Mathématiques, ENS BCPST 2014 : inversion de la transformation de Laplace et modèle de dynamique des populations structurées en âge
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Le sujet étudie un modèle de dynamique des populations structurées en âge, l'équation de Mc Kendrick-Von Foerster. La première partie établit un théorème d'inversion de la transformation de Laplace via la loi des grands nombres pour des variables de Poisson. La deuxième reformule l'équation aux dérivées partielles en une équation intégrale de renouvellement sur le taux de naissance P(t). La troisième cherche des solutions exponentielles en temps et détermine le taux de croissance lambda_0. La quatrième démontre l'unicité de la solution et étudie sa convergence en temps long.
1Partie 1 : inversion de la transformation de LaplaceOn démontre, à l'aide de la loi des grands nombres appliquée à des variables de Poisson, qu'une fonction positive bornée est entièrement déterminée par sa transformation de Laplace.
2Partie 2 : reformulation intégrale de l'équation aux dérivées partiellesOn résout l'équation de Mc Kendrick-Von Foerster le long des caractéristiques et on la reformule en une équation intégrale de renouvellement portant sur le taux de naissance P(t).
3Partie 3 : solutions exponentielles et taux de croissanceOn cherche des solutions de la forme rho(t,a) = R(a) exp(lambda_0 t), on montre l'existence et l'unicité du taux de croissance lambda_0, et on établit une majoration de la densité de population par cette solution exponentielle.
4Partie 4 : convergence en temps longOn utilise le théorème d'inversion de la partie 1 pour démontrer l'unicité de la solution de l'équation intégrale et étudier la convergence de la population vers un profil d'âge stable quand le temps tend vers l'infini.
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Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l'ENPC
Durée : 4 heures
Abstract
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Abstract
Ce sujet porte sur un modèle de dynamique des populations structurées en âge. Il comporte quatre parties présentées par ordre croissant de difficulté. Les trois premières parties sont indépendantes. La quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes, qui pourront être admis.
Il est recommandé de lire attentivement et patiemment le sujet. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.
Notations
L'ensemble des nombres réels est noté ℝ, celui des nombres réels positifs ℝ^+.
Pour toute fonction f : [0, a[ → ℝ, avec a > 0 ou a = + ∞, on note ∫_0^a f(x)dx son intégrale sur [0, a[, quand celle-ci existe.
Si ρ : (t, a) ∈ [0, + ∞[ × [0, + ∞[ → ℝ est une fonction de classe C^1, on notera (∂ρ)/(∂t)(t, a) (respectivement (∂ρ)/(∂a)(t, a) ) sa dérivée partielle par rapport à la variable t (respectivement a ), c'est-à-dire la dérivée de la fonction t ↦ ρ(t, a) (respectivement a ↦ ρ(t, a) ).
Première partie : Inversion de la transformation de Laplace
Soit (X_n)_(n ⩾ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Rappeler la loi de la somme S_n = X_1 + … + X_n.
Montrer que
∀ε > 0, lim_(n → + ∞)ℙ(|S_n − nλ| ⩾ nε) = 0
En déduire que pour tout λ > 0 :
lim_(n → + ∞)∑_(0 ⩽ k ⩽ nx)((nλ)^k)/(k!)e^(− nλ) = {0, si, x < λ,; 1, si, x > λ.
Montrer que la fonction λ ↦ ∑_(0 ⩽ k ⩽ nx)1/(k!)(nλ)^k e^(− nλ) est décroissante pour tout x > 0 (la notation ∑_(0 ⩽ k ⩽ nx) signifie qu'on somme sur tous les entiers compris entre 0 et nx ).
Soit P : ℝ^+ → ℝ^+une fonction positive, continue et bornée.
5) Expliquer pourquoi pour tout k ∈ ℕ et n ∈ ℕ∖{0}, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)y^k e^(− ny)P(y)dy est bien convergente.
6) Montrer à l'aide des questions précédentes que pour tout x > 0 et ε > 0 :
On définit la fonction φ(θ):=∫_0^(+ ∞)e^(− θy)P(y)dy, appelée transformation de Laplace de P.
9) Vérifier cette intégrale est bien définie pour tout θ > 0.
On admettra que la fonction φ est de classe C^∞ sur ℝ^+et que la dérivée k-ième de φ est donnée par
Conclure que la fonction P est uniquement déterminée par φ.
