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MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrice est interdit.

Ce sujet porte sur l'étude de modèles de Lotka-Volterra compétitifs, également appelés modèles logistiques, déterministes et aléatoires.
Il comporte une partie de préliminaires suivie de trois parties, la troisième étant découpée en deux sous-parties. Les préliminaires sont utilisés dans les parties I et III. La partie I est indépendante des parties II et III, excepté pour la dernière question de la partie III. La partie III fait usage de résultats de la partie II, dont les énoncés apparaissent explicitement dans le texte du sujet. Ainsi, à condition de lire attentivement la partie II ainsi que l'introduction de chaque partie, les candidats pourront traiter le sujet dans l'ordre qu'ils souhaitent. Les équations numérotées sont susceptibles d'être utilisées plus loin dans le texte du sujet.
Il est recommandé de lire l'ensemble de l'énoncé attentivement et patiemment. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté ℝ, celui des nombres réels positifs ℝ_+et celui des nombres réels strictement positifs ℝ_+^∗. L'ensemble des entiers naturels est noté ℕ et l'ensemble des entiers naturels non nuls ℕ^∗.
On utilisera la notation 𝟙_({x ∈ A}) pour la fonction indicatrice de l'ensemble A, qui vaut 1 si x ∈ A et 0 sinon.
On rappelle que la fonction exponentielle, qui sera noté indifféremment e^x ou exp(x) dans l'énoncé, satisfait la relation
exp(x) = e^x = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n!) ∀x ∈ ℝ,
où, par définition, n! = 1 × 2 × … × n et, par convention, 0! = 1. Le logarithme (népérien) est désigné par log.
La loi exponentielle de paramètre λ > 0 sera notée Exp(λ). On rappelle que sa densité est donnée par
λe^(− λx)𝟙_({x ⩾ 0}).
On emploiera les abréviations v.a. pour variable(s) aléatoire(s) et i.i.d. pour indépendantes et identiquement distribuées.
On utilisera la notation sup pour la borne supérieure d'un ensemble de réels. Si f est une fonction à valeurs réelles, on écrira
sup_(t ∈ [a, b])f(t) pour sup{f(t) tel que t ∈ [a, b]}.
Il s'agit de la borne supérieure des valeurs prises par la fonction f sur l'intervalle [a, b]. On désignera également par min{a_1, …, a_n} (resp. max{a_1, …, a_n} ) le plus petit (resp. le plus grand) des nombres réels a_1, …, a_n.
Enfin, considérant un système d'équations différentielles de dimension d ∈ ℕ^∗, écrit sous forme vectorielle
y^′ = F(y),
où F : ℝ^d → ℝ^d, on appellera équilibre de ce système tout point y^∗ ∈ ℝ^d tel que F(y^∗) = 0. On admettra que, si F est continue et si y(t) est une solution à ce système qui converge vers une limite finie y^∗ quand t → + ∞, alors y^∗ est nécessairement un équilibre du système.

Introduction

On va s'intéresser dans ce problème à des extensions du modèle classique introduit pour la première fois par Lotka en 1920 dans le cadre de la modélisation des réaction chimiques, puis par Volterra en 1926 dans le cadre de la dynamique de populations de proies et prédateurs. Dans ce sujet, l'interprétation de ces modèles sera formulée en terme de dynamiques de populations.
L'ensemble du problème traite des modèles de Lotka-Volterra compétitifs déterministes et aléatoires de dimension 1 et 2 . Du point de vue des dynamiques de populations, ces modèles servent à décrire la compétition entre deux espèces ou deux sous-populations (par exemple, les
individus de type mutant et de type sauvage d'une même espèce), ou bien entre individus d'une même espèce ou d'une même sous-population. Il peut être commode de penser à une compétition entre individus pour des ressources.
La première partie du problème traite du comportement en temps long des systèmes de Lotka-Volterra compétitifs déterministes en dimension 2. La deuxième partie définit et étudie certaines propriétés du processus de Poisson. Enfin, la troisième partie utilise ces résultats pour construire et étudier les processus de Lotka-Volterra compétitifs discrets aléatoires en grande population.

