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MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrice est interdit.

Ce sujet porte sur l'émergence de formes, dites "structures de Turing", utilisées en morphogénèse (développement de la forme des organismes).

Les structures de Turing sont le résultat d'une instabilité dans un système de réactiondiffusion. Les systèmes de réaction-diffusion décrivent l'évolution de mélanges d'espèces chimiques soumises à des réactions chimiques et à de la diffusion. La première partie de ce sujet est consacrée à l'étude de la diffusion. La seconde partie étudie la stabilité des équilibres d'une équation de réaction-diffusion. La troisième partie établit un résultat pour des systèmes d'équations différentielles. La quatrième partie étudie la stabilité des équilibres d'un système d'équations de réaction-diffusion.

Il est recommandé de parcourir le sujet dans son intégralité avant de commencer. Toutes les équations numérotées sont susceptibles d'être utilisées à un stade ultérieur du sujet. Enfin, il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté

ℝ

, celui des nombres réels non nuls est noté

ℝ^*

, l'ensemble des vecteurs de dimension deux à cœfficients réels est noté

ℝ^2

et celui des matrices carrées de dimension deux à cœefficients réels est noté

M_2(ℝ)

De même,

ℂ

désigne l'ensemble des nombres complexes et

ℂ^2

celui des vecteurs de dimension deux à cœefficients complexes.

Pour un vecteur

X = ((X_1)/(X_2)) \in ℝ^2, ‖X‖

désigne la norme euclidienne de

X

‖X‖ = \sqrt(X_1^2 + X_2^2)

Pour deux vecteurs

U_1 \in ℝ^2

U_2 \in ℝ^2

, on notera

P = (U_1|U_2) \in M_2(ℝ)

la matrice dont la première colonne est

U_1

et la deuxième colonne est

U_2

Pour une fonction de deux variables

u(t, x), (\partialu)/(\partialt)(t, x)

désigne la dérivée partielle de

u

par rapport à

t, (\partialu)/(\partialx)(t, x)

désigne sa dérivée partielle par rapport à

x

, et

(\partial^2 u)/(\partialx^2)(t, x)

désigne sa dérivée partielle seconde par rapport à

x

Pour une fonction d'une seule variable

u(t), (du)/(dt)(t)

désigne la dérivée de

u

par rapport à

t

.
Pour

L > 0, C^2([0, L])

désigne l'ensemble des fonctions définies sur

[0, L]

dont la dérivée seconde existe et est continue.

Enfin, on notera

S

l'ensemble des fonctions

u : [0, \infty[ \times [0, L] \to ℝ, (t, x) \mapsto u(t, x)

continues sur

[0, \infty[ \times [0, L]

, telles que

(\partialu)/(\partialt)

existe et soit continue sur

[0, \infty[ \times [0, L]

et telles que

\forallt \in [0, + \infty[

x \mapsto u(t, x) \in C^2([0, L])

1 La diffusion

L'équation de la diffusion sur le domaine monodimentionnel

[0, L]

est :

(\partialu)/(\partialt)(t, x) = d(\partial^2 u)/(\partialx^2)(t, x),

où

$u(t, x) \in ℝ$ est la quantité qui diffuse,
$t \in [0, + \infty[$ est le temps,
$x \in [0, L]$ est l'espace,
$d \in [0, + \infty[$ est un cœefficient décrivant la vitesse de diffusion.

Cette équation est complétée par des conditions aux bords :

(\partialu)/(\partialx)(t, 0) = (\partialu)/(\partialx)(t, L) = 0

et par une condition initiale

u(0, x)

donnée. On admettra que si

x \mapsto u(0, x) \in C^2([0, L])

, les solutions de (1.1) avec conditions aux bords (1.2) sont dans l'ensemble

S

défini dans la partie Notations.

