ENS Mathématiques BCPST 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Théorème central limite, convergence de lois
Équations aux dérivées partielles, séparation des variables
Équations différentielles linéaires du premier et du second ordre
Diagonalisation de matrices, vecteurs propres
Suites de matrices, comportement asymptotique

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BanqueX-ENS Année2020 FilièreBCPST MatièreMathématiques

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Difficile

Équation de la chaleur unidimensionnelle : marche aléatoire, équation aux dérivées partielles et diagonalisation de matrices tridiagonales

Le sujet, en quatre parties, relie plusieurs aspects de l'équation de la chaleur unidimensionnelle. La partie I établit, par le théorème central limite, la convergence renormalisée d'une marche aléatoire simple vers une densité gaussienne solution de l'équation de la chaleur. La partie II cherche les solutions séparables d'une équation aux dérivées partielles voisine, avec conditions au bord. Les parties III et IV diagonalisent des matrices de Toeplitz tridiagonales et relient leurs vecteurs propres aux résultats des parties précédentes.

1Partie I : marche aléatoire simpleloi de la marche aléatoire simple et convergence, après renormalisation, de sa fonction de répartition vers une densité gaussienne vérifiant l'équation de la chaleur.
2Partie II : équation aux dérivées partielles avec conditions au bordrecherche des solutions de la forme f(x)g(t) d'une équation aux dérivées partielles sur [0,1], menant à deux équations différentielles linéaires classiques.
3Partie III : diagonalisation d'une matrice de Toeplitz tridiagonaledétermination des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice tridiagonale de taille n, puis étude du comportement asymptotique de ses puissances.
4Partie IV : matrice absorbante et synthèsediagonalisation d'une matrice de taille n+2 interprétée comme la matrice de transition d'une marche aléatoire absorbée, en lien avec les trois parties précédentes.

Difficile. le rapport indique une moyenne de 8,45/20 et signale que chaque partie possédait au moins une question ayant résisté à la quasi-totalité des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,45 / 20 · écart-type 3,55 · 614 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,45/ 20
Écart-type: 3,55
Copies: 614

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Erreur sur l'ensemble des indices possibles · Division par une fonction sans vérifier sa non-nullité · Lacunes sur des raisonnements mathématiques basiques

L'épreuve a testé la qualité de raisonnement et de rédaction des candidats sur des aspects variés du programme de BCPST : équations différentielles, probabilités, analyse réelle, calcul matriciel et diagonalisation. Les copies montraient une assez bonne connaissance des techniques sur les équations différentielles et le calcul matriciel, mais moins d'aisance en probabilités, avec parfois de sérieuses lacunes sur des raisonnements mathématiques basiques. Seuls 10% des copies traitaient convenablement une large part des trois premières parties sans ces problèmes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreur sur l'ensemble des indices possiblesI.1.b
de nombreux candidats ont affirmé à tort une équivalence entre deux conditions sur les indices, probablement induits en erreur par la notation de l'énoncé.
2
Division par une fonction sans vérifier sa non-nullitéII.2 et II.3
beaucoup de copies ont divisé par une fonction évaluée en un point sans vérifier que cette valeur était non nulle, ou ont mal introduit le paramètre lambda.
3
Lacunes sur des raisonnements mathématiques basiques
le rapport signale de sérieuses lacunes sur la différence entre nombres réels et entiers, entre fonction non nulle et fonction qui ne s'annule pas, l'utilisation des quantificateurs et la non-division par zéro.
4
Aisance insuffisante en probabilitésI.2.a
les candidats montrent moins d'aisance sur l'indépendance des variables aléatoires et le théorème central limite que sur les équations différentielles ou le calcul matriciel.
5
Question de synthèse très rarement bien rédigéeII.7
le nombre de copies ayant correctement rédigé la question de synthèse concluant le raisonnement de la partie II est extrêmement faible.
6
Preuve de stricte positivité non trouvéeIII.5
aucun candidat n'a trouvé de preuve convaincante pour montrer que les coefficients de la matrice limite sont strictement positifs et non seulement positifs ou nuls.

Ce qui a été bien réussi

les questions 3 et 4 de la partie I, portant sur l'équation de la chaleur vérifiée par la densité gaussienne, ont été traitées correctement par la plupart des copies
la première question de la partie III, sur la diagonalisation en dimension 2, a été bien traitée par de nombreux candidats
les questions 4, 5 et 6 de la partie II, applications assez directes du cours sur les équations différentielles, ont été correctement traitées par la majorité des candidats

Conseils du jury

préciser qu'une fonction est dérivable avant de calculer sa dérivée
bien introduire tout paramètre utilisé, comme lambda, avant de l'exploiter
vérifier systématiquement qu'on ne divise jamais par une quantité potentiellement nulle
donner un minimum de rédaction même sur une question de cours, sans se contenter de recopier le résultat
noter les contraintes sur une inconnue, par exemple sa positivité, avant de résoudre une équation trigonométrique

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION - SESSION 2020
FILIÈRE BCPST
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Lyon, Paris, Paris-Saclay et à l'ENPC
Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend cinq pages numérotées de 1 à 5 .

