Le but de ce sujet est de modéliser la répartition spatiale d'une espèce E sur une suite ( T_n ) de territoires indicés par les nombres entiers naturels ou relatifs, où, pour tout n, les territoires T_n et T_(n + 1) sont voisins géographiquement.
Le nombre réel positif u_n désignera la densité de population présente sur T_n. Dans l'interprétation classique, les territoires forment un chapelet d'îles alignées, et l'espèce E est un Oiseau ou un Amphibien dont les individus migrent d'île en île. Une autre interprétation consiste à considérer les ( T_n ) comme des organismes sessiles (fixés au sol) susceptibles d'être infectés par les individus d'une espèce parasite E, qui se propagent séquentiellement d'un hôte parmi les (T_n) à un autre.
Le sujet comporte trois parties indépendantes, présentées par ordre de difficulté croissante, mais pouvant être traitées dans un ordre quelconque.
Les candidats composeront sur des copies séparées pour chaque partie, en les identifiant clairement. Ils et elles veilleront au soin de la présentation, à la rigueur et à la concision des raisonnements.
Notations
L'ensemble des entiers naturels est noté ℕ^⋆ lorsqu'il est privé de 0 , et ℕ autrement. L'ensemble des entiers relatifs est noté ℤ et l'ensemble des nombres réels ℝ.
Pour deux ensembles A et B quelconques, on note de manière usuelle A ⊂ B si ∀x ∈ A, x ∈ B; et A⊄B si ∃x ∈ A, x ∉ B.
Pour toute fonction f et toute fonction g non nulle sur un intervalle I contenant 0 , on écrit f = o(g) pour :
lim_(x → 0)(f(x))/(g(x)) = 0.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle X est notée 𝔼(X) et sa variance Var(X). La covariance de deux variables aléatoires réelles X et Y est notée Cov(X, Y).
Rappel
Soit une suite réelle (v_n)_(n ∈ ℕ) satisfaisant la relation de récurrence linéaire d'ordre k suivante :
v_(n + k) = ∑_(i = 0)^(k − 1)a_i v_(n + i) n ⩾ 0.
Soit P le polynôme de degré k associé
P(x) = x^k − ∑_(i = 0)^(k − 1)a_i x^i x ∈ ℝ,
et (λ_1, …, λ_j)(j ⩽ k), j racines distinctes de P . Il est alors immédiat que pour tout j-uplet de nombres réels ( c_1, …, c_j ), la suite définie par
v_n = ∑_(i = 1)^j c_i λ_i^n
est solution de (1).
On admettra la réciproque suivante : si P a k racines distinctes ( λ_1, …, λ_k ), toute suite solution de (1) s'écrit sous la forme :
v_n = ∑_(i = 1)^k c_i λ_i^n ∀n ⩾ 0.
Première partie : migration aux plus proches territoires
Le but de cette partie est d'établir quelques résultats simples sur la dynamique de cette population lorsque sont seuls possibles les mouvements d'un territoire vers ses deux voisins immédiats (voir figure 1). La densité de population de T_n au temps t est notée u_n(t).
Fig. 1 - Une représentation de la suite des territoires ( T_n ) et des mouvements de population entre territoires adjacents.
A Migration unidirectionnelle
Dans cette sous-partie, les individus ne peuvent migrer que vers la droite, c'est-à-dire du territoire T_n vers T_(n + 1).
La dynamique est modélisée par l'équation différentielle suivante, pour tout n ∈ ℤ :
(du_n)/(dt) = − mu_n + mu_(n − 1)
Interpréter cette équation ainsi que le réel positif m.
Écrire v_n(t) = u_n(t)e^(mt) et établir l'équation différentielle vérifiée par v_n.
Dans le reste de cette sous-partie, on se donne la condition initiale :
u_n(0) = {1, si n = 0; 0, sinon
a) Montrer que pour tout temps t > 0 et n ⩽ − 1, v_n(t) = u_n(t) = 0.
b) Calculer v_0(t), v_1(t), v_2(t), pour tout t > 0.
c) Proposer une expression générale pour v_n(t), et la démontrer par récurrence sur n ∈ ℕ.
a) Exprimer u_n(t) en fonction de m, n et t. Nommer cette distribution, et rappeler sans démonstration la quantité de population totale U(t) et la position moyenne de la population R(t), c'est-à-dire :
U(t) = ∑_(n ∈ ℤ)u_n(t), R(t) = ∑_(n ∈ ℤ)nu_n(t).
b) Préciser les limites, lorsque t → ∞, de u_n(t), U(t) et R(t). Interpréter.