La notion fondamentale pour l'étude de l'émergence de formes est celle de fonction propre : On dira que la fonction

w(x)

est une fonction propre de

(\partial^2)/(\partialx^2)

sur

[0, L]

avec conditions aux bords (1.2) si

w

n'est pas identiquement nulle, s'il existe

λ \in ℝ

tel que

\forallx \in [0, L], (\partial^2 w)/(\partialx^2)(x) = λw(x)

et si

w

vérifie les conditions (1.2). On dit alors que

λ

est la valeur propre associée à

w(x)

Vérifier que les $cos(nπx/L)$ pour $n \in ℕ$ sont des fonctions propres de $(\partial^2)/(\partialx^2)$ sur $[0, L]$ avec conditions aux bords (1.2) et calculer les valeurs propres associées.
On suppose que la condition initiale de l'équation (1.1) est une de ces fonctions propres, $u(0, x) = cos(n_0 πx/L)$ avec $n_0 \in ℕ$ . On cherche alors une solution de (1.1) avec conditions aux bords (1.2) sous la forme $u(t, x) = α(t)cos(n_0 πx/L)$ . Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $α(t)$ et calculer $α(t)$ . Pour tout $x \in [0, L]$ , calculer $lim_(t \to + \infty)u(t, x)$ .
On admettra le résultat suivant :

u : [0, \infty[ \times [0, L] \to ℝ, (t, x) \mapsto u(t, x)

est continue sur

[0, \infty[ \times [0, L]

et telle que

(\partialu)/(\partialt)

soit continue sur

[0, \infty[ \times [0, L]

, alors

t \mapsto \int_0^L u(t, x)dx

est dérivable sur

[0, + \infty[

d/(dt)\int_0^L u(t, x)dx = \int_0^L(\partialu)/(\partialt)(t, x)dx

Montrer l'unicité dans

S

des solutions de l'équation (1.1) avec conditions aux bords (1.2), pour une condition initiale

u(0, x) \in C^2([0, L])

donnée. (Pour cela, on supposera qu'il existe dans

S

deux solutions

u

v

de (1.1), (1.2) avec cette condition initiale et on étudiera

d/(dt)\int_0^L(u(t, x) - v(t, x))^2 dx)

.
4. On suppose que la condition initiale de (1.1) est une combinaison linéaire des

N + 1

premières fonctions propres de la question 1 , avec

N \in ℕ^*

u(0, x) = \sum_(n = 0)^N α_n cos(nπx/L)

où

α_n \in ℝ

pour

n = 0, \dots, N

.
Montrer que l'équation (1.1) avec conditions aux bords (1.2) et condition initiale (1.3) admet une solution

u \in S

que l'on calculera. Calculer

lim_(t \to + \infty)u(t, x)

pour tout

x \in [0, L]

.
5. On dit que la diffusion "lisse" les conditions initiales, et lisse plus vite les hautes fréquences. Expliquer brièvement pourquoi cette affirmation est illustrée par le résultat précédent.

2 Une équation de réaction-diffusion

On considère maintenant l'équation de réaction-diffusion sur

[0, L]

(\partialu)/(\partialt)(t, x) = f(u(t, x)) + d(\partial^2 u)/(\partialx^2)(t, x)

où

f : ℝ \to ℝ

est une fonction décrivant le bilan entre la création et la destruction de

u

dues aux réactions chimiques (ces réactions sont supposées catalysées par

u

et c'est la raison pour laquelle

f

dépend de

u

). Les autres termes de l'équation (2.4) sont définis comme pour l'équation (1.1). L'équation (2.4) est complétée par les conditions aux bords (1.2) et par une condition initiale. On admettra que si la condition initiale

u(0, x) \in C^2([0, L])

, les solutions de (2.4), (1.2), lorsqu'elles existent pour tout

t \in [0, + \infty[

, sont dans l'ensemble

S

défini dans la partie Notations.

On dit que $u_0 \in ℝ$ est un équilibre de la réaction si $f(u_0) = 0$ .
On dira qu'un équilibre de la réaction $u_0$ est asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme $u_p(x)$ pour l'équation (2.4) si, lorsque la condition initiale est $u(0, x) = u_0 + u_p(x)$ , la solution de (2.4) vérifie $lim_(t \to + \infty)u(t, x) = u_0$ pour tout $x \in [0, L]$ .