Préliminaires : Équation logistique en dimension 1

Cette partie traite de quelques propriétés simples de l'équation de Lotka-Volterra compétitive en dimension 1, aussi connue sous le nom d'équation logistique.
Soit r et c dans ℝ_+^∗. On considère l'équation différentielle
y^′ = y(r − cy)
avec condition initiale y(0) = y_0 ⩾ 0.
  1. Donner une interprétation des paramètres de cette équation.
  2. On cherche dans cette question à calculer y(t).
    a) Que vaut y(t) lorsque y_0 = 0 ?
    b) En effectuant le changement de fonction inconnue z(t) = 1/(y(t)), calculer y(t) lorsque y_0 > 0.
    c) Montrer que y(t) ⩽ max{y_0, r/c} pour tout t ⩾ 0.
  3. Calculer la limite de y(t) lorsque t → + ∞ en fonction de y_0. Vérifier que cette limite est un équilibre de l'équation différentielle (1).

Première partie : Systèmes de Lotka-Volterra compétitifs déterministes

Cette partie porte sur l'étude des systèmes de Lotka-Volterra compétitifs en dimension 2, définis comme suit.
Soit r_1, r_2, c_(11), c_(12), c_(21) et c_(22) dans ℝ_+^∗. On considère le système d'équations différentielles de dimension 2
{y_1^′ = y_1(r~_1 − c_(11)y_1 − c_(12)y^_2); y_2^′ = y_2(r_2 − c_(21)y_1 − c_(22)y_2)
avec condition initiale (y_1(0), y_2(0)) ∈ ℝ_+^2. On notera y(t) = (y_1(t), y_2(t)) et y_0 = (y_1(0), y_2(0)). On admettra que, pour toute condition initiale, ce système admet une solution unique définie pour tout temps.
On introduit les deux quantités suivantes :
f_1 = r_1 − r_2(c_(12))/(c_(22)) et f_2 = r_2 − r_1(c_(21))/(c_(11))
On supposera que f_1 ≠ 0 et f_2 ≠ 0.
On pose r¯ = max{r_1, r_2}, r_– = min{r_1, r_2}, c¯ = max{c_(11), c_(12), c_(21), c_(22)} et c_– = min{c_(11), c_(12), c_(21), c_(22)}.
  1. Donner une interprétation des paramètres du système (2).
  2. Dans le plan cartésien de coordonnées (y_1, y_2), on considère les deux droites D_1 et D_2 d'équations
c_(11)y_1 + c_(12)y_2 = r_1 et c_(21)y_1 + c_(22)y_2 = r_2, respectivement.
a) On suppose dans cette question que f_1 < 0 et f_2 > 0. Donner une représentation graphique des droites D_1 et D_2. Ces droites s'intersectent-elles dans le quart de plan y_1 ⩾ 0 et y_2 ⩾ 0 ? Quelle est leur position relative dans ce quart de plan?
