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SESSION 2004

Filière BCPST

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 4 heures
L'usage de toute calculatrice est interdit.
Les problèmes sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Le candidat composera sur des copies séparées pour chaque problème, et veillera à les identifier de façon claire.
Le correcteur sera particulièrement attentif à la clarté, à la rigueur et à la concision des raisonnement proposés.
Tous les résultats demandés seront encadrés.

Définitions et notations

Dans tout le problème, nous utiliserons les notations suivantes.
  • ℕ représente l'ensemble des entiers naturels et on note ℕ^∗ = ℕ∖{0}, ensemble des entiers naturels non nuls; ℤ est l'ensemble des entiers relatifs; ℝ est l'ensemble des nombres réels, ℝ^+l'ensemble des réels positifs; ℂ est l'ensemble des nombres complexes.
  • Si p, q sont des entiers tels que p ⩽ q, on notera [ [p; q] ] = {p, p + 1, …, q} l'ensemble des entiers compris entre p et q inclus.
  • Si X est une variable aléatoire, on notera E(X) son espérance.
  • On note 𝔐_n(ℝ) (resp. 𝔐_n(ℂ) ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans ℝ (resp. ℂ ) et GL_n(ℝ) (resp. GL_n(ℂ) ) l'ensemble des matrices inversibles de 𝔐_n(ℝ) (resp. de 𝔐_n(ℂ) ). On note 𝔐_(n1)(ℝ) l'ensemble des vecteurs colonne de taille n. Un vecteur colonne sera parfois noté ^T(z_1 z_2⋯z_n) pour des besoins de mise en page. Enfin, diag(λ_1, …, λ_n) représente la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont λ_1, …, λ_n.

Rappels

  • Si f : [0; 1] × ℝ ⟶ ℝ (x, t) ⟼ f(x, t) est une fonction continue de deux variables, dérivable par rapport à t et si (∂f)/(∂t) est une fonction continue par rapport à x et t, alors la fonction t ⟼ ∫_0^1 f(x, t)dx est de classe 𝒞^1 et, pour tout t ∈ ℝ :
d/(dt)∫_0^1 f(x, t)dx = ∫_0^1(∂f)/(∂t)(x, t)dx
  • si f est de classe 𝒞^k sur [a; b], alors pour tout ε ∈ [0; b − a], il existe c ∈ ]0; ε[ tel que
f(a + ε) = f(a) + ∑_(i = 1)^(k − 1)(ε^i)/(i!)f^((i))(a) + (ε^k)/(k!)f^((k))(c)
  • Soient A(t) = ∑_(n = 0)^∞a_n t^n et B(t) = ∑_(n = 0)^∞b_n t^n des séries entières de rayons de convergence supérieurs ou égaux à 1 . On définit la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) par
∀n ∈ ℕ c_n = ∑_(i = 0)^n a_i b_(n − i)
Alors la série entière C(t) = ∑_(n = 0)^∞c_n t^n a un rayon de convergence R ⩾ 1 et, de plus,
∀t ∈ ] − R; R[ A(t)B(t) = C(t).
La suite c = (c_n)_(n ∈ ℕ) est appelée convolée (ou produit de convolution) de a et b, et on la note c = a∗b.
On donne le tableau de quelques valeurs de la fonction t ⟼ e^(− t) :
t 1 2 3 4 5 6
e^(− t) 0,37 0,14 5, 0 ⋅ 10^(− 2) 1, 8 ⋅ 10^(− 2) 6, 7 ⋅ 10^(− 3) 2, 5 ⋅ 10^(− 3)
t 7 8 9 10 11 12
e^(− t) 9, 1 ⋅ 10^(− 4) 3, 4 ⋅ 10^(− 4) 1, 2 ⋅ 10^(− 4) 4, 5 ⋅ 10^(− 5) 1, 7 ⋅ 10^(− 5) 6, 1 ⋅ 10^(− 6)