Début de l'épreuve

Une marche aléatoire est une suite de variables aléatoires obtenues en sommant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées.
Dans la première partie, nous étudions une marche aléatoire simple et exhibons un lien entre l'évolution temporelle de sa loi, et une certaine équation aux dérivées partielles.
Cela motive l'étude, dans la deuxième partie, d'une équation aux dérivées partielles un peu plus générale, avec cette fois des conditions au bord, censées modéliser l'absorption de la marche aléatoire.
Enfin, dans les troisième et quatrième parties, nous revenons au discret en nous intéressant cette fois à une matrice, et à ses valeurs propres et vecteurs propres.
Les trois premières parties sont indépendantes. Les parties II et III ne font aucune référence à des marches aléatoires ou à des probabilités.

Notations et rappels

On utilise les notations habituelles

ℕ, ℤ, ℝ

, mais aussi

ℕ^*, ℤ^*, ℝ_+, ℝ_+^*

. Par exemple

ℤ^*

désigne l'ensemble des entiers relatifs non nuls, et

ℝ_+

l'ensemble des réels positifs ou nuls. Pour

m \leq n

entiers naturels, on note

[ [m, n] ] = {m, \dots, n}

l'ensemble des entiers naturels compris dans l'intervalle

[m, n]

. Pour

x

réel, on note

⌊x⌋

sa partie entière, définie comme étant l'unique entier vérifiant

⌊x⌋ \leq x < ⌊x⌋ + 1

Pour

n \geq 1

, on note

M_n(ℝ)

l'ensemble des matrices

M

carrées de taille

n

à coefficients réels. On identifie un vecteur de taille

n

avec la matrice de taille

n \times 1

. On dit qu'une suite

(M^((k)))_(k \geq 1)

de matrices dans

M_n(ℝ)

converge vers une matrice

M \in M_n(ℝ)

si pour tout

(i, j)

dans

[ [1, n] ]^2

, la suite des coefficients

(M_(i, j)^((k)))_(k \geq 1)

converge vers le coefficient

M_(i, j)

. On rappelle par ailleurs qu'un vecteur non nul

X \in ℝ^n

est un vecteur propre de

M

si il existe un réel

λ

tel que

MX = λX

. Ce réel est alors appelé valeur propre associée au vecteur propre

X

On rappelle qu'une application

f

E

dans

ℝ

est nulle si pour tout

x

dans

E

, on a

f(x) = 0

, et non nulle si il existe

x

dans

E

tel que

f(x) \neq 0

.
Enfin, toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur un même espace de probabilité

(Ω, T, ℙ)

Partie I

On considère

(X_n)_(n \geq 1)

une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans

{ - 1, 1}

, et telles que, pour tout

n \geq 1

, on ait

ℙ(X_n = 1) = ℙ(X_n = - 1) = 1/2

On note également

(S_n)_(n \geq 0)

la marche aléatoire associée, définie par

S_0 = 0

, et, pour

n \geq 1

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

Enfin, pour

n \in ℕ

k \in ℤ

, on note

u_(n, k) = ℙ(S_n = k).

(a) Pour $n \geq 1$ , montrer que les variables $(1 + X_1)/2, \dots, (1 + X_n)/2$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ . En déduire que la variable aléatoire $1/2(S_n + n)$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $1/2$ .
(b) Pour $n \geq 0$ , on note

A_n:={k ∈ ℤ : (n + k)/2 ∈ [ [0, n] ]}.

Montrer que pour tout

n \in ℕ

k \in ℤ

, on a :

u_(n, k) = {(n/((n + k)/2))2^(− n), si k ∈ A_n; 0, sinon .

(u_(n, k))_(n \in ℕ, k \in ℤ)

vérifie

u_(0, 0) = 1

ainsi que

u_(0, k) = 0

pour tout

k \in ℤ^*

, et

\foralln \in ℕ, \forallk \in ℤ, u_(n + 1, k) = (u_(n, k - 1) + u_(n, k + 1))/2.

