une relation entre et .
c) Que valent ? On rappelle, pour la suite, que par définition.
d) Montrer que
  1. En déduire les expressions de et de .
  2. Calculer et commenter.
  3. Montrer que la distance moyenne à l'origine de la première occurrence de (c'est-à-dire ) vaut .
  4. a) Quel est la distance moyenne de la première suite de 20 détériorations si ?
    b) Même question pour .

C Occurrence de sous-séquences en partie détériorées

On s'intéresse aux occurrences non recouvrantes de sous-séquences de longueur 4, détériorées selon le motif suivant :

1101

On notera l'événement correspondant, et les quantités relatives à l'événement .
Exemple. Dans la séquence suivante :
l'événement a lieu aux sites 5 et 12, mais pas au site 8.
12. Montrer que est régénératif.
13. Soit tel que .
a) Quelle est la probabilité d'avoir le motif « 1101 » aux sites et ?
b) En remarquant que, si le motif « 1101 » a lieu aux sites et , l'événement a lieu à un et un seul de ces sites, montrer que pour tout .
14. Déduire de ce qui précède l'expression de .
15. Calculer alors . Montrer que .
16. Calculer .
17. Comparer les espérances de D et de dans le cas .
Effectuer de même la comparaison dans le cas où , et commenter.

D Généralisation à la recombinaison

On modélise dans cette partie une séquence génétique par une succession de sites indicés par un entier relatif . On s'intéresse maintenant à la détérioration de cette séquence par un processus de recombinaison. À chaque site , successivement, peut avoir lieu une recombinaison, qui détériore un segment, de taille aléatoire, dont l'extrémité droite est . En d'autres termes, on a le processus suivant :
  • à chaque site , une recombinaison a lieu avec la probabilité ;
  • cette recombinaison résulte en la détérioration du site seulement avec la probabilité ;
  • pour tout , elle résulte en la détérioration des sites avec la probabilité ; les réels appartenant à ] [ et vérifiant .
Un site sera sain s'il n'a subi aucune détérioration. Un site détérioré plusieurs fois reste détérioré.

18. Préliminaires

a) Soit une suite de réels positifs tels que pour tout . On pose, pour tout entier . Montrer que la suite converge et que sa limite appartient à . On dira alors que le produit infini converge et on écrira
b) Montrer que la série converge si et seulement si la série converge.
c) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la série pour que .
d) Soit . En comparant la série et l'intégrale , donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que la série converge.
19. Calculer, en fonction de , la probabilité qu'un site donné soit détérioré. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette probabilité soit égale à 1 en fonction de , puis en fonction de .
On pourra utiliser les notations suivantes :
  1. Cette probabilité vaut-elle 1 ou non dans les cas suivants?
    a) la longueur de la séquence détériorée à chaque recombinaison suit une loi de Poisson de paramètre , c'est-à-dire que ;
    b) elle suit la loi donnée par , où ;
    c) elle suit la loi donnée par (on vérifiera au préalable que la suite définit bien une loi de probabilité).
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