Premier problème : équation de diffusion

Soit g : [0; 1] ⟶ ℝ^+une fonction positive, continue, et telle que ∫_0^1 g(x)dx = 1.
On s'intéresse à une fonction f : [0; 1] × ℝ^+ ⟶ ℝ, dépendant de deux variables x et t, vérifiant l'équation différentielle suivante, appelée équation de diffusion :
∀(x, t) ∈ [0; 1] × ℝ^+ (∂^2 f)/(∂x^2)(x, t) − α(∂f)/(∂t)(x, t) = 0
où α > 0 est une constante, ainsi que la condition initiale
∀x ∈ [0; 1] f(x, 0) = g(x)
et les conditions au bord
(∂f)/(∂x)(0, t) = (∂f)/(∂x)(1, t) = 0 ∀t ⩾ 0
Cette équation permet notamment d'étudier la diffusion de la chaleur, ou bien la diffusion d'une substance dans un milieu : on suppose qu'à t = 0, la substance a une densité g sur [0; 1]; la fonction x ⟼ f(x, t) représente alors la densité de cette substance à l'instant t.
  1. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ^+, ∫_0^1 f(x, t)dt = 1. Interpréter ce résultat.
  2. On se propose de remplacer l'étude de l'équation (E) - qui fait intervenir des dérivées partielles - par l'étude d'un système différentiel - ne faisant intervenir que des équations différentielles ordinaires -, qui approche le problème précédent; c'est ce qu'on appelle la discrétisation.
Pour cela, on choisit un entier naturel n ⩾ 2, et on pose
Δ = 1/(n + 1) et x_k = kΔ pour k ∈ {0, …, n + 1}
On remplace l'équation (E) par le système
∀k ∈ [ [1; n] ] (f(x_(k + 1), t) − 2f(x_k, t) + f(x_(k − 1), t))/(Δ^2) − α(∂f)/(∂t)(x_k, t) = 0
Pour des facilités d'écriture, on posera Y(t) = ^T(y_1(t)⋯y_n(t)) et on étudiera le système d'équations différentielles
∀k ∈ [ [1; n] ] (y_(k + 1)(t) − 2y_k(t) + y_(k − 1)(t))/(Δ^2) − αy_k^′(t) = 0
De plus, la condition aux bords (CB) sera remplacée par
∀t ∈ ℝ^+ y_0(t) = y_1(t) et y_(n + 1)(t) = y_n(t)
et on supposera que ∑_(k = 1)^n y_k(0) = 1.
a) Montrer que le système ( E^′ ) assorti de sa condition aux bords ( CB^′ ) peut se mettre sous la forme
Y^′(t) = 1/(αΔ^2)AY(t)
Expliciter la matrice A.
b) Montrer que la quantité ∑_(k = 1)^n y_k(t) est constante par rapport au temps. Interpréter.
3. Montrer que 0 est valeur propre de A . En déduire toutes les solutions stationnaires du problème, c'est-à-dire les fonctions vectorielles t ⟼ Y(t) constantes par rapport au temps.
4. On cherche à encadrer les valeurs propres de la matrice A.
a) Rappeler pourquoi A est diagonalisable.
b) On note Sp(A) l'ensemble des valeurs propres de A.
Montrer que Sp(A) ⊂ [ − 4; 0].
Indication : On pourra choisir un vecteur propre Z = ^T(z_1 z_2⋯z_n) ∈ 𝔐_(n1)(ℝ) associé à une valeur propre λ.
5. a) On note P ∈ GL_n(ℝ) une matrice inversible telle que P^(− 1)AP est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux seront notés λ_1, …, λ_n, classés dans l'ordre décroissant.
Que vaut λ_1 ? Comparer λ_2 et 0 .
b) On note W(t) = P^(− 1)Y(t). Que vaut W^′(t) ? En déduire lim_(t → + ∞)W(t).
c) En déduire que lim_(t → + ∞)Y(t) existe et appartient à un certain sous-espace propre que l'on déterminera. En déduire la valeur de lim_(t → + ∞)Y(t). Interpréter ce résultat.
6. Exemple. Dans cette question uniquement, on prend n = 3 et α = 4.
a) Écrire la matrice A . Trouver une matrice P ∈ GL_3(ℝ) telle que P^(− 1)AP = diag(0, − 1, − 3).
b) La condition initiale est donnée par Y(0) = (1; 0; 0).
Calculer W(0), puis W(t) et Y(t) pour tout t ∈ ℝ^+. Tracer l'allure des courbes t ↦ y_1(t), t ↦ y_2(t) et t ↦ y_3(t).
c) À partir de quelle valeur de t peut-on être sûr que la solution que nous venons de calculer atteint sa valeur limite avec une marge d'erreur de 10^(− 5) ?
7. Évaluation de l'erreur commise On suppose que, pour tout t ∈ ℝ^+, la fonction x ⟼ f(x, t) est de classe 𝒞^4. Montrer qu'il existe une fonction t ⟼ M(t), telle que
∀k ∈ {1, 2, …, n} |(f(x_(k + 1), t) − 2f(x_k, t) + f(x_(k − 1), t))/(Δ^2) − f^(′′)(x_k, t)| ⩽ (M(t))/((n + 1)^2).
La fonction t ⟼ M(t) dépend-elle de n ? Commenter.
8. Quels commentaires, remarques, critiques, pouvez-vous faire sur la méthode employée?