On suppose pour commencer que $d = 0$ . Soit $u_0$ un équilibre de la réaction. On suppose que $f$ est dérivable en $u_0$ . Soit $x_0 \in [0, L]$ fixé.
(a) Etude linéaire :

On suppose que la condition initiale de l'équation (2.4) vérifie

u(0, x_0) = u_0 + u_p(x_0)

où la perturbation

u_p(x_0)

est supposée petite. On pose

u¯(t) = u(t, x_0) - u_0

. Expliquer brièvement pourquoi, tant que

u¯(t)

est assez petit, sa dynamique peut être décrite de façon approchée par

(du¯)/(dt)(t) = f^'(u_0)u¯(t)

avec une condition initiale que l'on précisera. Calculer alors

u¯(t)

, solution de l'équation (2.5) avec cette condition initiale. Donner la condition sur

f^'(u_0)

pour que

u_0

soit asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations suffisamment petites, d'après l'équation (2.5).
(b) Etude non-linéaire :

On suppose que

f^'(u_0) < 0

.
i. Montrer qu'il existe

η > 0

tel que

\forallu \in [u_0 - η, u_0 + η]

(u - u_0)f(u) \leq (u - u_0)^2 f^'(u_0)/2.

ii. On suppose que la condition initiale de l'équation (2.4) vérifie

u(0, x_0) \in ]u_0 - η, u_0 + η[

.
Soit

t^*

le premier instant (fini ou infini) tel que

u(t^*, x_0) = u_0 + η

u(t^*, x_0) = u_0 - η

. En supposant

t^*

fini et en étudiant les signes de

(\partialu)/(\partialt)(t^*, x_0)

f(u(t^*, x_0))

, obtenir une contradiction.
iii. En déduire que

lim_(t \to + \infty)v(t) = 0

, où

v(t) = (u(t, x_0) - u_0)^2

. (On pourra utiliser le changement de variable

v(t) = λ(t)e^(f^'(u_0)t))

. Conclure sur la stabilité asymptotique de

u_0

.
2. On suppose maintenant que

d > 0

. Soit

u_0

un équilibre de la réaction tel que

f^'(u_0)

existe et

f^'(u_0) < 0

.
(a) Etude linéaire :

Montrer brièvement que tant que

u¯(t, x) = u(t, x) - u_0

est assez petit, son évolution peut être décrite de façon approchée par

(\partialu¯)/(\partialt)(t, x) = f^'(u_0)u¯(t, x) + d(\partial^2 u¯)/(\partialx^2)(t, x).

Montrer que

u_0

est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations de la forme

α_0 cos(nπx/L)

avec

n \in ℕ

α_0

suffisamment petit, d'après l'équation (2.6).
(b) Etude non-linéaire :

On suppose que la condition initiale de (2.4) vérifie

u(0, x) \in ]u_0 - η, u_0 + η[

pour tout

x \in [0, L]

où

η

est défini à la question 1 b partie 2 .
Soit

t^*

le premier instant (fini ou infini) tel que

sup_(x \in [0, L])u(t^*, x) = u_0 + η

inf_(x \in [0, L])u(t^*, x) = u_0 - η

. Montrer que

t^*

est infini.
En déduire que

lim_(t \to + \infty)V(t) = 0

, où

V(t) = \int_0^L(u(t, x) - u_0)^2 dx

3 Systèmes d'équations différentielles

Le but de cette partie est d'étudier le système d'équations différentielles linéaires

(dX)/(dt)(t) = MX(t)

où

X(t)

est un vecteur de

ℝ^2

M

une matrice carrée de

M_2(ℝ)

