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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2018

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Lyon, Paris, Paris-Saclay et à l'ENPC
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

L'épreuve est composée de deux exercices indépendants. Dans ce qui suit,
  • pour x ∈ ℝ, on définit ⌈x⌉ comme le plus petit entier supérieur ou égal à x, c'est-à-dire ⌈x⌉ = min{n ∈ ℤ; x ⩽ n};
  • on note ℕ^∗ = {1, 2, 3, …} l'ensemble des entiers naturels non nuls;
  • sauf mention contraire, N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Exercice 1

Soit r ∈ ]0, + ∞[ un nombre réel fixé. On considère l'équation différentielle
R^′(t) = R(t),
où R : ℝ → ℝ est une fonction de classe 𝒞^1 satisfaisant R(0) = r, ainsi qu'une fonction continue A : [0, + ∞[ → ]0, + ∞[, satisfaisant A(0) = 2, de classe 𝒞^1 sur l'intervalle ]0, + ∞[, vérifiant
∀t ∈ ]0, + ∞[ A^′(t) = (− A(t)R(t))/(A(t) + 1).
1.1. Déterminer R(t) et calculer l'intégrale ∫_0^t R(s)ds.
1.2. Trouver une primitive de la fonction x ↦ 1 + 1/x sur l'intervalle ]0, + ∞[. Étant donnée une fonction B : ]0, + ∞[ → ]0, + ∞[ de classe 𝒞^1, en déduire une primitive de la fonction
t ⟼ (1 + 1/(B(t)))B^′(t).
1.3. En remarquant que
∫_0^t(1 + 1/(A(s)))A^′(s)ds = − ∫_0^t R(s)ds
et en utilisant la question précédente, exprimer t en fonction de A(t) et de r.
On définit τ(r) ∈ ]0, + ∞[ par l'égalité A(τ(r)) = 1. Donner une formule explicite pour τ(r) en fonction de r.
1.4. Montrer que la fonction r ↦ τ(r) est monotone sur ]0, + ∞[ et décrire son image τ(]0, + ∞[).
1.5. On considère une fonction continue S : [0, + ∞[ → ℝ, dérivable sur ]0, τ(r)[ ∪ ]τ(r), + ∞[, qui vérifie S(0) = 1 − r ainsi que les équations différentielles
S^′(t) = − S(t), si t ∈ ]0, τ(r)[; S^′(t) = 2S(t), si t ∈ ]τ(r), + ∞[
Donner une formule explicite pour S(t) pour t ∈ ]0, τ(r)[, en déduire S(τ(r)), puis une formule explicite pour S(t) pour t ∈ ]τ(r), + ∞[.
On cherche à déterminer r et T > 0 tels que
(H) R(T) + S(T) = 10 et (R(0))/(R(0) + S(0)) = (R(T))/(R(T) + S(T)).
1.6. Montrer que l'hypothèse (R(0))/(R(0) + S(0)) = (R(T))/(R(T) + S(T)) implique
(R(T))/(R(0)) = (S(T))/(S(0)) = (R(T) + S(T))/(R(0) + S(0))
1.7. Montrer que les hypothèses ( H ) impliquent l'inégalité T > τ(r).
1.8. Sous les hypothèses (H), écrire, à l'aide des questions 1.3, 1.5 et 1.7 , des formules explicites pour (R(T))/(R(0)) et (S(T))/(S(0)), puis, grâce à (H), une formule pour (R(T) + S(T))/(R(0) + S(0)).
1.9. En déduire des valeurs explicites pour T puis pour τ(r). Expliciter r en utilisant ces valeurs et la question 1.3.
1.10. Vérifier que les valeurs T, r et τ(r) calculées à la question 1.9 satisfont effectivement les hypothèses (H).

Exercice 2

Cet exercice est composé de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Soit (X_i)_(i ∈ ℕ^∗) une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, de loi uniforme sur {1, …, N}. On définit récursivement les variables aléatoires F_1, …, F_N par F_1 = 1 puis, pour i ∈ {2, …, N},
F_i = min{k ⩾ 1; X_k ∉ ⋃_(j = 1)^(i − 1){X_(F_j)}}