Deuxième partie : un modèle d'équations aux dérivées partielles et sa reformulation intégrale
Soit μ une fonction positive et continue sur [0, + ∞[. Soit β une fonction positive, non-nulle, de classe C^1 sur [0, + ∞[, telle que β(a) = 0 pour tout a ⩾ a_∗, pour un certain a_∗ > 0. Soit p_0 une fonction positive et continue sur [0, + ∞[. On s'intéresse dans cette partie à l'équation aux dérivées partielles dite de Mc Kendrick - Von Foerster :
{(∂ρ)/(∂t)(t, a) + (∂ρ)/(∂a)(t, a) + μ(a)ρ(t, a) = 0,, pour tout (t, a) ∈ [0, + ∞[ × [0, + ∞[; ρ(t, 0) = ∫_0^(a_∗)β(a)ρ(t, a)da,, pour tout t ∈ ]0, + ∞[; ρ(0, a) = p_0(a),, pour tout a ∈ ]0, + ∞[
On appelle t le temps, a l'âge, ρ(t, a) la densité de population d'âge a au temps t, p_0 la condition initiale, β(a) le taux de fécondité à l'âge a, μ(a) le taux de mortalité à l'âge a. Expliquer ces différents termes.
On admet que l'équation (1) admet une solution ρ de classe C^1 sur [0, + ∞[ × [0, + ∞[, et on va chercher dans les questions suivantes à en déterminer les propriétés.
13) Montrer que :
∀(t, a) ∈ ]0, + ∞[ × ]0, + ∞[, tels que t ⩾ a, ρ(t, a) = ρ(t − a, 0)e^(− ∫_0^a μ(a^′)da^′).
On pourra montrer que la fonction a ↦ ρ(t + a, a), avec t > 0 fixé, vérifie une équation différentielle que l'on résoudra.
14) De même, étudier t ↦ ρ(t, a + t), avec a fixé, et en déduire une formulation pour ρ(t, a) pour tout t ⩽ a en fonction de p_0 et μ.
pour une certaine fonction positive, continue, bornée et d'intégrale convergente ψ qu'on exprimera en fonction de p_0, μ et β.
16) Réciproquement, expliquer comment construire une solution ρ de (1) à partir d'une solution P ∈ C^1([0, + ∞[) de (2).
Troisième partie : solutions exponentielles de l'équation
On s'intéresse dans cette partie aux données initiales p_0 donnant une solution ρ de (1) de la forme ρ(t, a) = R(a)e^(λ_0 t), avec R une fonction positive de classe C^1 sur [0, + ∞[ telle que R(0) = 1 et λ_0 ∈ ℝ.
17) Montrer qu'une telle solution satisfait
{(dR)/(da)(a) + (μ(a) + λ_0)R(a) = 0, pour tout a ∈ [0, + ∞[,; ∫_0^(a_∗)β(a)R(a)da = 1.
Exprimer R(a) en fonction de a, μ et λ_0.
Pour tout λ ∈ ℝ, on définit I(λ):=∫_0^(a_∗)β(a)e^(− λa − ∫_0^a μ(a^′)da^′)da. On admettra que I est une fonction continue de ℝ dans ℝ.
19) Montrer que λ_0 satisfait ∫_0^(a_∗)β(a)e^(− λ_0 a − ∫_0^a μ(a^′)da^′)da = 1.
20) En utilisant les propriétés de β et μ, montrer qu'il existe δ > 0, m > 0 et a_0, b_0 tels que 0 ⩽ a_0 < b_0 ⩽ a_∗, β(a) > δ pour tout a ∈ [a_0, b_0] et μ(a) ⩽ m pour tout a ∈ [0, b_0]. En déduire que lim_(λ → − ∞)I(λ) = + ∞.
21) De même, démontrer l'existence d'une constante M > 0 telle que I(λ) ⩽ M/λ(1 − e^(− λa_∗)) pour tout λ ∈ ℝ et calculer lim_(λ → + ∞)I(λ).
22) Montrer qu'il existe un unique λ_0 ∈ ℝ tel que I(λ_0) = 1.
23) Prouver que λ_0 < 0 si et seulement si ∫_0^(a_∗)β(a)e^(− ∫_0^a μ(a^′)da^′)da < 1.
24) Conclure qu'il existe une unique donnée initiale p_0 donnant une solution ρ de (1) de la forme ρ(t, a) = R(a)e^(λ_0 t), avec R une fonction positive de classe C^1 sur [0, + ∞[ telle que R(0) = 1 et λ_0 ∈ ℝ.