b) On suppose maintenant que f_1 f_2 < 0. Montrer que le système (2) a 3 équilibres appartenant à ℝ_+^2.
c) On suppose enfin que f_1 f_2 > 0. Montrer que le système (2) a 4 équilibres appartenant à ℝ_+^2.
3. a) Vérifier que
y_1(t) = y_1(0)exp(r_1 t − c_(11)∫_0^t y_1(s)ds − c_(12)∫_0^t y_2(s)ds)
et donner une expression similaire pour y_2(t). En déduire que y_1(t) ⩾ 0 et y_2(t) ⩾ 0 pour tout t ⩾ 0 et que, si y_1(0) > 0 (respectivement, y_2(0) > 0 ), alors y_1(t) > 0 (respectivement y_2(t) > 0 ) pour tout t ⩾ 0.
b) On pose z(t) = y_1(t) + y_2(t) pour tout t ⩾ 0. On suppose que z(0) ⩽ A pour A > (r¯)/(c_–) fixé. Quel est le signe de z^′(t) pour tout t ⩾ 0 tel que z(t) = A ? En déduire que z(t) ⩽ A pour tout t ⩾ 0.
4. On suppose de nouveau dans cette question que f_1 < 0 et f_2 > 0. On cherche à déterminer le comportement quand t → + ∞ de la solution du système (2).
a) On considère les ensembles
E_1 = {(y_1, y_2) ∈ (ℝ_+)^2 tel que c_(11)y_1 + c_(12)y_2 < r_1}; E_2 = {(y_1, y_2) ∈ (ℝ_+)^2 tel que c_(11)y_1 + c_(12)y_2 ⩾ r_1 et c_(21)y_1 + c_(22)y_2 ⩽ r_2}; E_3 = {(y_1, y_2) ∈ (ℝ_+)^2 tel que c_(21)y_1 + c_(22)y_2 > r_2}
Représenter graphiquement ces ensembles.
b) Pour 1 ⩽ i ⩽ 3, examiner le signe de y_1^′(t) et y_2^′(t) pour t tel que y(t) = (y_1(t), y_2(t)) ∈ E_i. Faire de même lorsque y(t) ∈ D_1, et lorsque y(t) ∈ D_2.
En déduire que, s'il existe s ⩾ 0 tel que y(s) ∈ E_2, alors y(t) ∈ E_2 pour tout t ⩾ s.
c) En déduire que, pour toute condition initiale y_0 ∈ ℝ_+^2, y(t) converge vers une limite finie y^∗ quand t → + ∞. On rappelle que y^∗ est nécessairement un équilibre du système (2).
d) Soit ε ∈ ]0, r_–/c¯[. Quel est le signe de y_1^′(t) + y_2^′(t) pour t ⩾ 0 tel que y_1(t) + y_2(t) = ε ? En déduire que, si y_0 ≠ 0, alors y^∗ ≠ 0.
e) Soit ε ∈ ]0, (f_2)/(2c¯)[. Soit t tel que |y_1(t) − (r_1)/(c_(11))| < ε et 0 < y_2(t) < ε. Quel est le signe de y_2^′(t) ? Que peut-on en conclure sur y^∗ ?
f) Donner la limite de y(t) quand t → + ∞ en fonction de y_0 ∈ ℝ_+^2. Que signifie ce résultat en terme de coexistence des deux populations lorsque t → + ∞ ?

