ENS Mathématiques BCPST 2015Sujet et corrigé

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Nombres complexes et inégalités
Matrices, valeurs propres et diagonalisation
Normes matricielles et rayon spectral
Chaînes de Markov et matrices stochastiques
Variables aléatoires discrètes, loi binomiale et théorème central limite

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Théorème de Perron-Frobenius, matrices stochastiques et modèle de Wright-Fisher avec mutation

Le sujet démontre une version du théorème de Perron-Frobenius sur les matrices strictement positives, à l'aide du théorème de Gelfand sur le rayon spectral. Il applique ensuite ces résultats aux matrices stochastiques puis à un modèle probabiliste de génétique des populations, le modèle de Wright-Fisher avec mutation, décrivant l'évolution de la fréquence d'un allèle dans une population.

1Partie 1 : matrices strictement positivesOn établit des inégalités sur les modules de nombres complexes puis sur l'action d'une matrice strictement positive sur des vecteurs ordonnés.
2Partie 2 : algèbre linéaire préliminaireOn introduit le rayon spectral et la norme infinie des matrices, et on démontre le théorème de Gelfand ainsi que l'égalité des rayons spectraux d'une matrice et de sa transposée, dans le cas diagonalisable.
3Partie 3 : le théorème de Perron-FrobeniusOn démontre qu'une matrice strictement positive admet une unique loi de probabilité propre associée à son rayon spectral, qui est strictement positive.
4Partie 4 : les matrices stochastiquesOn étudie les propriétés des matrices stochastiques et on montre que leur rayon spectral vaut 1, avec existence d'une loi invariante dans le cas strictement positif.
5Partie 5 : le modèle de Wright-Fisher avec mutationOn modélise l'évolution du nombre de porteurs d'un allèle dans une population par une chaîne de Markov, on introduit un paramètre de mutation et on étudie la convergence de la loi vers une loi invariante.

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2015

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l'ENPC

Durée : 4 heures

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

L'examen est composé de cinq parties. Chaque partie peut se traiter de manière indépendante en admettant les résultats principaux des parties précédentes. Pour les parties 3 et 4 , les résultats principaux sont énoncés en début de partie.

Dans ce qui suit, on utilisera les notations suivantes.

Pour tout $z \in ℂ, z¯$ est le complexe conjugué de $z.|z|$ est le module de $z$ , c'est à dire $|z|^2 = zz¯$ . $ℜ(z)$ est la partie réelle de $z, ℑ(z)$ sa partie imaginaire.
$M_n(ℝ)$ est l'ensemble des matrices carrées réelles de dimension $n$ par $n$ .
$\forallA \in M_n(ℝ), ^t A$ est la transposée de $A$ .
$G_n(ℝ)$ est l'ensemble des matrices inversibles dans $M_n(ℝ)$ .
On identifiera $ℝ^n$ avec l'espace vectoriel composé des vecteurs colonnes réels de taille $n$ . On identifiera $ℂ^n$ avec l'ensemble des vecteurs colonnes complexes de taille $n$ .
Pour tout $A \in M_n(ℝ), Spec(A)$ est le spectre de $A$ , c'est à dire l'ensemble des $λ \in ℂ$ tel qu'il existe $v \in ℂ^n$ non nul satisfaisant $Av = λv$ .

1. Résultats préliminaires 1 : Matrices strictement positives

On dit qu'une matrice de

M_n(ℝ)

est strictement positive si et seulement si tous ses coefficients sont strictement positifs.
(1.1) Soit

z_1, z_2 \in ℂ

. Montrer que

|z_1|^2|z_2|^2 = ℜ(z_1 z¯_2)^2 + ℑ(z_1 z¯_2)^2

.
(1.2) En déduire que

ℜ(|z_1||z_2| - z_1 z¯_2) ⩾ 0

, et que

ℜ(|z_1||z_2| - z_1 z¯_2) = 0

si et seulement si

|z_1||z_2| = z_1 z¯_2

.
(1.3) Soit

B \in M_n(ℝ)

