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ENS Mathématiques BCPST 2021Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
  • Analyse numérique : méthode de Simpson
  • Probabilités : variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
  • Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi des grands nombres
  • Étude de fonctions, accroissements finis
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Présentation du sujet

Difficile
Approximation d'intégrales : méthode de Simpson et méthode de Monte-Carlo
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Le sujet est composé de quatre parties autour de l'approximation de quantités s'apparentant à des intégrales. La première partie étudie la méthode de Simpson pour approcher l'intégrale d'une fonction régulière. Les deux parties suivantes étudient l'approximation de l'espérance d'une variable aléatoire par la moyenne empirique (méthode de Monte-Carlo), sous deux jeux d'hypothèses différents. La quatrième partie met en relation les résultats obtenus.

  1. 1Partie I : méthode de SimpsonÉtude de l'erreur commise en approchant une intégrale par un polynôme quadratique, jusqu'à l'estimation globale de l'erreur de la méthode de Simpson.
  2. 2Partie II : méthode de Monte-Carlo, cas des variables symétriquesÉtude de la probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance pour des variables aléatoires symétriques admettant un moment d'ordre 2.
  3. 3Partie III : cas des variables à valeurs dans un intervalle finiÉtude de la même quantité que la partie II sous l'hypothèse que les variables aléatoires sont à valeurs dans un intervalle borné.
  4. 4Partie IV : mise en relation des parties précédentesComparaison des hypothèses et des résultats des parties II et III, puis rapprochement entre la méthode déterministe de la partie I et la méthode stochastique de la partie III.

Difficile. La moyenne des candidats admissibles n'est que de 9,10/20 avec un écart-type de 2,90, et le rapport qualifie explicitement certaines questions de 'plus difficile de cette partie' ou 'clairement la plus difficile de ce sujet', avec des questions que même les meilleures copies n'ont pas su conclure entièrement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,1 / 20 · écart-type 2,9 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,1/ 20
Écart-type
2,9
moyenne 9,105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreur sur les nouvelles bornes après changement de variable · Majoration incomplète dans la preuve de l'inégalité des accroissements finis · Récurrence inadaptée pour conclure la partie I
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Les notes des candidats admissibles s'étalent de 2 à 18,7 sur 20, avec une moyenne de 9,10 et un écart-type de 2,90. Le jury a récompensé la précision de la rédaction et l'honnêteté des candidats dans leurs démonstrations, et a sanctionné les rares candidats ayant tenté d'imposer des résultats par des affirmations non justifiées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreur sur les nouvelles bornes après changement de variableQ2 (partie I)

    Un changement de variable indiqué dans l'énoncé demandait une application directe du cours, mais les nouvelles bornes de l'intervalle d'intégration ont souvent été données de façon fausse.

    « les nouvelles bornes de l’intervalle d’intégration données ont souvent été fausses »
  2. 2
    Majoration incomplète dans la preuve de l'inégalité des accroissements finisQ3 (partie I)

    L'erreur principale a été d'oublier la dernière étape consistant à majorer la dérivée sur l'intervalle considéré.

    « L’erreur principale dans cette question a été d’oublier cette dernière étape »
  3. 3
    Récurrence inadaptée pour conclure la partie IQ5 (partie I)

    Certaines copies ont tenté d'utiliser une récurrence pour conclure la question finale de la partie I, ce qui n'était pas la bonne approche.

  4. 4
    Question la plus difficile de la partie II non conclueQ6 (partie II)

    Cette question, jugée la plus difficile de la partie, n'a été traitée que dans de rares copies qui n'ont pas conclu entièrement.

    « La question 6 , qui est la plus difficile de cette partie, n’a été traitée que dans de rares copies »
  5. 5
    Question la plus difficile du sujet, aucune copie n'a aboutiQ4.a (partie III)

    Cette question, jugée la plus difficile du sujet, n'a été abordée qu'un nombre très restreint de fois et aucune copie n'est parvenue à la conclusion.