Deuxième problème : détérioration d'une séquence génétique

On modélise une séquence génétique par une succession de sites, indicés par ℕ ou par ℤ. Pour chaque entier n, le site n pourra subir ou non une détérioration (mutation). On définit alors la variable aléatoire X_n en posant X_n = 1 en cas de détérioration du site n, et X_n = 0 dans le cas contraire.
Dans les parties A, B et C, nous considérerons des mutations ponctuelles, c'est-à-dire que (X_n)_(n ∈ ℕ) sera une suite de variables indépendantes identiquement distribuées, suivant une loi de Bernoulli.
Dans la partie D , nous considérerons le cas des recombinaisons, où des segments entiers, de longueur aléatoire, sont détériorés.
Nous considérons maintenant un événement, noté ℰ, qui peut se produire à chaque site. On dira que cet événement est régénératif si et seulement si il vérifie la propriété suivante : les distances entre les occurrences successives de l'événement ℰ sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi.

A Étude d'un événement régénératif : quelques relations fondamentales

Dans cette partie, la séquence génétique est indicée par ℕ^∗ = {1, 2, 3, …}.
Soit p ∈ ]0; 1[. Soit (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi :
P(X_n = 1) = p et P(X_n = 0) = q = 1 − p
L'événement X_n = 1 correspond à la détérioration du site n et l'événement X_n = 0 correspond à la non-détérioration de ce site.
  1. Exemple : On définit dans cette question l'evénement ℰ par : ℰ a lieu au site n si et seulement si X_n = 1. Montrer que ℰ est régénératif.
Bien sûr, d'autres événements régénératifs peuvent être envisagés, comme par exemple la répétition d'un motif non recouvrant (cf. partie C).
Soit ℰ un événement régénératif quelconque.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, notons a_n la probabilité que l'événement ℰ ait lieu au n-ième site, et b_n la probabilité qu'il ait lieu pour la première fois au n-ième site :
{a_n = P{ℰ a lieu au site n}; b_n = P{ℰ a lieu pour la première fois au site n}.
De plus, définissons par commodité a_0 = 1 et b_0 = 0. Ainsi, on supposera implicitement que ℰ a lieu au site n = 0 (on ne cherchera pas de signification à cette hypothèse).
Enfin, posons
A(x) = ∑_(n = 0)^∞a_n x^n B(x) = ∑_(n = 0)^∞b_n x^n b = ∑_(n = 0)^∞b_n = B(1).
  1. On note D la variable aléatoire exprimant la distance de la première occurrence de l'événement ℰ (cette distance pouvant être + ∞ si l'événement ℰ n'a pas lieu). On notera que, grâce à notre hypothèse sur a_0, D représente également la distance entre deux occurrences successives de l'événement ℰ.
Expliciter la loi de D.
Que représente le nombre 1 − b en terme d'occurrences de l'événement ℰ ?
Si b = 1, on dira que l'événement est récurrent.
3. On note b_n^((2)) la probabilité que ℰ ait lieu pour la deuxième fois au n-ième site, et on définit
B^((2))(x) = ∑_(n = 0)^∞b_n^((2))x^n.
Calculer, pour tout entier n ∈ ℕ, le coefficient b_n^((2)) en fonction de b_1, b_2, …, b_(n − 1).
Écrire alors b^((2)) = (b_n^((2)))_(n ∈ ℕ) sous la forme d'un produit de convolution.
En déduire B^((2)).
4. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on a a_n = (b∗a)_n, c'est-à-dire que a_n = ∑_(k = 0)^n b_k a_(n − k).
5. Montrer que A(x) = 1/(1 − B(x)) pour tout x ∈ [0; 1[.

B Occurrence de sous-séquences entièrement détériorées

Soit K un entier naturel. On s'intéresse, dans la séquence des sites, aux occurrences de sous-séquences non recouvrantes de K sites détériorés. Plus précisément, on dira que l'événement ℰ a lieu au site n si les sites n − K + 1 à n sont détériorés et si ℰ n'a pas eu lieu aux sites n − K + 1 à n : ainsi, en représentant une détérioration par un « 1 » et un site sain par un « 0 », dans la séquence suivante
10111101111111010,
a-t-on des suites de 3 détériorations aux sites 5 , 10 et 13 (mais pas, par exemple, aux sites 6,11 ou 12).
6. Montrer que ℰ est régénératif.
On emploiera les notations introduites aux équations (1) et (2).
7. Soit n ∈ ℕ tel que n ⩾ K.
a) Quelle est la probabilité d'avoir des sites détériorés aux rangs (n − K + 1), …, n − 2, n − 1, n ?
b) En utilisant la formule des probabilités totales et en notant que, si les sites indexés n − K + 1 à n, sont détériorés, l'événement ℰ a lieu à un et un seul de ces indices, trouver une relation entre a_(n − K + 1), …, a_n et p.
c) Que valent a_1, …, a_(K − 1) ? On rappelle, pour la suite, que a_0 = 1 par définition.
d) Montrer que
∑_(n = K)^∞p^K x^n = (1 + xp + x^2 p^2 + ⋯ + x^(K − 1)p^(K − 1))∑_(n = K)^∞a_n x^n
  1. En déduire les expressions de A(x) et de B(x).
  2. Calculer b et commenter.
  3. Montrer que la distance moyenne à l'origine de la première occurrence de ℰ (c'est-à-dire E(D) ) vaut (1 − p^K)/(qp^K).
  4. a) Quel est la distance moyenne de la première suite de 20 détériorations si p = 1/2 ?
    b) Même question pour p = 1/6.