2.1. Première partie de l'exercice 2.

2.1.1. Soit N = 3. On considère l'évènement suivant :
{X_1 = 3, X_2 = 3, X_3 = 2, X_4 = 3, X_5 = 1, X_6 = 2}
Identifier F_1, F_2, F_3, ainsi que X_(F_1), X_(F_2), X_(F_3).
2.1.2. Montrer que la famille (F_i)_(i ∈ {1, …, N}) est strictement croissante et que, pour tout k ∈ {1, …, N}, on a card(∪ _(i = 1)^k{X_(F_i)}) = k.
2.1.3. Soit i ∈ {2, …, N} et soit j ⩾ F_(i − 1) + 1. On définit une variable aléatoire Z_j par
Z_j = {0, si X_j ∈ {X_1, …, X_(F_(i − 1))}; 1, sinon.
Identifier la loi de Z_j. Si j^′ ⩾ F_(i − 1) + 1 et j ≠ j^′, montrer que les variables aléatoires Z_j et Z_(j^′) sont indépendantes.
2.1.4. Pour i ∈ {2, …, N}, décrire la loi de F_i − F_(i − 1), expliciter son espérance et sa variance. Montrer l'indépendance des variables aléatoires F_i − F_(i − 1) et F_j − F_(j − 1) pour tous les i, j ∈ {2, …, N} tels que i ≠ j.
2.1.5. Pour tout i ∈ {2, …, N}, montrer l'inégalité
∫_i^(i + 1)1/tdt ⩽ 1/i ⩽ ∫_(i − 1)^i 1/tdt
et en déduire que |∑_(i = 1)^N 1/i − lnN| ⩽ C, où C > 0 est une constante indépendante de N.
2.1.6. Calculer l'espérance et la variance de F_N.
2.1.7. Soit ε > 0. Montrer qu'il existe une constante C > 0 indépendante de N telle que
ℙ(|(F_N)/(NlnN) − 1| > ε) ⩽ C/((lnN)^2)

2.2. Deuxième partie de l'exercice 2.

Pour k ∈ ℕ^∗ et i ∈ {1, …, N}, on définit l'évènement E_(k, i) = {i ∉ {X_1, …, X_k}}. Pour N ∈ ℕ^∗ et t ⩾ 0, on pose
k_N(t) = ⌈NlnN + tN⌉.
On rappelle la formule du crible : pour toute famille d'évènements (A_i)_(i ∈ ℕ^∗) et tout n ∈ ℕ, on a
ℙ(⋃_(i = 1)^n A_i) = ∑_(l = 1)^n((− 1)^(l + 1)∑_(1 ⩽ i_1 < i_2 < ⋯ < i_l ⩽ n)ℙ(⋂_(j = 1)^l A_(i_j))).
2.2.1. Soit k ∈ ℕ et soit l ∈ ℕ^∗. Pour 1 ⩽ i_1 < ⋯ < i_l ⩽ N, montrer l'égalité
ℙ(E_(k, i_1) ∩ ⋯ ∩ E_(k, i_l)) = (1 − l/N)^k.
2.2.2. Écrire l'évènement {F_N > k} comme une union d'évènements E_(k, i), puis, en utilisant la formule du crible, montrer l'égalité
ℙ(F_N > k) = ∑_(l = 1)^N(− 1)^(l + 1)(N/l)(1 − l/N)^k.
2.2.3. En étudiant la fonction x ↦ 1 − x − e^(− x), montrer que l'on a 1 − x ⩽ e^(− x) pour tout x ∈ ℝ.
2.2.4. Soit t ⩾ 0 et soit l ∈ ℕ. Si N ⩾ l, montrer l'inégalité
(N/l)(1 − l/N)^(k_N(t)) ⩽ 1/(l!)e^(llnN − k_N(t)l/N)
puis l'inégalité
(N/l)(1 − l/N)^(k_N(t)) ⩽ (e^(− tl))/(l!)
2.2.5. Soit t ⩾ 0 et soit l ∈ ℕ. Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que, pour tout N ⩾ l + 1, on a
|llnN − ∑_(i = N − l + 1)^N lni| ⩽ C/N et |llnN + k_N(t)ln(1 − l/N) + tl| ⩽ (ClnN)/N.
En déduire
lim_(N → ∞)(N/l)(1 − l/N)^(k_N(t)) = (e^(− tl))/(l!)
2.2.6. Montrer que la série ∑_(l = 1)^∞(− 1)^(l − 1)(e^(− tl))/(l!) est absolument convergente et calculer sa somme.
2.2.7. Soit t ⩾ 0. Pour ε > 0, montrer qu'il existe N_0 ∈ ℕ tel que, pour tout N ⩾ N_0, on a
|∑_(l = N_0)^N(− 1)^(l + 1)(N/l)(1 − l/N)^(k_N(t))| + ∑_(l = N_0)^∞|(− 1)^(l − 1)(e^(− tl))/(l!)| ⩽ ε.
En déduire qu'il existe N_1 ∈ ℕ tel que, pour tout N ⩾ N_1,
|ℙ(F_N > k_N(t)) − ∑_(l = 1)^∞(− 1)^(l − 1)(e^(− tl))/(l!)| ⩽ 2ε
Le premier exercice est issu de travaux expérimentaux sur des bactéries résistantes à l'ampicilline (A). Le second est en lien avec l'attachement de monomères sur des chaînes carbonées.

Pas de description pour le moment