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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2016

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et à l'ENPC
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

L'épreuve est composée de quatre parties. Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. On pourra admettre les résultats des parties 1 et 3 pour traiter la partie 4 .
Dans ce qui suit, on utilisera les notations suivantes.
  • On note ℝ l'ensemble des nombres réels.
  • Une fonction continue f : ℝ → ℝ est à support compact s'il existe x_−, x_+ ∈ ℝ, avec x_− < x_+, tels que f(x) = 0 si x < x_−ou x > x_+.
  • Soit σ > 0. On note Γ_(σ^2) la Gaussienne de paramètre σ^2, c'est-à-dire la fonction de ℝ dans ℝ, définie pour x ∈ ℝ par Γ_(σ^2)(x) = 1/(σ√(2π))e^(− (x^2)/(2σ^2)).
  • Pour deux fonctions continues f, g : ℝ → ℝ telles que ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx convergent, on admettra que pour tout x ∈ ℝ, l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x − y)g(y)dy converge. On notera alors f∗g la convolution de f par g, définie pour tout x ∈ ℝ par
(f∗g)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x − y)g(y)dy
On admettra de plus que pour tous σ_1 > 0 et σ_2 > 0, Γ_(σ_1^2)∗Γ_(σ_2^2) = Γ_(σ_1^2 + σ_2^2).

1. Fonctions gaussiennes

(1.1) Soient f une fonction continue de ℝ dans ℝ à support compact et σ > 0. Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ ℝ, f(x) ≤ CΓ_(σ^2)(x).
(1.2) Soient σ > 0, et g la fonction définie sur ℝ par g(x) = |x|e^(− σx^2). En étudiant le signe de g^′ sur ]0, + ∞[, montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ ]0, + ∞[,
g(x) ≤ C
En déduire que pour tout x ∈ ℝ, |x|e^(− σx^2) ≤ C. En utilisant un argument similaire, montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ ℝ, x^2 e^(− σx^2) ≤ C.
(1.3) Soient 0 < σ_1 < σ_2 et k ∈ {1, 2}. Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ ℝ,
|x|^k Γ_(σ_1^2)(x) ⩽ CΓ_(σ_2^2)(x)
(1.4) Soit σ > 0. Montrer que les intégrales ∫_(− ∞)^(+ ∞)xΓ_(σ^2)(x)dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)x^2 Γ_(σ^2)(x)dx sont convergentes, et calculer leurs valeurs.
(1.5) Pour x_0 ∈ ℝ et σ > 0, calculer
∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_(σ^2)(x + x_0)dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)xΓ_(σ^2)(x + x_0)dx