On considère une solution ρ de l'équation (1) de classe C^1 sur [0, + ∞[ × [0, + ∞[.
On supposera jusqu'à la fin du problème qu'il existe a_M > 0 tel que p_0(a) = 0 pour tout a ⩾ a_M et que β(a) > 0 pour tout a ∈ (0, a_∗).
25) Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que p_0(a) < CR(a) pour tout a > 0.
On définit comme avant P(t) = ρ(t, 0).
26) Montrer que P(0) < C, où C est défini dans la question précédente.
27) Supposons qu'il existe t_0 > 0 tel que P(t_0) = Ce^(λ_0 t_0).
a) Expliquer pourquoi on peut supposer que P(t) < Ce^(λ_0 t) pour tout t ∈ [0, t_0[.
b) Soit Q(t):=Ce^(λ_0 t) − P(t). Montrer que Q satisfait :
c) En déduire une contradiction.
28) Déduire à l'aide de la question précédente et des questions 13) et 14) que ρ(t, a) ⩽ CR(a)e^(λ_0 t) pour tout t > 0, a > 0.
29) Conclure sur la convergence de ρ(t, a) quand t → + ∞ dans le cas où ∫_0^(a_∗)β(a)e^(− ∫_0^a μ(a^′)da^′)da < 1. Comment interpréter ce résultat en termes de dynamiques des populations?
Quatrième partie : convergence quand t → + ∞
On revient dans cette partie à l'étude de l'équation intégrale (2) introduite dans la Deuxième partie. On considère une solution ρ de l'équation (1) de classe C^1 sur [0, + ∞[ × [0, + ∞[. On lui associe P(t) = ρ(t, 0) solution de (2).
On supposera dans toute cette partie que ∫_0^(a_∗)β(a)e^(− ∫_0^a μ(a^′)da^′)da = 1.
30) Montrer à l'aide de la question 28) que P est bornée.
La fonction P étant bornée et continue, on peut définir pour tout θ > 0 comme dans la Première partie φ(θ):=∫_0^(+ ∞)P(t)e^(− θt)dt et, comme dans la Troisième partie, I(θ) = ∫_0^(+ ∞)β(a)e^(− ∫_0^a μ(a^′)da^′)e^(− θa)da pour tout θ ⩾ 0. Enfin, soit J(θ):=∫_0^(+ ∞)ψ(a)e^(− θa)da pour tout θ ⩾ 0, où ψ a été définie par (2). On admet, comme dans la Première Partie, que ces fonctions sont de classe C^∞ sur ℝ^+et que
Montrer que I(0) = 1 et que I(θ) < 1 pour tout θ > 0.
Déduire de la question 11) que la fonction P est entièrement déterminée par p_0, μ et β.
Conclure à l'aide du lien identifié dans la Deuxième partie entre les équations (1) et (2) que si l'on se donne p_0, μ et β, alors l'équation (1) admet au plus une solution.
Calculer lim_(θ → 0^+)(1 − I(θ))/θ en fonction de μ et β.
Montrer que ℓ:=lim_(θ → 0^+)θφ(θ) est bien définie et calculer cette limite en fonction de p_0, μ et β.
On suppose que t ↦ P(t) converge quand t → + ∞ et on admettra que lim_(t → + ∞)P(t) = ℓ.
37) Montrer à l'aide de la question 13) que la fonction t ↦ ρ(t, a) converge quand t → + ∞ pour tout a > 0 et calculer sa limite.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS BCPST 2014 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths ENS BCPST 2014 ?
+
Il porte sur la transformation de Laplace, la loi des grands nombres et la loi de Poisson, les équations aux dérivées partielles du premier ordre et les intégrales à paramètre.
Les quatre parties sont-elles indépendantes ?
+
Les trois premières parties sont indépendantes, mais la quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes, qui peuvent être admis.
Qu'est-ce que l'équation de Mc Kendrick-Von Foerster étudiée dans ce sujet ?
+
C'est une équation aux dérivées partielles qui modélise l'évolution dans le temps d'une population structurée en âge, avec un taux de mortalité et un taux de fécondité dépendant de l'âge.
Ce sujet est-il faisable en première année ?
+
Non, il mobilise la transformation de Laplace, les équations aux dérivées partielles et des probabilités avancées (loi des grands nombres), notions de deuxième année et de modélisation avancée.
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