    « La question 4.a. est clairement la plus difficile de ce sujet et n’a été abordée qu’un nombre très restreint de fois »
  6. 6
    Extension à tout t réel mal compriseQ3.c (partie III)

    Il fallait remarquer que le résultat prouvé pour les t positifs se prouve pour tout t réel en considérant la variable aléatoire opposée, ce qui n'a généralement pas été compris.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1.a et 1.b de la partie I ont été bien, voire parfaitement, traitées dans la quasi-totalité des copies sélectionnées.
  • Les questions 4.c et 4.d de la partie I ont généralement été bien traitées.
  • Les questions 1.a et 1.b de la partie II, portant sur l'indépendance de variables aléatoires, ont été bien traitées dans une large majorité des copies.
  • La question 3.a de la partie III a été traitée dans une grande majorité de copies.

Conseils du jury

  • Soigner la rigueur de rédaction, en particulier sur les applications directes du cours comme les changements de variable.
  • Ne pas oublier la dernière étape d'une démonstration, par exemple une majoration nécessaire pour conclure.
  • Préférer une démonstration directe à une récurrence lorsque l'énoncé ne s'y prête pas.
  • Éviter d'imposer un résultat par une affirmation non justifiée : le jury sanctionne cette pratique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES
CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2021
FILIÈRE BCPST
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Lyon, Paris, Paris-Saclay et à l'ENPC
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le sujet comprend 5 pages numérotées de 1 à 5 .

Début de l'épreuve

L'épreuve est composée de quatre parties. Les trois premières parties peuvent être traitées de manière indépendante. Dans chaque partie, on pourra admettre le résultat d'une question pour continuer le sujet.
Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Partie I

Le but de cette partie est de donner une approximation de l'intégrale d'une fonction f de classe C^3 sur un intervalle fini [a, b], où a et b sont deux réels tels que a < b. On commence par s'intéresser au cas de polynômes de degré 2 .
  1. Dans cette question, on étudie les polynômes suivants:
P_0(X) = 2X^2 − 3X + 1, P_1(X) = 2X^2 − X, et P_2(X) = 4X − 4X^2.
1.a. Donner les racines de ces trois polynômes et les valeurs de ∫_0^1 P_i(x)dx, pour i ∈ {0; 1; 2}.
1.b. Montrer que pour tout polynôme Q de degré inférieur ou égal à 2 et pour tout x ∈ ℝ, on a
Q(x) = Q(0)P_0(x) + Q(1)P_1(x) + Q(1/2)P_2(x).
En déduire que
∫_0^1 Q(x)dx = 1/6[Q(0) + Q(1) + 4Q(1/2)].
Dans la suite du problème, on choisit deux réels c et d dans [a, b] tels que c < d.
2. On considère P un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 . En utilisant le changement de variable y = (d − c)x + c, calculer
∫_c^d P(y)dy − ((d − c))/6[P(c) + P(d) + 4P((c + d)/2)].
  1. Soit g une fonction de C^1 sur [a, b]. Montrer qu'il existe une constante M > 0 telle que pour tous x, y ∈ [a, b],
|g(x) − g(y)| ⩽ M|x − y|.
Dans la fin de cette partie, on fixe f une fonction de classe C^3 sur [a, b].
4. Dans cette question, on se propose d'étudier la différence
∫_c^d f(y)dy − ((d − c))/6[f(c) + f(d) + 4f((c + d)/2)].
Pour cela, on pose, pour tout h ∈ [0, d − c],
φ(h) = ∫_c^(c + h)f(y)dy − h/6[f(c) + f(c + h) + 4f(c + h/2)].
4.a. Justifier que φ est une fonction de classe C^3 sur [0, d − c] et calculer ses dérivées jusqu'à l'ordre 3.
4.b. Montrer qu'il existe une constante M indépendante de c et d telle que, pour tout h ∈ [0, d − c],
|φ^((3))(h)| ⩽ Mh.
4.c. En déduire que pour tout h ∈ [0, d − c], |φ^(′′)(h)| ⩽ M/2h^2.
4.d. En procédant de même, établir que
|∫_c^d f(y)dy − ((d − c))/6[f(c) + f(d) + 4f((c + d)/2)]| ⩽ M/(24)(d − c)^4
  1. On fixe n entier strictement positif. Pour tout i ∈ [ [1; n] ], on pose
f_i:=f(a + i(b − a)/n) + f(a + (i + 1)(b − a)/n) + 4f(a + (i + 1/2)(b − a)/n).
Montrer qu'il existe une constante M, indépendante de n, telle que
|∫_a^b f(y)dy − ((b − a))/(6n)∑_(i = 0)^(n − 1)f_i| ⩽ M/(24n^3)(b − a)^4