B Migration bidirectionnelle
À présent les migrations sont possibles dans les deux sens, mais pas de T_0 vers T_(− 1).
Soient m_g et m_d deux réels positifs. Les équations gouvernant la dynamique de la population sont maintenant :
Interpréter ces équations ainsi que les réels m_g et m_d. Donner une relation entre u_(n + 2), u_(n + 1) et u_n quand la population est à l'équilibre.
Dans la suite de cette sous-partie, u_n désignera la densité de population présente sur le territoire T_n quand la population est à l'équilibre.
6. a) Que devient cette relation lorsque m_g = m_d ? Poser alors δ_n = u_(n + 1) − u_n et montrer que la suite (δ_n)_(n ∈ ℕ) est constante. En déduire u_n en fonction de n, u_1 et u_0.
b) Lorsque m_g ≠ m_d, écrire u_n sous la forme
u_n = c_1 λ_1^n + c_2 λ_2^n ∀n ⩾ 0
où λ_1 ⩽ λ_2 sont deux réels à déterminer.
On suppose désormais qu'initialement la quantité de population totale est finie et vaut 1 (U(0) = 1).
7. Montrer que si m_g ⩽ m_d, le seul équilibre possible est u_n = 0, pour tout n ≥ 0. Comparer avec la question 4.b)
8. Calculer l'équilibre final lorsque m_g > m_d. Nommer cette distribution et rappeler sa moyenne R = ∑_(n = 0)^∞nu_n.
Deuxième partie : migration à longues distances
Comme dans la sous-partie précédente, les migrations de proximité sont bidirectionnelles avec une barrière à gauche du territoire T_0 (pas de transfert de T_0 vers T_(− 1) ). Mais à présent, il s'agit de modéliser, en plus des migrations de proximité, les échanges de population entre territoires éloignés.
Si de tels territoires sont choisis au hasard parmi les n premiers, où n est un entier qu'on considérera fixé dans un premier temps ( n ≥ 1 ), la dynamique de la densité de population u_k, pour tout k, est gouvernée par l'équation dite de champ moyen :
Le but de la prochaine sous-partie est de déterminer quand l'on peut faire tendre n vers + ∞. En d'autres termes, il s'agit de savoir à quelles conditions l'on peut définir la densité moyenne globale sur l'ensemble des territoires colonisés, c'est-à-dire la limite quand n → ∞ des quantités u¯_n, appelées moyennes de Cesàro.
A Moyennes de Cesàro
On note R l'ensemble des suites à valeurs réelles, et C le sous-ensemble de R constitué des suites (u_n)_(n ∈ ℕ) telles que
lim_(n → ∞)u¯_n existe et est finie.
Lorsqu'elle existe, une telle limite sera appelée MCL (pour moyenne de Cesàro limite). On désignera par L (respectivement B ) le sous-ensemble de R formé des suites convergentes (respectivement bornées).
Rappeler sans démonstration une relation d'inclusion entre L et B.
Montrer que C est non vide, et que C n'est pas égal à R tout entier.
Montrer que C contient l'ensemble des suites périodiques et exprimer la MCL d'une suite de période T à l'aide de u¯_T.
Le but de cette question est de montrer que C⊄B. Considérons à cette fin la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par
u_n = {√n, si √n est entier; 0, sinon
a) Montrer que pour tout n ⩾ 0 et pour tout k ∈ {n^2 + 1, …, (n + 1)^2},
n/(2(n + 1)) < u¯_k ⩽ (n + 1)/(2n).
b) Montrer que la suite (u¯_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge, donner sa limite et conclure.
5. Le but de cette question est de montrer que B⊄C. Soit un entier naturel q tel que q ≠ 0 et q ≠ 1. Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie par
u_n = {1, s'il existe p ∈ ℕ tel que n ∈ {q^(2p + 1), …, q^(2p + 2) − 1}; 0, sinon.
On définit ensuite :
Π_p = u¯_(q^(2p + 2)), I_p = u¯_(q^(2p + 1))
a) Calculer Π_p et I_p pour tout entier p.
b) Établir que
c) Conclure.