Deuxième partie : Le processus de Poisson

Soit Ω un ensemble fondamental (ou univers) donné muni d'une probabilité ℙ. Cette partie et la suivante traitent de fonctions aléatoires du temps, aussi appelées processus. Plus précisément, on dira que X est un processus si X : ℝ_+ × Ω → ℝ. Afin d'alléger les notations, on notera X(t) au lieu de X(t, ω) lorsque l'épreuve ω ∈ Ω sera fixée. On utilisera parfois la notation ( X(t), t ⩾ 0 ) pour désigner le processus X.
On dira que P : ℝ_+ × Ω → ℝ est un processus de Poisson s'il existe une suite (E_n)_(n ⩾ 1) de v.a. i.i.d. de loi Exp(1) telle que E_n(ω) > 0 pour tout n ⩾ 1 et ω ∈ Ω, et
P(t) = P(t, ω) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)𝟙_({t ⩾ S_n(ω)}) ∀(t, ω) ∈ ℝ_+ × Ω
où
S_n = ∑_(j = 1)^n E_j ∀n ∈ ℕ^∗
La suite croissante (S_n)_(n ∈ ℕ^∗) est appelée suite des instants de sauts du processus de Poisson.
Soit deux processus de Poisson (P_1(t), t ⩾ 0) et (P_2(t), t ⩾ 0) obtenus respectivement par l'expression (4) à partir des suites de v.a. exponentielles (E_n^((1)))_(n ⩾ 1) et (E_n^((2)))_(n ⩾ 1). On dira que P_1 et P_2 sont indépendants si les suites de v.a. (E_n^((1)))_(n ⩾ 1) et (E_n^((2)))_(n ⩾ 1) sont indépendantes. On dira également que P_1 est indépendant d'une v.a. Y donnée si la suite (E_n^((1)))_(n ⩾ 1) est indépendante de Y.
Dans toute cette partie, on considère un processus de Poisson ( P_t, t ⩾ 0 ) fixé, construit à partir d'une suite (E_n)_(n ⩾ 1) de v.a. i.i.d. de loi Exp(1) donnée.
  1. a) Montrer que P(0) = 0 et que t ↦ P(t) est une application (aléatoire) croissante. Que vaut P(S_n) pour n ∈ ℕ^∗ ? Justifier le nom "instants de sauts" pour la suite (S_n)_(n ⩾ 1). Montrer que t ↦ P(t) ne peut pas sauter de 2 ou plus à un instant de saut donné. Donner une représentation graphique de la fonction t ↦ P(t) en indiquant les v.a. E_n et S_n.
    b) Montrer que, pour tout n ⩾ 1, la loi de S_n a pour densité
(x^(n − 1))/((n − 1)!)e^(− x)𝟙_({x ⩾ 0})
c) Montrer que ℙ(S_n ⩽ A) → 0 quand n → + ∞, puis que ℙ(S_n ⩽ A, ∀n ∈ ℕ^∗) = 0 pour tout A ∈ ℝ_+^∗.