Partie II

Dans cette partie, on considère (X_n)_(n ⩾ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X où X est une variable aléatoire à valeurs réelles, de moyenne μ, de variance finie σ^2 > 0. De plus, pour tout entier n > 0, et pour tout réel x, on suppose
ℙ(∑_(i = 1)^n(X_i − μ) ⩽ x) = ℙ(∑_(i = 1)^n(X_i − μ) ⩾ − x)

Questions préliminaires :

a. Donner la moyenne et la variance de la variable aléatoire 1/n∑_(i = 1)^n X_i. Puis démontrer que pour tout ε > 0,
lim_(n → + ∞)ℙ(|1/n∑_(i = 1)^n(X_i − μ)| ⩾ ε) = 0
b. Dans cette question uniquement, on suppose que ℙ(X = 1) = ℙ(X = − 1) = 1/2. Soit n un entier strictement positif, montrer que la variable ∑_(i = 1)^n(X_i + 1)/2 suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2. En déduire que
lim_(n → + ∞)1/nln[ℙ(|1/n∑_(i = 1)^n X_i| ⩾ 1)] = − ln(2)
On revient maintenant au cas général.
  1. On considère deux entiers strictement positifs n et q et deux réels strictement positifs ε_1 et ε_2.
    1.a. Justifier que les deux variables aléatoires ∑_(i = 1)^n X_i et ∑_(i = n + 1)^(n + q)X_i sont indépendantes.
    1.b. Puis établir que
ℙ(∑_(i = 1)^(n + q)X_i ⩾ ε_1 + ε_2) ⩾ ℙ(∑_(i = 1)^n X_i ⩾ ε_1)ℙ(∑_(i = n + 1)^(n + q)X_i ⩾ ε_2).
Pour la suite de cette partie, on admettra le résultat suivant : pour tous entiers strictement positifs, n et q, ∑_(i = n + 1)^(n + q)X_i et ∑_(i = 1)^q X_i ont la même loi et donc la même fonction de répartition.
2. Soit ε > 0. On pose pour tout n ⩾ 1,
u_n = ℙ(1/n∑_(i = 1)^n(X_i − μ) ⩾ ε)
Prouver que pour tout n ⩾ 1 et tout q ⩾ 1,
u_(n + q) ⩾ u_n u_q
Dans toute la suite de cette partie, on admet qu'il existe ε > 0 tel que
ℙ(X − μ ⩾ ε) > 0
  1. Montrer que, pour tout n ⩾ 1, u_n > 0. On pose alors α_n = − ln(u_n) pour tout n ⩾ 1, en déduire que pour tout n ⩾ 1 et tout q ⩾ 1,
0 ⩽ α_(n + q) ⩽ α_n + α_q
  1. Soit un entier q ⩾ 1, on pose β_q = sup{α_r, 1 ⩽ r < q}. Montrer que, pour tout entier k ⩾ q, on a
(α_k)/k ⩽ (α_q)/q + (β_q)/k
(Indication : on pourra utiliser la division euclidienne de k par q.)
5. Pour tout entier n ⩾ q, on pose S_n = sup{(α_k)/k, k ⩾ n}. Montrer que la suite (S_n)_(n ⩾ q) converge vers une limite plus petite que (α_q)/q.
6. Déduire des questions précédentes que la suite ((α_n)/n)_(n ⩾ 1) converge. (Indication : on pourra s'intéresser à inf {(α_k)/k, k ⩾ 1}.)
7. Déduire des questions précédentes que la suite de terme général
− 1/nln[ℙ(|1/n∑_(i = 1)^n(X_i − μ)| ⩾ ε)]
admet une limite lorsque n tend vers + ∞. Puis comparez ce résultat avec celui des questions préliminaires.