une matrice strictement positive. Soit

v \in ℂ^n

tel que

\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n B_(ij)(|v_i||v_j| - v_i v¯_j) = 0

où

v_i

est le

i

-ème composante de

v

. Montrer que pour tout

i, j \in {1, \dots, n}

, on a

|v_i||v_j| = v_i v¯_j

.
Pour deux vecteurs

u, v \in ℝ^n

, on écrira

u < v

si et seulement si

∀i ∈ {1, ⋯, n}, u_i < v_i

où

u_i

est la

i

-ème composante de

u

, et

v_i

est la

i

-ème composante de

v

. De même, on écrira

u ⩽ v

si et seulement si

∀i ∈ {1, ⋯, n}, u_i ⩽ v_i.

Enfin, si

u_i > 0

(respectivement

u_i ⩾ 0

) pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on écrira

u > 0

(respectivement

u ⩾ 0

).
(1.4) Soient

u, v \in ℝ^n

deux vecteurs distincts tels que

u ⩽ v

A \in M_n(ℝ)

une matrice strictement positive. Montrer que

Au < Av

.
(1.5) En déduire l'existence d'un réel

ε > 0

, tel que

(1 + ε)Au ⩽ Av

2. RÉsultats préliminaires 2 : algèbre linéaire

On dit que

v \in ℝ^n

est une loi de probabilité si et seulement si

v ⩾ 0

\sum_(i = 1)^n v_i = 1

.
(2.1) Montrer que si

v, v^' \in ℝ^n

sont deux lois de probabilité telles que

{mv : m ∈ ℝ} = {mv^′ : m ∈ ℝ}

alors

v = v^'

.
Pour tout

A \in M_n(ℝ)

, on définit le rayon spectral

ρ(A) = max{|λ| : λ \in Spec(A)}

et la norme infinie

‖A‖_∞ = max{∑_(j = 1)^n|A_(ij)| : i ∈ {1, ⋯, n}}.

(2.2) Pour tout

v \in ℂ^n

, démontrer que pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on a

|\sum_(j = 1)^n A_(ij)v_j| ⩽ ‖A‖_\infty‖v‖_\infty

, où

‖v‖_∞ = max{|v_i| : i ∈ {1, ⋯, n}}

.
(2.3) En déduire que

‖A‖_\infty ⩾ ρ(A)

Dans les parties suivantes, on va utiliser le théorème de Gelfand qui s'énonce de la manière suivante:
Théorème 2.1. Pour tout

A \in M_n(ℝ), lim_(N \to \infty)‖A^N‖_\infty^(1/N)

existe et est égale à

ρ(A)

.
Dans cette sous-partie, on montrera ce résultat dans le cas particulier où

A

est une matrice diagonalisable dans

ℝ

, c'est à dire qu'il existe

P \in G_n(ℝ)

D

diagonale tel que

A = PDP^(- 1)

(2.4) Soient

B, C \in M_n(ℝ)

. Montrer que

‖BC‖_\infty ⩽ ‖B‖_\infty‖C‖_\infty

.
(2.5) Soient

S \in G_n(ℝ)

une matrice inversible de

M_n(ℝ)

M \in M_n(ℝ)

. Montrer que

‖S^(- 1)MS‖_\infty ⩽ ‖S‖_\infty‖S^(- 1)‖_\infty‖M‖_\infty; ‖S^(- 1)MS‖_\infty ⩾ (‖S‖_\infty‖S^(- 1)‖_\infty)^(- 1)‖M‖_\infty.

Pour la deuxième inégalité, on remarquera que

‖S^(- 1)MS‖_\infty = 1/(‖S^(- 1)‖_\infty‖S‖_\infty)‖S‖_\infty‖S^(- 1)MS‖_\infty‖S^(- 1)‖_\infty.