d) Montrer que, si S_n ne tend pas vers + ∞ lorsque n → + ∞, alors il existe N ∈ ℕ^∗ tel que S_n ⩽ N pour tout n ∈ ℕ^∗. En déduire que ℙ(S_n → + ∞) = 1, ℙ(P(t) < + ∞) = 1 et ℙ(P(t) ∈ ℕ) = 1 pour tout t ∈ ℝ_+.
2. Le but de cette question est de montrer que P(t) suit la loi de Poisson de paramètre t.
a) Quelle est la densité jointe de (S_n, E_(n + 1)) ?
b) Montrer que ℙ(P(t) = n) = ∫_0^t∫_(t − s)^(+ ∞)(s^(n − 1))/((n − 1)!)e^(− (s + u))duds.
c) Conclure.
3. Le but de cette question est de montrer que, pour t fixé, P(t) est proche de t avec grande probabilité.
a) Soit la fonction h(u) = log(1 + u) − u + (u^2)/2. Montrer que h(u) ⩾ 0 pour tout u ∈ ℝ_+.
Montrer également que log(1 − u) ⩾ − u − (u^2)/2 − (2u^3)/3 pour tout u ∈ [0, 1/2].
b) Calculer 𝔼[e^(λP(t))] pour tout t ⩾ 0 et λ ∈ ℝ.
c) Soit ε > 0 fixé. En déduire que, pour tout λ ⩾ 0 et t ⩾ 0,
ℙ(P(t) − t > ε) ⩽ exp((e^λ − 1 − λ)t − λε).
d) En calculant la valeur optimale de λ dans l'inégalité précédente, montrer que
ℙ(P(t) − t > ε) ⩽ exp(− (ε^2)/(2t)(1 − ε/t))
e) En utilisant un argument similaire avec λ ⩽ 0, montrer que, pour tout t ⩾ 2ε,
ℙ(P(t) − t < − ε) ⩽ exp(− (5ε^2)/(12t)).
f) En déduire que, pour tout t ⩾ 2ε,
ℙ(|P(t) − t| > ε) ⩽ 2exp(− (ε^2)/(4t))
g) Montrer que, si t = ε,
ℙ(|P(t) − t| > t) = ℙ(P(t) > 2t) ⩽ exp((1 − 2log2)t)
On rappelle que 1 − 2log2 < 0.
4. Le but de cette question est de montrer que P(t) n'est pas trop éloigné de t sur de grands intervalles de temps avec grande probabilité. Soit T > 0 et α ∈ ]1/2, 1[ fixés.
a) Soit K ∈ ℕ^∗ et ε > 0. Montrer que, si |P(kε) − kε| ⩽ ε pour tout k ∈ {1, 2, …, K}, alors |P(t) − t| ⩽ 2ε pour tout t ∈ [0, Kε].
b) Soit N ∈ ℕ^∗ et K le plus petit entier supérieur à N^(1 − α)T. Déduire de la question précédente que
ℙ(sup_(t ∈ [0, NT])|P(t) − t| > 2N^α) ⩽ exp((1 − 2log2)N^α) + 2∑_(k = 2)^K exp(− (N^α)/(4k))
c) Montrer que pour N assez grand, exp((1 − 2log2)N^α) ⩽ 2exp(− (N^α)/(4K)) puis que
ℙ(sup_(t ∈ [0, NT])|P(t) − t| > 2N^α) ⩽ 2(T + 1)N^(1 − α)exp(− (N^(2α − 1))/(4(T + 1)))
d) Montrer que, pour tout ε > 0,
lim_(N → + ∞)ℙ(1/Nsup_(t ∈ [0, NT])|P(t) − t| > ε) = 0