6. L'objectif de cette question est de montrer que L ⊂ C (théorème de Cesàro).
a) On suppose dans un premier temps que lim_(n → ∞)u_n = 0, et on se donne ε > 0. a − i) Montrer qu'il existe N tel que pour tout n ⩾ N
1/n∑_(k = N)^(n − 1)u_k < ε/2
a − ii) Montrer qu'il existe N_1 tel que pour tout n ⩾ N_1
1/n∑_(k = 0)^(N − 1)u_k < ε/2
a-iii) En déduire que lim_(n → ∞)u¯_n = 0.
b) Lorsque la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers une limite quelconque ℓ, considérer la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) définie par v_n = u_n − ℓ et conclure.
B Migration à longues distances et densité moyenne constante
Dans cette sous-partie, on suppose qu'au temps t = 0, la population admet une densité moyenne u¯(0), appelée moyenne de Cesàro limite, strictement positive
lim_(n → ∞)u¯_n(0) = u¯(0) > 0
où pour tout temps t ⩾ 0
u¯_n(t) = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)u_k(t)
On suppose qu'en plus des mouvements aux territoires les plus proches, les échanges de populations se font également «uniformément au hasard » parmi tous les territoires (T_n)_(n ∈ ℕ). On admettra que pour tout t ≥ 0, la suite (u_n(t))_(n ∈ ℕ) admet une moyenne de Cesàro limite u¯(t) = lim_(n → ∞)u¯_n(t). Les équations de champ moyen qui régissent cette dynamique sont alors données par
On suppose également qu'au temps t = 0, la suite (u_n(0))_(n ∈ ℕ) est bornée.
7. a) Expliquer pourquoi la suite (u_n(t))_(n ∈ ℕ) reste bornée pour tout temps t > 0.
b) Établir l'équation différentielle satisfaite par u¯_n.
c) Montrer que pour tout t > 0, u¯(t) = u¯(0).
8. Considérer la densité résiduelle u~_n(t) = u_n(t) − u¯ et écrire le système d'équations différentielles vérifié par(u~_n)_(n ∈ ℕ).
Dans la suite de cette sous-partie, u~_n désignera cette densité résiduelle quand la population est à l'équilibre.
9. Écrire u~_n sous la forme
u~_n = c_1 μ_1^n + c_2 μ_2^n ∀n ⩾ 0
où μ_1 < μ_2 sont deux réels à déterminer.
10. Donner le signe de μ_1, le signe de μ_2, et la position de |μ_1| et |μ_2| par rapport à 1 . En déduire que c_2 = 0.
11. Soient x = m_∞/m_g et λ = m_d/m_g. Dans cette question uniquement, on s'intéresse au cas où m_∞ est négligeable devant m_g.
a) Donner l'interprétation biologique de cette hypothèse et sa conséquence mathématique pour le paramètre x.
b) Cas λ = 1. Montrer que μ_1 = 1 − x^α + o(x^α), où α est un réel positif à déterminer.
c) Casλ > 1. Montrer que
μ_1 = 1 − δx + o(x)
où δ sera exprimé en fonction de λ.
d) Casλ < 1. Montrer que
μ_1 = λ − γx + o(x)
où γ sera exprimé en fonction de λ.
12. a) Calculer c_1 en fonction de λ, x et u¯.
b) En distinguant les cas λ = 1, λ > 1 et λ < 1, donner le signe de c_1 et interpréter.
c) Lorsque c_1 < 0, vérifier que u_n > 0 pour tout n ⩾ 0. Représenter l'allure de u_n en fonction de n, selon la position de λ par rapport à 1 .
Troisième partie : migration aléatoire
Dans cette dernière partie, on ne considère plus la densité moyenne de l'espèce E sur chaque territoire T_n, mais, de façon plus précise, le nombre d'individus X_n présents sur T_n, qui est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ.
La dynamique de cette population est discrète, c'est-à-dire que les migrations se font uniquement aux temps t = 1, 2, 3… De plus, on suppose que tous les individus se déplacent indépendamment les uns des autres, et qu'à chaque temps t ∈ ℕ^⋆, un individu présent sur le territoire T_n
{migre en, T_(n + 1), avec probabilité, p_d; migre en, T_(n − 1), avec probabilité, p_g; demeure en, T_n, avec probabilité, 1 − p_g − p_d
où p_g p_d ≠ 0. Tous les territoires sont indifféremment accessibles (il n'y a de barrière nulle part).
Dans cette dernière partie, pour toute question dont le résultat est donné, il n'est pas demandé de faire de longues démonstrations mais de donner des justifications rigoureuses à l'aide d'arguments précis.