(2.6) En déduire le théorème de Gelfand dans le cas particulier où

A

est diagonalisable dans

ℝ

Dans ce qui suit, on aura aussi à utiliser le théorème suivant.
Théorème 2.2. Pour tout

A \in M_n(ℝ), ρ(A) = ρ(^t A)

.
Encore une fois, on se contente de démontrer ce résultat dans le cas particulier où

A

est diagonalisable dans

ℝ

, c'est à dire,

A = PDP^(- 1)

où

P

D

sont définis comme dans les questions précédentes.
(2.7) En calculant

^t(PP^(- 1))

, montrer que

^t(P^(- 1)) = (^t P)^(- 1)

. On rappelle aussi que

\forallB, C \in M_n(ℝ), ^t(BC) = ^t C^t B

.
(2.8) En déduire que

^t A = (^t P)^(- 1)D^t P

et que

ρ(A) = ρ(^t A)

3. Le théorème de Perron Froebenius

Dans cette partie, on admettra la version générale du théorème de Gelfand, i.e., le théorème 2.1 énoncé plus haut. En admettant ce résultat, l'objet de cette section est la démonstration du théorème suivant.

Théorème 3.1. Soit

A

une matrice strictement positive. Il existe une unique loi de probabilité

v \in ℝ^n

telle que

Av = ρ(A)v

. De plus,

v > 0

{w ∈ ℂ^n : Aw = ρ(A)w} = {mv : m ∈ ℂ}.

C'est la première partie du célèbre théorème de Perron-Froebenius.
Pour le restant de cette section, on considère une matrice

A

strictement positive.
Soit

λ \in ℂ

une valeur propre de

A

, telle que

|λ| = ρ(A)

et soit

φ \in ℂ^n

non nul tel que

Aφ = λφ

.
(3.1) Montrer que

A|φ| ⩾ ρ(A)|φ|

, où pour tout

w \in ℂ^n, |w|

dénote le vecteur tel que

∀i ∈ {1, ⋯, n}, |w|_i = |w_i|

(on prend la valeur absolue de chaque coordonnée).

On veut maintenant montrer par contradiction que

A|φ| = ρ(A)|φ|

. On suppose temporairement que

A|φ|

n'est pas égal à

ρ(A)|φ|

.
(3.2) En utilisant la question (1.5), montrer l'existence d'un

ε > 0

tel que

A^2|φ| ⩾ (1 + ε)ρ(A)A|φ|.

(3.3) En déduire que

\forallN \in ℕ, A^(N + 1)|φ| ⩾ (1 + ε)ρ(A)A^N|φ|.

(3.4) Montrer que

\forallN \in ℕ, A^(N + 1)|φ| ⩾ ((1 + ε)ρ(A))^N|φ|.

(3.5) En utilisant le théorème de Gelfand (théorème 2.1 plus haut), en déduire par l'absurde que

|φ|

est un vecteur propre de

A

et que

ρ(A)

est sa valeur propre associée.
(3.6) Montrer que

|φ| > 0

Dans ce qui suit, on va montrer que

λ = ρ(A)

et qu'il existe

c \in ℂ

tel que

φ = c|φ|

.
(3.7) En utilisant les questions précédentes, montrer que

∀i ∈ {1, ⋯, n}, |∑_(j = 1)^n A_(ij)φ_j| = ∑_(j = 1)^n A_(ij)|φ_j|.

(3.8) Reformuler l'expression

|\sum_(j = 1)^n A_(1, j)|φ_j||^2 - |\sum_(j = 1)^n A_(1, j)φ_j|^2,

comme une somme double, et en utilisant la question (1.3), en déduire que

∀i ∈ {1, ⋯, n}, |φ_i||φ_1| = φ_i φ¯_1.