Troisième partie : Processus logistique

Le but de cette partie est de définir, construire et démontrer quelques propriétés du processus de Lotka-Volterra compétitif en dimension 1, aussi appelé processus logistique, qui est un équivalent aléatoire de la solution de l'équation différentielle (1).

A Construction du processus logistique

Soient b, c, d des constantes dans ℝ_+^∗ fixées. Soit Z une v.a. à valeurs dans ℕ. Soient P_1 et P_2 deux processus de Poisson indépendants et indépendants de la v.a. Z. On note (E_n^((1)))_(n ⩾ 1) et (E_n^((2)))_(n ⩾ 1) les suites de v.a. i.i.d. Exp(1) associées à P_1 et P_2, respectivement. On note également S_n^((1)) et S_n^((2)) les suites d'instants de sauts associées à P_1 et P_2, respectivement.
On considère un processus X = (X(t), t ⩾ 0) satisfaisant pour tout ω ∈ Ω l'équation
X(t) = Z + P_1(b∫_0^t X(s)ds) − P_2(d∫_0^t X(s)ds + c∫_0^t X(s)^2 ds) ∀t ⩾ 0
On admettra que cette équation admet une unique solution définie pour tout (t, ω) ∈ ℝ_+ × Ω et telle que les intégrales apparaissant dans (5) sont toutes finies.
  1. a) Que vaut X(0) ? Montrer que X(t) ∈ ℤ pour tout t ⩾ 0.
    b) Soient t ⩾ 0 et ω ∈ Ω tels que X(t, ω) = 0.
On considère les fonctions f(u) = b∫_0^u X(s, ω)ds et g(u) = d∫_0^u X(s, ω)ds + c∫_0^u X(s, ω)^2 ds.
Soient n et m dans ℕ^∗ tels que S_n^((1)) ⩽ f(t) < S_(n + 1)^((1)) et S_m^((2)) ⩽ g(t) < S_(m + 1)^((2)). Soit enfin s ⩾ t tel que f(s) < S_(n + 1)^((1)) et g(s) < S_(m + 1)^((2)).
Que vaut X(s, ω) ? Exprimer f(s) et g(s) en fonction de f(t) et g(t).
En déduire que X(s, ω) = 0 pour tout s ⩾ t.
c) Montrer que X(t) ∈ ℕ pour tout t ⩾ 0.
2. Soit λ > 0 et E une v.a. de loi Exp(1). Quelle est la loi de E/λ ? son espérance? sa variance? sa fonction de répartition?
3. Soit deux v.a. E_1 et E_2 indépendantes de loi Exp(λ) et Exp(μ), respectivement. Calculer ℙ(min{E_1, E_2} ⩾ x) pour x ⩾ 0. Quelle est la loi de min{E_1, E_2} ? Calculer ℙ(E_1 ⩽ E_2).
4. a) Soit k ∈ ℕ^∗. Pour tout ω ∈ Ω tel que Z(ω) = k, on note T_1(ω) le temps tel que X(t, ω) = k pour tout t ∈ [0, T_1(ω)[ et X(T_1(ω), ω) = k + 1 ou k − 1. Montrer que
T_1(ω) = min{(E_1^((1))(ω))/(bk), (E_1^((2))(ω))/(dk + ck^2)}
En répétant cette construction pour tout k ∈ ℕ^∗ et en posant T_1(ω) = + ∞ si Z(ω) = 0, on définit ainsi une v.a. T_1 à valeurs dans ]0, + ∞], appelée premier instant de saut de X.
b) Soit k tel que ℙ(Z = k) > 0. Calculer la fonction de répartition de T_1 conditionnellement à {Z = k}. Calculer également ℙ(X(T_1) = k + 1|Z = k) et ℙ(X(T_1) = k − 1|Z = k).
c) Pour tout ω ∈ Ω, on définit
∀t ⩾ 0, X^′(t) = {X(T_1 + t), si T_1 < + ∞; 0, si T_1 = + ∞
On admettra qu'il existe deux processus de Poisson P_1^′ et P_2^′ indépendants et indépendants de X(T_1) tels que P_1^′(t) = P_1(T_1 + t) − P_1(T_1) et P_2^′(t) = P_2(T_1 + t) − P_2(T_1) lorsque T_1 < + ∞. Montrer que
X^′(t) = X^′(0) + P_1^′(b∫_0^t X^′(s)ds) − P_2^′(d∫_0^t X^′(s)ds + c∫_0^t X^′(s)^2 ds) ∀t ⩾ 0
d) Expliquer comment le processus X peut être construit récursivement en définissant une suite d'instants de sauts (T_n)_(n ∈ ℕ^∗) croissante et à valeurs dans ]0, + ∞].
e) Soit (F_n)_(n ⩾ 1)(resp.(G_n)_(n ⩾ 1), resp. (H_(n, m))_(n, m ⩾ 1)) une suite de v.a. i.i.d. de loi Exp(b) (resp. Exp(d), resp. Exp(c) ). Soit k ∈ ℕ^∗. Quelles sont les lois de
min{F_i, 1 ⩽ i ⩽ k} et min{{G_i, 1 ⩽ i ⩽ k} ∪ {H_(i, j), 1 ⩽ i, j ⩽ k}}?
Si l'on suppose que le processus X représente le nombre d'individus d'une population en fonction du temps, expliquer pourquoi les paramètres b, d et c peuvent être appelés taux de naissance, mort et compétition individuels.