C Occurrence de sous-séquences en partie détériorées

On s'intéresse aux occurrences non recouvrantes de sous-séquences de longueur 4, détériorées selon le motif suivant :

1101

On notera ℰ^∗ l'événement correspondant, et A^∗(x), a_n^∗, B(x), b_n^∗, D^∗ les quantités relatives à l'événement ℰ^∗.
Exemple. Dans la séquence suivante :
0110110111010011001⋯
l'événement ℰ a lieu aux sites 5 et 12, mais pas au site 8.
12. Montrer que ℰ^∗ est régénératif.
13. Soit n ∈ ℕ tel que n ⩾ 4.
a) Quelle est la probabilité d'avoir le motif « 1101 » aux sites n − 3, n − 2, n − 1 et n ?
b) En remarquant que, si le motif « 1101 » a lieu aux sites n − 3, n − 2, n − 1 et n, l'événement ℰ a lieu à un et un seul de ces sites, montrer que p^3 q = a_n + a_(n − 3)p^2 q pour tout n ⩾ 4.
14. Déduire de ce qui précède l'expression de A^∗(x).
15. Calculer alors B^∗(x). Montrer que b^∗ = B^∗(1) = 1.
16. Calculer E(D^∗).
17. Comparer les espérances de D et de D^∗ dans le cas K = 4, p = 1/(10).
Effectuer de même la comparaison dans le cas où p = 1/2, et commenter.

D Généralisation à la recombinaison

On modélise dans cette partie une séquence génétique par une succession de sites indicés par un entier relatif n ∈ ℤ. On s'intéresse maintenant à la détérioration de cette séquence par un processus de recombinaison. À chaque site n, successivement, peut avoir lieu une recombinaison, qui détériore un segment, de taille aléatoire, dont l'extrémité droite est n. En d'autres termes, on a le processus suivant :
  • à chaque site n ∈ ℤ, une recombinaison a lieu avec la probabilité 1 − α_0;
  • cette recombinaison résulte en la détérioration du site n seulement avec la probabilité α_1;
  • pour tout i ∈ ℕ^∗, elle résulte en la détérioration des sites n − i + 1, n − i + 2, ⋯, n avec la probabilité α_i; les réels α_i appartenant à ] 0; 1 [ et vérifiant ∑_(i = 0)^∞α_i = 1.
Un site sera sain s'il n'a subi aucune détérioration. Un site détérioré plusieurs fois reste détérioré.

18. Préliminaires

a) Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de réels positifs tels que 0 ⩽ u_n < 1 pour tout n ∈ ℕ. On pose, pour tout entier n, P_n = ∏_(k = 0)^n(1 − u_k). Montrer que la suite (P_n)_(n ∈ ℕ) converge et que sa limite ℓ appartient à [0; 1]. On dira alors que le produit infini ∏_(k = 0)^∞(1 − u_k) converge et on écrira
∏_(k = 0)^∞(1 − u_k) = ℓ.
b) Montrer que la série ∑ln(1 − u_n) converge si et seulement si la série ∑u_n converge.
c) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la série ∑u_n pour que ∏_(k = 0)^∞(1 − u_k) = 0.
d) Soit β > 0. En comparant la série ∑1/(n^β) et l'intégrale ∫_1^(+ ∞)1/(t^β)dt, donner une condition nécessaire et suffisante sur β pour que la série ∑1/(n^β) converge.
19. Calculer, en fonction de (α_n)_(n ∈ ℕ), la probabilité qu'un site donné soit détérioré. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette probabilité soit égale à 1 en fonction de (R_n)_(n ∈ ℕ), puis en fonction de (α_n)_(n ∈ ℕ).
On pourra utiliser les notations suivantes :
S_n = ∑_(k = 0)^n α_k R_n = 1 − S_n = ∑_(k = n + 1)^∞α_k
  1. Cette probabilité vaut-elle 1 ou non dans les cas suivants?
    a) la longueur de la séquence détériorée à chaque recombinaison suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈ ℝ^+, c'est-à-dire que α_k = (λ^k)/(k!)e^(− λ);
    b) elle suit la loi donnée par α_k = (1 − γ)γ^k, où γ ∈ ]0; 1[;
    c) elle suit la loi donnée par α_k = 1/((k + 1)(k + 2)) (on vérifiera au préalable que la suite (α_n)_(n ∈ ℕ) définit bien une loi de probabilité).

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