A Comportement asymptotique de la population
On s'intéresse dans cette question au sort d'un individu initialement en T_0. On désigne sa position au temps t, c'est-à-dire le numéro du territoire qu'il occupe au temps t, par Y(t) (en particulier Y(0) = 0 ).
a) Montrer qu'on peut écrire Y(t) sous la forme :
Y(t) = ∑_(k = 1)^t Z_k
où les variables aléatoires (Z_k)_k sont indépendantes et identiquement distribuées, et dont on précisera la loi.
b) Calculer 𝔼(Z_1), Var(Z_1), puis 𝔼(Y(t)) et Var(Y(t)).
2. a) Montrer que si t < n, alors ℙ(Y(t) ∈ ] − ∞; − n] ∪ [n; + ∞[) = 0.
b) On suppose qu'au temps t = 0, tous les territoires sont occupés par au moins un individu. Établir pour tout a ∈ ℕ et pour tout temps t ∈ ℕ les deux égalités :
ℙ(la population totale présente au temps t dans (T_n)_(n ⩽ − a) est infinie), = 1,; ℙ(la population totale présente au temps t dans (T_n)_(n ⩾ a) est infinie), = 1.
On suppose dans cette question que p_g ≠ p_d.
a) Énoncer la loi des grands nombres pour la suite (Z_k)_(k ≥ 1). En déduire lim_(t → ∞)Y(t), en distinguant les cas p_g < p_d et p_g > p_d.
b) Comparer avec le résultat de la question 2.b) : si la quantité de population initiale ( t = 0 ) était finie, que deviendrait ce résultat (distinguer les cas p_g < p_d et p_g > p_d )?
B Covariances spatiales à l'équilibre
On suppose désormais qu'au temps t = 0, tous les territoires sont occupés par exactement un individu.
Résultat admis. Soient U_1, U_2 deux variables aléatoires entières, non nécessairement indépendantes, et p_1, p_2 deux nombres réels de l'intervalle [0; 1]. Pour i = 1, 2, on définit V_i (sachant U_i ) comme une variable binômiale de paramètres p_i et U_i. On admettra alors que
Cov(V_1, V_2) = p_1 p_2 Cov(U_1, U_2).
Pour simplifier les notations, on omettra la mention explicite du temps en écrivant X_n pour X_n(t), et X_n^′ pour X_n(t + 1).
Justifier que pour tout n ∈ ℤ,
X_n^′ = D_(n − 1) + R_n + G_(n + 1)
où D_(n − 1), R_n, G_(n + 1) sont des variables aléatoires entières, qui, sachant {X_(n − 1), X_n, X_(n + 1)}, sont indépendantes et telles que
{D_(n − 1), est une binômiale de paramètres, p_d, et, X_(n − 1); R_n, est une binômiale de paramètres, 1 − p_d − p_g, et, X_n; G_(n + 1), est une binômiale de paramètres, p_g, et, X_(n + 1).
Expliquer pourquoi Cov(X_i, X_j) ne dépend que de j − i.
On désignera donc dorénavant Cov(X_i, X_(i + k)) par c_k.
Montrer que c_k = c_(− k), ∀k ∈ ℤ.
6. a) Soient n, k ∈ ℤ.
Exprimer Cov(X_n^′, X_(n + k)^′) en fonction de c_(k − 2), c_(k − 1), c_k, c_(k + 1) et c_(k + 2).
b) Montrer que les covariances entre quantités de population à l'équilibre sont reliées par l'équation suivante
a) Expliciter le polynôme P de degré 4 associé à cette relation de récurrence linéaire.
b) Montrer que si λ est racine de P , alors λ^(− 1) également. Expliquer pour quelle raison.
c) Trouver une racine évidente de P et montrer que c'est une racine double.
d) Exprimer alors les deux autres racines λ_1 et λ_2 de P , en fonction de σ(λ_1 ⩽ λ_2). Montrer que λ_1 et λ_2 sont négatives, et interpréter.
a) Montrer que λ_1 λ_2 = 1 et donner la position de λ_1 et λ_2 par rapport à -1 .
b) Expliquer pourquoi lim_(|k| → ∞)c_k = 0. Exprimer chacune des suites (c_k)_(k ∈ ℕ) et (c_(− k))_(k ∈ ℕ) sous la forme d'une suite géométrique.
c) Montrer que si p_g = p_d = p/2, alors la covariance à l'équilibre entre deux territoires distants de k vaut