(3.9) En déduire qu'il existe

c \in ℂ∖{0}

tel que

φ = c|φ|

.
(3.10) Montrer que

λ = ρ(A)

, et que

ρ(A)

est l'unique élément dans

{λ \in Spec(A) : |λ| = ρ(A)}.

(3.11) Montrer qu'il existe une loi de probabilité

v > 0

telle que

Av = ρ(A)v

On va maintenant montrer par l'absurde que

{w ∈ ℂ^n : Aw = ρ(A)w} = {mv : m ∈ ℂ}

où

v

est la loi de probabilité définie dans la question précédente.
(3.12) Soit

v^' \in ℝ^n

tel que

v^' > 0

Av^' = ρ(A)v^'

. Montrer que l'on peut choisir

c¯ ⩾ 0

tel que

v - c¯v^' ⩾ 0

et tel que au moins un des coefficients soit égal à 0 .
(3.13) En utilisant une des questions préliminaires, en déduire que

A(v - c¯v^') > 0

v \neq c¯v^'

.
(3.14) En déduire par l'absurde que

{w ∈ ℂ^n : Aw − ρ(A)w = 0} = {mv : m ∈ ℂ}

(3.15) En conclure que

v

est l'unique loi de probabilité telle que

Av = ρ(A)v

4. Les matrices stochastiques

On dit qu'une matrice

S \in M_n(ℝ)

est stochastique si et seulement si

∀i, j ∈ {1, ⋯, n}, S_(ij) ⩾ 0

∀i ∈ {1, ⋯, n}, ∑_(j = 1)^n S_(ij) = 1

(4.1) Montrer que si

S

est stochastique, alors

S^k

est stochastique pour tout

k \in ℕ

. On pourra d'abord montrer que si

A

B

sont stochastiques, alors leur produit est stochastique.
(4.2) Montrer que si

v \in ℝ^n

est une loi de probabilité, alors

(^t S)^k v

est aussi une loi de probabilité pour tout

k \in ℕ

.
(4.3) Montrer que

(1; \dots; 1)

est un vecteur propre de

S

et calculer la valeur propre associée.
(4.4) Démontrer que

ρ(S) = 1

. On pourra s'aider de la question (2.3).
(4.5) Si

S

est strictement positive, déduire l'existence d'une unique loi de probabilité telle que

(^t S)π = π

, et que de plus

π > 0

5. Le modèle de Wright-Fisher avec mutation

On considère une urne composée de

N

boules, avec

X_0 ∈ {0, ⋯, N}

boules noires et

N - X_0

boules blanches. On effectue

N

tirages avec remise.
(5.1) Soit

X_1

le nombre de boules noires tirées. Sachant que

X_0 = i

, exprimer

X_1

comme la somme de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli dont on spécifiera le paramètre.
(5.2) Quelle est la loi de

X_1

sachant que

X_0 = i

?
(5.3) Soit

a < b \in ℝ

. Soit

x \in ]0, 1[

tel que

Nx \in ℕ

. Que peut on dire de la probabilité conditionnelle que

(X_1 - Nx)/(\sqrtN)

appartienne à

[a, b]

, sachant que

X_0 = Nx

, c'est à dire:

ℙ((X_1 - Nx)/(\sqrtN) \in [a, b]| X_0 = Nx),

lorsque

N

est grand ?
(5.4) On fait l'hypothèse que la composition initiale de l'urne est aléatoire. On représente la loi de

X_0

à l'aide d'un vecteur

π^0 \in ℝ^(N + 1)

, tel que

π_i^0 = ℙ(X_0 = i)

pour

i \in {0, \dots, N}

. On remarquera que les coefficients du vecteur sont ici indexés de 0 à

N

Soit

π^1

la loi de

X_1

(elle aussi représentée par un vecteur de taille

N + 1

indéxé de 0 à

N

). Montrer que

π^1 = (^t P)π^0

où

P_(ij) = ℙ(X_1 = j|X_0 = i)

pour

i, j \in {0, \dots, N}

.
(5.5) Montrer que

P

est stochastique et calculer explicitement ses coefficients.