, et d'étudier les conditions sous lesquelles

lim_(t \to + \infty)‖X(t)‖ = 0

On considère d'abord le cas où $M$ a deux valeurs propres réelles distinctes $λ_1$ et $λ_2$ . Soient $U_1$ un vecteur propre de $M$ associé à $λ_1$ et $U_2$ un vecteur propre de $M$ associé à $λ_2$ . On considère la matrice $P = (U_1|U_2)$ .
(a) Montrer que $P$ est inversible et que $P^(- 1)MP = (λ_1, 0; 0, λ_2)$ .
(b) On pose $Y(t) = P^(- 1)X(t)$ où $X(t)$ est solution du système (3.7) avec condition initiale $X(0)$ donnée. Montrer que $Y(t)$ est solution d'un système d'équations différentielles que l'on précisera et calculer $Y(t)$ .
(c) Montrer que
$(\forallY(0) \in ℝ^2, lim_(t \to + \infty)‖Y(t)‖ = 0) ⟺ (λ_1 < 0$ et $λ_2 < 0) ⟺$
$(\forallX(0) \in ℝ^2, lim_(t \to + \infty)‖X(t)‖ = 0)$ ,
où $X(t)$ et $Y(t)$ sont définis à la question précédente.
On considère ensuite le cas où $M$ a une seule valeur propre $λ_1$ , réelle, et de multiplicité 2. Soit $U_1$ un vecteur propre de $M$ associé à $λ_1$ .
(a) Montrer qu'on peut construire une matrice $P \in M_2(ℝ)$ , inversible, telle que $P^(- 1)MP = (λ_1, b; 0, c)$ avec $b \in ℝ$ et $c \in ℝ$ . Montrer qu'alors on a forcément $c = λ_1$ (on montrera que $c$ est valeur propre de $M$ ).
(b) Déduire de la question précédente que $(\forallX(0) \in ℝ^2, lim_(t \to + \infty)‖X(t)‖ = 0) ⟺ λ_1 < 0$ .
On considère enfin le cas où $M$ a deux valeurs propres complexes conjuguées $a + ib$ et $a - ib$ où $a \in ℝ$ et $b \in ℝ$ . Soit $U$ un vecteur propre de $M$ associé à $a + ib$ . $U$ est un vecteur de $ℂ^2 : U = U_1 + iU_2$ où $U_1 \in ℝ^2$ et $U_2 \in ℝ^2$ .
(a) Montrer que $U_1$ et $U_2$ sont linéairement indépendants.
(b) On pose $P = (U_1|U_2)$ . Montrer que $P^(- 1)MP = (a, b; - b, a)$ .
(c) On pose $Y(t) = P^(- 1)X(t)$ où $X(t)$ est solution du système (3.7) avec condition initiale $X(0)$ donnée. Soient $r(t)$ et $θ(t)$ les coordonnées polaires de $Y(t)$ :
$Y(t) = ((r(t)cos(θ(t)))/(r(t)sin(θ(t))))$ .
En calculant $r^2(t)$ et $tan(θ(t))$ en fonction des coordonnées de $Y(t)$ , montrer que $(dr)/(dt)(t) = ar(t)$ et $(dθ)/(dt)(t) = - b$ .
En déduire que $(\forallX(0) \in ℝ^2, lim_(t \to + \infty)‖Y(t)‖ = 0) ⟺ a < 0$ .
Déduire des questions précédentes que pour toute matrice $M \in M_2(ℝ)$ , la solution $X(t)$ du système (3.7) avec condition initiale $X(0)$ donnée vérifie

(\forallX(0) \in ℝ^2, lim_(t \to + \infty)‖X(t)‖ = 0) ⟺ (tr(M) < 0 et det(M) > 0).

4 Système de réaction-diffusion

Le but de cette partie est de montrer que pour certains systèmes de réaction-diffusion, la diffusion peut déstabiliser l'équilibre de la réaction. Les perturbations de la forme de certaines fonctions propres de

(\partial^2)/(\partialx^2)

sont alors amplifiées. Ces perturbations, une fois amplifiées, sont appelées structures de Turing.