Pour $n \in ℕ$ , on définit la fonction $F_n$ de $ℝ \times ℝ_+$ dans $ℝ$ par

\forallx \in ℝ, \forallt \in ℝ_+, F_n(x, t) = \sum_(k \leq ⌊x\sqrtn⌋)u_(⌊nt⌋, k).

et on s'intéresse au comportement de cette fonction lorsque

n

tend vers l'infini.
(a) Montrer que pour

x \in ℝ

fixé, on a

ℙ((S_n)/(\sqrtn) \leq x) \to _(n \to + \infty)1/(\sqrt(2π))\int_(- \infty)^x e^(- (u^2)/2) du

(b) On admet que dans la question précédente on peut remplacer

x

par une suite (

x_n

) qui tend vers

x

, et encore obtenir

ℙ((S_n)/(\sqrtn) \leq x_n) \to _(n \to + \infty)1/(\sqrt(2π))\int_(- \infty)^x e^(- (u^2)/2) du.

Montrer que pour

(x, t) \in ℝ \times ℝ_+^*

, on a

F_n(x, t)

tend vers

F(x, t)

quand

n

tend vers l'infini, où

F

est la fonction définie par

F(x, t) = 1/(\sqrt(2π))\int_(- \infty)^(x/(\sqrtt))e^(- (u^2)/2) du

Montrer que, pour $(x, t) \in ℝ \times ℝ_+^*$ , on peut écrire $F(x, t) = \int_(- \infty)^x f(y, t)dy$ , où $f$ est la fonction de $ℝ \times ℝ_+^*$ dans $ℝ$ définie par

f(y, t) = 1/(\sqrt(2πt))e^(- (y^2)/(2t))

Montrer que $f$ vérifie, pour $y \in ℝ$ et $t \in ℝ_+^*$ ,

(\partialf)/(\partialt)(y, t) = 1/2(\partial^2 f)/(\partialy^2)(y, t)

Partie II

Dans cette partie, on fixe

m \in ℝ

, et on s'intéresse aux fonctions

u

[0, 1] \times ℝ_+

dans

ℝ

, de classe

C^2

, et solutions de l'équation aux dérivées partielles suivante :

(\partialu)/(\partialt)(x, t) = m(\partialu)/(\partialx)(x, t) + 1/2(\partial^2 u)/(\partialx^2)(x, t),

avec conditions au bord

\forallt \geq 0, u(0, t) = u(1, t) = 0

On cherche les solutions

u

non nulles qui peuvent se décomposer en un produit de deux fonctions d'une seule variable.
Soient donc

f : [0, 1] \to ℝ

g : ℝ_+ \to ℝ

deux fonctions de classe

C^2

. On suppose que la fonction

u : [0, 1] \times ℝ_+ \to ℝ

définie par

u(x, t) = f(x)g(t)

est non nulle et solution de (1) et (2).

Vérifier que les fonctions $f$ et $g$ sont alors non nulles.
Montrer qu'il existe un réel $λ$ tel que la fonction $g$ vérifie l'équation différentielle

\forallt \in ℝ_+, g^'(t) = λg(t)

puis résoudre cette équation différentielle.
3. Montrer que pour cette même valeur de

λ

, la fonction

f

vérifie l'équation différentielle

\forallx \in [0, 1], 1/2f^('')(x) + mf^'(x) = λf(x)

avec conditions au bord

f(0) = f(1) = 0

.
4. On suppose dans cette question

λ > - (m^2)/2

.
(a) Montrer qu'il existe deux réels

a

b

tels que

\forallx \in [0, 1], f(x) = ae^(r_+x) + be^(r_-x)

pour des réels

r_+

r_-

que l'on précisera.
(b) Montrer que

a

b

sont nécessairement nuls, et obtenir une contradiction.
5. En procédant comme dans la question précédente, obtenir une contradiction si l'on suppose

λ = - (m^2)/2

.
6. On suppose dans cette question

λ < - (m^2)/2

.
(a) Montrer qu'il existe deux réels

a

b

tels que

\forallx \in [0, 1], f(x) = (acos(πlx) + bsin(πlx))e^(- mx)

où

l = 1/π\sqrt(- 2λ - m^2)

.
(b) Montrer que l'on a nécessairement

a = 0, b \neq 0

, et

l \in ℕ^*

.
7. Déterminer tous les couples (

f, g

) de fonctions

C^2

tels que la fonction

u : (x, t) \mapsto u(x, t) = f(x)g(t)

soit non nulle et solution de (1) et (2).