Partie III

Dans cette partie, on considère X une variable à valeurs réelles de moyenne finie μ et pour laquelle il existe deux réels x_1 < x_2 tels que l'évènement {x_1 ⩽ X ⩽ x_2} est certain.
  1. Soient y et z deux réels et p ∈ [0; 1]. Montrer que
e^(py + (1 − p)z) ⩽ pe^y + (1 − p)e^z.
  1. En remarquant que X = x_1(x_2 − X)/(x_2 − x_1) + x_2(X − x_1)/(x_2 − x_1), en déduire que, pour tout réel t ∈ ℝ,
𝔼[e^(tX)] ⩽ (x_2 − μ)/(x_2 − x_1)e^(tx_1) + (μ − x_1)/(x_2 − x_1)e^(tx_2).
  1. Le but de cette question est de montrer que, pour tout réel t ∈ ℝ,
𝔼[e^(t(X − μ))] ⩽ exp((t^2(x_2 − x_1)^2)/8).
Pour cela, on introduit, pour tout t ∈ [0; + ∞[,
g(t) = − t(μ − x_1) + ln((x_2 − μ + (μ − x_1)e^(t(x_2 − x_1)))/(x_2 − x_1)) − ((x_2 − x_1)^2 t^2)/8.
3.a. Vérifier que g est de classe C^∞ sur [0; + ∞[ et donner ses dérivées d'ordres 1 et 2 .
3.b. Montrer que, pour tout t ⩾ 0, g^(′′)(t) ⩽ 0 et en déduire le résultat (1) pour tout t ⩾ 0.
3.c. Conclure.
4. Soit n un entier strictement positif. Pour la dernière question de cette partie, on introduit un échantillon (X_1, …, X_n) de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X.
4.a. Soit ε > 0, en utilisant le résultat de la question précédente, montrer que
ℙ(|1/n∑_(k = 1)^n(X_k − μ)| ⩾ ε) ⩽ 2exp(− (2nε^2)/((x_2 − x_1)^2)).
4.b. On veut finalement définir un intervalle de confiance. Soit α ∈ ]0; 1[, expliciter un réel v, dépendant des paramètres et de α, tel que
ℙ(μ ∈ [1/n∑_(k = 1)^n X_k − v; 1/n∑_(k = 1)^n X_k + v]) ⩾ 1 − α.

Partie IV

Comparer les résultats des parties II et III puis les résultats des parties I et III.
Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths banque BCPST Inter-ENS/ENPC 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths banque BCPST Inter-ENS/ENPC 2021 ?

Le sujet porte sur l'approximation d'intégrales : la méthode de Simpson en analyse numérique dans la première partie, puis la méthode de Monte-Carlo en probabilités dans les parties suivantes, avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ENS BCPST maths 2021 ?

Le jury relève des erreurs sur les bornes d'intégration après changement de variable, une majoration oubliée dans une démonstration, et un recours inadapté à une récurrence là où une preuve directe était attendue.

Ce sujet de maths ENS BCPST 2021 est-il difficile ?

Oui, la moyenne des candidats admissibles n'est que de 9,10/20, et le rapport qualifie explicitement certaines questions de plus difficiles du sujet, n'ayant été résolues par aucune copie.

Quelle est la question la plus difficile du sujet de maths ENS BCPST 2021 ?

Le rapport indique que la question 4.a de la partie III est clairement la plus difficile du sujet : très peu de copies l'ont abordée et aucune n'a abouti.

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