On peut interpréter le modèle précédent comme un modèle de génétique d'une population haploïde composée de

N

individus. Chaque individu est caractérisé par un type

i \in {b, n}

(blanc ou noir), où

b

n

représentent les deux allèles possibles en un locus donné du génome.

À temps 0 , on suppose que

X_0

individus sont porteurs de l'allèle

n

, alors que

N - X_0

individus sont porteurs de l'allèle

b

. À temps 1 , les

N

individus sont remplacés par

N

nouveaux individus dont le type est choisi de la manière suivante: chaque nouvel individu hérite du type d'un individu de la génération 0 (le parent), cet individu étant choisi uniformément au hasard dans la population à temps 0 .

X_1

représente alors le nombre de porteurs de l'allèle

n

au temps 1 .

Dans ce modèle, on introduit maintenant un paramètre de mutations

p \in [0, 1]

. Plus précisément, un individu hérite de l'allèle parent avec probabilité (

1 - p

), et de l'allèle opposé avec probabilité

p

. On notera que le cas

p = 0

correspond au modèle d'urne étudié dans les questions précédentes.
(5.6) Reprendre les questions (5.1) et (5.2) avec

p \in [0, 1]

.
(5.7) Déterminer la matrice

B

telle que

π^1 = (^t B)π^0

où

π^0

π^1

sont définis de manière analogue aux questions précédentes.
(5.8) Lorsque

p \in ]0, 1[

, montrer qu'il existe une unique loi de probabilité

π

telle que

π = (^t B)π

On dit que

π

est la loi invariante du modèle. Justifier cette terminologie.
(5.9) Démontrer que

∀i ∈ {0, ⋯, N}, 𝔼(X_1|X_0 = i) = N(i/N(1 − p) + (1 − i/N)p)

(5.10) En déduire

𝔼(X_1)

en fonction de

𝔼(X_0)

.
(5.11) En déduire

\sum_(i = 0)^N iπ_i

lorsque

p \in ]0, 1

[ (où

π

est la loi invariante définie en (5.8)).

Pour le moment, on a défini la dynamique de la population entre le temps 0 et le temps 1. Pour obtenir la composition allélique de la population au temps

k \in ℕ

, on réitère la même experience aléatoire

k

fois de manière indépendante.
(5.12) Soit

π^k

la loi de probabilité à temps

k

. Démontrer que la suite

{𝔼(π^k)}_(k ∈ ℕ)

converge vers

𝔼(π)

lorsque

p \in ]0, 1[

.
(5.13) La suite

{𝔼(π^k)}_(k ∈ ℕ)

converge-t-elle lorsque

p = 0

p = 1

Pour information: avec un peu plus de travail (qu'on ne fera pas ici), on peut démontrer que

π^k

converge vers la loi invariante

π

lorsque

p \in ]0, 1[

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths BCPST ENS 2015 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire (matrices, valeurs propres, normes matricielles) et les probabilités (chaînes de Markov, variables aléatoires discrètes), réunis autour du théorème de Perron-Frobenius et d'un modèle de génétique des populations.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Chaque partie peut se traiter de manière indépendante en admettant les résultats principaux des parties précédentes, ces résultats étant rappelés en début des parties 3 et 4.

Qu'est-ce que le modèle de Wright-Fisher étudié dans ce sujet ?

C'est un modèle probabiliste classique de génétique des populations qui décrit, à l'aide d'une chaîne de Markov, l'évolution au cours des générations du nombre d'individus porteurs d'un allèle donné, ici avec un paramètre de mutation.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Les questions d'algèbre linéaire de base (partie 2) sont accessibles dès la première année, mais l'essentiel du sujet, notamment le théorème de Perron-Frobenius et le modèle probabiliste final, mobilise des notions de deuxième année.

Pas de description pour le moment

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