Partie III

Dans cette partie, on se fixe

n

un entier supérieur ou égal à 2 , et

a, b

c

des réels strictement positifs. On s'intéresse à la matrice

M = (M_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

M_n(ℝ)

définie par

M_(i, j) = {a, si j = i; b, si j = i − 1; c, si j = i + 1; 0, si j ∉ {i − 1, i, i + 1}

Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$ . On a alors $M = (a, c; b, a)$ . Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de $M$ .
Pour $l \in [ [1, n] ]$ et $r \in ℝ_+^*$ , on note $X^((l, r)) = (X_i^((l, r)))_(1 \leq i \leq n)$ le vecteur défini par

X_i^((l, r)) = r^i sin((ilπ)/(1 + n)),

Y^((l, r)) = (Y_i^((l, r)))_(1 \leq i \leq n)

le vecteur défini par

Y_i^((l, r)) = r^i cos((ilπ)/(1 + n))

Pour

l \in [ [1, n] ]

r \in ℝ_+^*

, montrer que l'on a :

MX^((l, r)) = (a + (cr + b/r)cos((lπ)/(1 + n)))X^((l, r)) + (cr - b/r)sin((lπ)/(1 + n))Y^((l, r))

En déduire que pour

l \in [ [1, n] ]

, le vecteur

X^((l, \sqrt(b/c)))

est un vecteur propre, et déterminer la valeur propre associée. On notera

X^((l)) = X^((l, \sqrt(b/c)))

ce vecteur propre, et

λ^((l))

la valeur propre associée.
3. Soient

m \geq 1

Z^((1)), \dots, Z^((m))

des vecteurs propres d'une matrice

A \in M_n(ℝ)

, associés aux valeurs propres

λ_1, \dots, λ_m

supposées distinctes et ordonnées par ordre décroissant :

λ_1 > \dots > λ_m

.
(a) Sous l'hypothèse supplémentaire

λ_m > 0

, montrer que la famille

(Z^((1)), \dots, Z^((m)))

est libre. On pourra considérer, pour

Z

combinaison linéaire de ces vecteurs, le comportement de

A^k Z

lorsque

k

tend vers l'infini.
(b) Montrer que le résultat reste vrai sans l'hypothèse

λ_m > 0

.
(c) En déduire que les vecteurs

X^((1)), \dots, X^((n))

forment une base de

ℝ^n

.
4. Pour

l \in [ [1, n] ]

, on note

E^((l)) = (E_i^((l)))_(1 \leq i \leq n)

le vecteur défini par

E_i^((l)) = {1, si i = l; 0, sinon

de sorte que

E^((1)), \dots, E^((n))

est la base canonique de

ℝ^n

. Pour

l \in [ [1, n] ]

, on note

(α_(i, l))_(1 \leq i \leq n)

les coefficients de

E^((l))

dans la base

X^((1)), \dots, X^((n))

. Montrer que la suite de matrices

(1/((λ^((1)))^k)M^k)_(k \geq 1)

converge vers la matrice

N = (N_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

définie par

N_(i, j) = α_(1, j)(b/c)^(i/2)sin((iπ)/(1 + n)).

Montrer que les coefficients $N_(i, j)$ sont tous strictement positifs.

Partie IV

Dans cette partie, on se fixe

n

un entier supérieur ou égal à 2 , et

a, b

c

des réels strictement positifs et de somme 1 . On s'intéresse à la matrice

M = (M_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n + 2)

M_(n + 2)(ℝ)

définie par

M_(i, j) = {1, si j = i = 1 ou j = i = n + 2; a, si j = i et j ∈ [ [2, n + 1] ]; b, si j = i − 1 et j ∈ [ [2, n + 1] ]; c, si j = i + 1 et j ∈ [ [2, n + 1] ]; 0, sinon.

Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de

M

, et expliquer les liens que l'on peut voir entre cette matrice et les trois premières parties.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques banque BCPST inter-ENS-ENPC 2020 ?

Le sujet porte sur le théorème central limite et les marches aléatoires, les équations différentielles et une équation aux dérivées partielles, ainsi que sur la diagonalisation de matrices tridiagonales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de mathématiques banque BCPST inter-ENS-ENPC 2020 ?

Le jury signale des lacunes sur des raisonnements mathématiques basiques, des divisions par une fonction sans vérifier sa non-nullité, et un manque d'aisance en probabilités.

L'épreuve de mathématiques banque BCPST inter-ENS-ENPC 2020 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme difficile, avec une moyenne de 8,45/20 sur 614 copies corrigées et au moins une question très peu réussie dans chaque partie.

Quelles écoles utilisent l'épreuve de mathématiques banque BCPST inter-ENS-ENPC 2020 ?

L'épreuve est commune aux ENS de Lyon, Paris et Paris-Saclay ainsi qu'à l'École nationale des ponts et chaussées, avec des coefficients différents selon l'école.

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Notations et rappels

Partie I

Partie II

Partie III

Partie IV

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

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Quelles écoles utilisent l'épreuve de mathématiques banque BCPST inter-ENS-ENPC 2020 ?

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