2. Dynamique D'un système D'Équations différentielles

Soit γ > 0. On considère des fonctions continues N : [0, + ∞[ → ℝ et Z : [0, + ∞[ → ℝ, dérivables sur ]0, + ∞[, solutions du système suivant:
{N^′(t) = (Z(t) − 1)N(t); Z^′(t) = (1 + Z(t))(2 − Z(t)) − γZ(t)
On suppose de plus que N(0) > 0 et Z(0) > 0. Le but de cette partie est d'étudier le comportement de N(t) et Z(t) lorsque t ≥ 0 est grand.
(2.1) Calculer les constantes a > 0 et A > 0 telles que la fonction Y définie pour t ≥ 0 par Y(t) = Z(t) + a vérifie
Y^′(t) = (A − Y(t))Y(t).
(2.2) Soit Y_0 ∈ ]0, + ∞[. En dérivant W(t) = 1/(Y(t)), trouver une solution explicite de l'équation Y^′(t) = (A − Y(t))Y(t) telle que Y(0) = Y_0.
On admet que cette solution explicite est l'unique solution de l'équation différentielle Y^′(t) = (A − Y(t))Y(t) telle que Y(0) = Y_0.
(2.3) En déduire une formule explicite de Z(t) pour t ≥ 0.
Montrer que Z(t) converge vers une certaine constante Z¯ > 0 lorsque t → ∞.
Vérifier que Z¯ est l'unique solution positive de l'équation
0 = (1 + Z¯)(2 − Z¯) − γZ¯
(2.4) Calculer la constante d ∈ ℝ telle que
lim_(γ → 0, γ > 0)(Z¯ − (2 + dγ))/γ = 0.
(2.5) Pour z ∈ ℝ, on considère la solution N_z de l'équation différentielle
N_z^′(t) = (z − 1)N_z(t),
de condition initiale N_z(0) = 1. Montrer qu'il existe z^∗ ∈ ℝ (que l'on explicitera), tel que
lim_(t → + ∞)N_z(t) = 0 si z < z^∗ et lim_(t → + ∞)N_z(t) = + ∞ si z > z^∗.
(2.6) Soit ε > 0. Montrer qu'il existe t_0 ≥ 0 tel que pour tout t ≥ t_0,
(N_(Z¯ − ε)(t))/(N_(Z¯ − ε)(t_0)) ⩽ (N(t))/(N(t_0)) ⩽ (N_(Z¯ + ε)(t))/(N_(Z¯ + ε)(t_0)).
(2.7) Déterminer la valeur γ^∗ du paramètre γ ∈ ℝ pour laquelle Z¯ = z^∗.
Quelle est la limite de N(t) lorsque t → ∞, dans les cas où γ < γ^∗ et γ > γ^∗ ?

3. DÉRIVATION ET INTÉGRATION

Soit f : [0, + ∞[ × ℝ → ℝ une fonction continue, telle que f : (t, x) ↦ f(t, x) soit deux fois dérivable en la variable t. Soit aussi t¯ > 0. On suppose qu'il existe C > 0 et σ > 0 tels que pour tout (t, x) ∈ ]0, t¯ + 1] × ℝ,
|f(t, x)| + |(∂f)/(∂t)(t, x)| ⩽ CΓ_(σ^2)(x) et |(∂^2 f)/(∂t^2)(t, x)| ⩽ C.
(3.1) Soient x ∈ ℝ et h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Grâce à la formule des accroissements finis, montrer que
|(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/h − (∂f)/(∂t)(t¯, x)| ⩽ C|h|.
(3.2) Soient R > 0 et h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Montrer que
|∫_(− R)^R(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/hdx − ∫_(− R)^R(∂f)/(∂t)(t¯, x)dx| ⩽ 2CR|h|
(3.3) Soient R > 0 et h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Montrer que
∫_(− ∞)^(− R)|(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/h| + |(∂f)/(∂t)(t¯, x)|dx ⩽ 2C∫_(− ∞)^(− R)Γ_(σ^2)(x)dx
et
∫_R^(+ ∞)|(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/h| + |(∂f)/(∂t)(t¯, x)|dx ⩽ 2C∫_R^(+ ∞)Γ_(σ^2)(x)dx
(3.4) Soient R > 0 et h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Montrer que
|∫_(− ∞)^(+ ∞)(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/hdx − ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∂f)/(∂t)(t¯, x)dx|; ⩽ 2CR|h| + 2C∫_(− ∞)^(− R)Γ_(σ^2)(x)dx + 2C∫_R^(+ ∞)Γ_(σ^2)(x)dx
(3.5) Soient R > 0 et h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Montrer que
|∫_(− ∞)^(+ ∞)(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/hdx − ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∂f)/(∂t)(t¯, x)dx| ⩽ 2CR|h| + (2Cσ^2)/(R^2)
(3.6) Soit h ∈ ℝ tel que 0 < |h| < min(1, t¯). Montrer que
|∫_(− ∞)^(+ ∞)(f(t¯ + h, x) − f(t¯, x))/hdx − ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∂f)/(∂t)(t¯, x)dx| ⩽ (2C + 2Cσ^2)|h|^(2/3)
(3.7) Montrer que la fonction F définie sur ]0, t¯ + 1[parF(t) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t, x)dx est dérivable en t¯, et
F^′(t¯) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∂f)/(∂t)(t¯, x)dx