B Limite de grande population

On introduit maintenant un paramètre N ∈ ℕ^∗ et la suite de processus logistiques (X_N)_(N ∈ ℕ^∗) obtenue en remplaçant c par c/N. Plus précisément, soit une suite (X_N(0))_(N ∈ ℕ^∗) de v.a. à valeurs dans ℕ indépendante de P_1 et P_2. Pour tout N ⩾ 1, on définit le processus X_N par
X_N(t) = X_N(0) + P_1(b∫_0^t X_N(s)ds) − P_2(d∫_0^t X_N(s)ds + c/N∫_0^t X_N(s)^2 ds) ∀t ⩾ 0
On définit également Y_N(t) = (X_N(t))/N.
On note r = b − d et on suppose que r > 0. On fixe y_0 ⩾ 0 et on appelle y(t) la solution de l'équation différentielle logistique (1) telle que y(0) = y_0. On rappelle que y(t) ⩽ M_1 pour tout t ⩾ 0, où M_1 = max{y_0, r/c}.
On suppose qu'il existe une constante C > 0 telle que Y_N(0) ⩽ C pour tout N ∈ ℕ^∗ et que
lim_(N → + ∞)ℙ(|Y_N(0) − y_0| > ε) = 0, ∀ε > 0
Soit T > 0 fixé. Le but de cette sous-partie est de démontrer que, quand N → + ∞, Y_N(t) converge vers y(t) pour t ∈ [0, T] en un sens précisé plus loin.
5. Soit f une fonction continue par morceaux de ℝ_+dans ℝ_+. Soit F(t) = ∫_0^t f(s)ds. On suppose qu'il existe deux constantes A ⩾ 0 et B > 0 telles que
f(t) ⩽ A + BF(t) ∀t ⩾ 0
Soit G(t) = A/B(e^(Bt) − 1). Montrer que F(t) ⩽ G(t) pour tout t ⩾ 0, puis que
f(t) ⩽ Ae^(Bt) ∀t ⩾ 0
  1. On introduit les processus Q_1(t) = P_1(t) − t et Q_2(t) = P_2(t) − t. Montrer que
Y_N(t) − y(t) = Y_N(0) − y_0 + r∫_0^t(Y_N(s) − y(s))ds − c∫_0^t[Y_N(s)^2 − y(s)^2]ds + ε_N(t)
où
ε_N(t) = 1/NQ_1(Nb∫_0^t Y_N(s)ds) − 1/NQ_2(Nd∫_0^t Y_N(s)ds + Nc∫_0^t Y_N(s)^2 ds)
Montrer également que
Y_N(t) ⩽ Y_N(0) + b∫_0^t Y_N(s)ds + 1/NQ_1(Nb∫_0^t Y_N(s)ds)
  1. En déduire que, pour tout t ∈ [0, T],
Y_N(t) ⩽ (C + 1/Nsup_(0 ⩽ t ⩽ T)|Q_1(Nb∫_0^t Y_N(s)ds)|)e^(bt)
  1. Soit t_0 le premier instant où Y_N(t_0) ⩾ M_2 où M_2 = (C + 1)e^(bT) et soit S = min{T, t_0}. En déduire que, pour tout t < S,
Y_N(t) ⩽ (C + 1/Nsup_(0 ⩽ u ⩽ NbTM_2)|Q_1(u)|)e^(bT)
Déduire de la partie II que
lim_(N → + ∞)ℙ(t_0 > T) = 1
  1. Montrer que pour tout t < S,
|Y_N(t) − y(t)| ⩽ |Y_N(0) − y_0| + sup_(0 ⩽ t ⩽ S)|ε_N(t)| + (r + c(M_1 + M_2))∫_0^t|Y_N(s) − y(s)|ds
En déduire que, pour tout ε > 0,
ℙ(sup_(0 ⩽ t ⩽ T)|Y_N(t) − y(t)| > ε) ⩽ ℙ(t_0 ⩽ T) + ℙ(|Y_N(0) − y_0| > Dε) + ℙ(sup_(0 ⩽ t ⩽ S)|ε_N(t)| > Dε),; où D = 1/2e^(− (r + c(M_1 + M_2))T)
  1. Conclure que, pour tout ε > 0, lim_(N → + ∞)ℙ(sup_(0 ⩽ t ⩽ T)|Y_N(t) − y(t)| > ε) = 0.
Justifier le nom "limite de grande population" donné à cette limite.
11. On suppose que y_0 > 0. Montrer que, pour tout δ > 0,
lim_(N → + ∞)ℙ(∃t ⩾ 0 tel que Y_N(t) ∈ [r/c − δ, r/c + δ]) = 1
  1. a) Donner les équations permettant de définir un couple de processus ( X_1, X_2 ) généralisant le processus logistique (5) à la dimension 2 . On utilisera des paramètres b_1, b_2, d_1, d_2, c_(11), c_(12), c_(21), c_(22) similaires à ceux apparaissant dans l'équation (2).
    b) Comment modifier ces équations pour construire des processus ( X_1^((N)), X_2^((N)) ) correspondant aux processus X_N ? Énoncer un résultat similaire à celui de la question 10. Expliquer brièvement comment l'étude du processus |Y_1^((N))(t) − y_1(t)| + |Y_2^((N))(t) − y_2(t)| permet d'adapter la méthode précédente pour démontrer ce résultat.
    c) Dans le cas où y_0 ∈ (ℝ_+^∗)^2, f_1 < 0 et f_2 > 0, où f_1 et f_2 sont définis dans (3), énoncer un résultat similaire à celui de la question 11. portant sur les processus (X_1^((N)), X_2^((N))). Quelle information donne ce résultat sur la compétition entre les deux populations?

Fin du problème.

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