On considère le système de réaction-diffusion sur

[0, π]

{(∂u)/(∂t)(t, x) = (u^2(t, x))/(v(t, x)) − u(t, x) + d_u(∂^2 u)/(∂x^2)(t, x); (∂v)/(∂t)(t, x) = u^2(t, x) − 2v(t, x) + d_v(∂^2 v)/(∂x^2)(t, x)

où

d_u \in [0, + \infty[

d_v \in [0, + \infty[

sont les coefficients de diffusion de

u

et de

v

respectivement.
Ce système est complété par les conditions aux bords :

(\partialu)/(\partialx)(t, 0) = (\partialu)/(\partialx)(t, π) = (\partialv)/(\partialx)(t, 0) = (\partialv)/(\partialx)(t, π) = 0

et par des conditions initiales

u(0, x)

v(0, x)

données pour

x \in [0, π]

De façon analogue à la partie 2 , on dit que $((u_0)/(v_0)) \in ℝ^2$ est un équilibre de la réaction du système (4.8) si ${(u_0^2)/(v_0) − u_0 = 0,; u_0^2 − 2v_0 = 0.$
On dira qu'un équilibre $((u_0)/(v_0))$ de la réaction de (4.8) est asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme $((u_p(x))/(v_p(x)))$ pour (4.8) si, lorsque la condition initiale est $u(0, x) = u_0 + u_p(x)$ et $v(0, x) = v_0 + v_p(x)$ , la solution de (4.8) vérifie $lim_(t \to + \infty)u(t, x) = u_0$ et $lim_(t \to + \infty)v(t, x) = v_0$ pour tout $x \in [0, π]$ .

Déterminer les équilibres de la réaction de (4.8).

Dans toute la suite, on supposera que la condition initiale de (4.8) est

u(0, x) = u_0 + u_p(x)

v(0, x) = v_0 + v_p(x)

où

((u_0)/(v_0))

est un équilibre de la réaction de (4.8) et

u_p(x), v_p(x)

sont des petites perturbations, et on posera

u¯(t, x) = u(t, x) - u_0

v¯(t, x) = v(t, x) - v_0

.
(a) On suppose pour commencer que

d_u = d_v = 0

Montrer que tant que

u¯

v¯

sont assez petits, leur évolution peut être décrite de façon approchée par le système

\partial/(\partialt)((u¯)/(v¯))(t, x) = J((u¯)/(v¯))(t, x)

où

J = (1, - 1; 4, - 2)

.
Montrer que

((u_0)/(v_0))

est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations suffisamment petites, d'après le système (4.9).
2. On suppose maintenant que

d_u = 1/10

d_v > 0

. Déterminer le système linéaire décrivant de façon approchée l'évolution de

u¯

v¯

si ces derniers sont suffisamment petits.
Montrer que d'après ce système, si

d_v = 1/10

, l'équilibre de la réaction de (4.8) est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations de la forme

((α_0 cos(nx))/(β_0 cos(nx)))

, avec

n \in ℕ

α_0

β_0

suffisamment petits.
Montrer que d'après ce système, si

d_v = 12/10

, il existe

n_0 \in ℕ

pour lequel l'équilibre de la réaction de (4.8) n'est pas asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme

((α_0 cos(n_0 x))/(β_0 cos(n_0 x)))

, même avec

α_0

β_0

petits. Déterminer

n_0

.
3. Refaire l'étude de la question précédente en supposant que le système (4.8) est posé sur

[0, 2π]

au lieu de

[0, π]

. Lorsque

d_v = 12/10

, peut-on encore trouver

n_0 \in ℕ

pour lequel l'équilibre de la réaction de (4.8) n'est pas asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme

((α_0 cos(n_0 x))/(β_0 cos(n_0 x)))

? Refaire la même étude sur [0,

π/4

Fin de l'épreuve.

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1 La diffusion

2 Une équation de réaction-diffusion

3 Systèmes d'équations différentielles

4 Système de réaction-diffusion

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