4. Étude d'une ÉQUATION INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE

Soit h : ℝ → [0, + ∞[ une fonction continue à support compact, positive. On suppose que ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x)dx = 1 et ∫_(− ∞)^(+ ∞)xh(x)dx = 2. Soit aussi γ > 0. On s'intéresse à l'équation suivante:
(∂m)/(∂t)(t, x) =, 2γ(∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_1(y/2 − x)m(t, y)dy − m(t, x)); + h(x)∫_(− ∞)^(+ ∞)(1 + y)m(t, y)dy − 2m(t, x)
Soit m : [0, + ∞[ × ℝ → [0, + ∞[ une fonction continue positive, vérifiant l'équation ci-dessus pour tout (t, x) ∈ ]0, + ∞[ × ℝ, deux fois dérivable en la variable t sur ]0, + ∞[ × ℝ, et telle que pour tout (t, x) ∈ ]0, + ∞[ × ℝ,
(1 + |x|)(m(t, x) + |(∂m)/(∂t)(t, x)| + |(∂^2 m)/(∂t^2)(t, x)|) ⩽ e^t
On suppose que x ↦ m(0, x) est une fonction à support compact, et que m(t, 0) > 0 pour tout t ⩾ 0. Le but de cette partie est d'obtenir des équations différentielles sur les fonctions N et Z définies pour t ≥ 0 par
N(t) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)m(t, x)dx, Z(t) = 1/(N(t))∫_(− ∞)^(+ ∞)xm(t, x)dx
(4.1) Montrer qu'il existe une constante κ > 0 telle que pour tout x ∈ ℝ,
∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_1(y/2 − x)Γ_(κ^2)(y)dy = Γ_(κ^2)(x)
(4.2) Montrer qu'il existe une constante λ > 0 telle que pour tout x ∈ ℝ,
(∫_(− ∞)^(+ ∞)(1 + y)Γ_(κ^2)(y)dy)h(x) − 2Γ_(κ^2)(x) ⩽ λΓ_(κ^2)(x)
(4.3) Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que la fonction m¯ définie pour tout (t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ par
m¯(t, x) = Ce^(λt)Γ_(κ^2)(x)
vérifie m(0, x) ⩽ m¯(0, x) pour tout x ∈ ℝ, et pour tout (t, x) ∈ ]0, + ∞[ × ℝ, (∂m¯)/(∂t)(t, x) ≥ 2γ(∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_1(y/2 − x)m¯(t, y)dy − m¯(t, x)) + h(x)∫_(− ∞)^(+ ∞)(1 + y)m¯(t, y)dy − 2m¯(t, x).
On admet que cette inégalité implique que pour tout (t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ, m(t, x) ⩽ m¯(t, x).
(4.4) Montrer que les intégrales ∫_(− ∞)^(+ ∞)m(t, x)dx et ∫_(− ∞)^(+ ∞)xm(t, x)dx sont convergentes pour tout t ≥ 0.
(4.5) On admet la formule
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_1(y/2 − x)m(t, y)dy)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ_1(y/2 − x)m(t, y)dx)dy
Montrer que pour tout t > 0,
N^′(t) = (Z(t) − 1)N(t)
(4.6) On admet la formule
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)xΓ_1(y/2 − x)m(t, y)dy)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)xΓ_1(y/2 − x)m(t, y)dx)dy
Montrer que pour tout t > 0,
Z^′(t) = (1 + Z(t))(2 − Z(t)) − γZ(t)
L'équation étudiée dans la partie 4 est inspirée par un modèle décrivant l'effet d'échanges de P-glycoprotéines sur une population de cellules cancéreuses mutantes m. Nous montrons que l'étude de cette équation peut se faire au moyen d'un système de deux équations différentielles. La partie 2 décrit ainsi la dynamique la taille de la population mutante.

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