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ENS Mathématiques BCPST 2009

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Banque
X-ENS
Année
2009
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2009BCPST MathsMaths 2009
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MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrice est interdit.

Ce sujet porte sur l'étude de modèles de Lotka-Volterra compétitifs, également appelés modèles logistiques, déterministes et aléatoires.
Il comporte une partie de préliminaires suivie de trois parties, la troisième étant découpée en deux sous-parties. Les préliminaires sont utilisés dans les parties I et III. La partie I est indépendante des parties II et III, excepté pour la dernière question de la partie III. La partie III fait usage de résultats de la partie II, dont les énoncés apparaissent explicitement dans le texte du sujet. Ainsi, à condition de lire attentivement la partie II ainsi que l'introduction de chaque partie, les candidats pourront traiter le sujet dans l'ordre qu'ils souhaitent. Les équations numérotées sont susceptibles d'être utilisées plus loin dans le texte du sujet.
Il est recommandé de lire l'ensemble de l'énoncé attentivement et patiemment. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté , celui des nombres réels positifs et celui des nombres réels strictement positifs . L'ensemble des entiers naturels est noté et l'ensemble des entiers naturels non nuls .
On utilisera la notation 𝟙 pour la fonction indicatrice de l'ensemble , qui vaut 1 si et 0 sinon.
On rappelle que la fonction exponentielle, qui sera noté indifféremment ou dans l'énoncé, satisfait la relation
où, par définition, et, par convention, . Le logarithme (népérien) est désigné par log.
La loi exponentielle de paramètre sera notée . On rappelle que sa densité est donnée par
𝟙
On emploiera les abréviations v.a. pour variable(s) aléatoire(s) et i.i.d. pour indépendantes et identiquement distribuées.
On utilisera la notation sup pour la borne supérieure d'un ensemble de réels. Si est une fonction à valeurs réelles, on écrira
Il s'agit de la borne supérieure des valeurs prises par la fonction sur l'intervalle . On désignera également par (resp. ) le plus petit (resp. le plus grand) des nombres réels .
Enfin, considérant un système d'équations différentielles de dimension , écrit sous forme vectorielle
où , on appellera équilibre de ce système tout point tel que . On admettra que, si est continue et si est une solution à ce système qui converge vers une limite finie quand , alors est nécessairement un équilibre du système.

Introduction

On va s'intéresser dans ce problème à des extensions du modèle classique introduit pour la première fois par Lotka en 1920 dans le cadre de la modélisation des réaction chimiques, puis par Volterra en 1926 dans le cadre de la dynamique de populations de proies et prédateurs. Dans ce sujet, l'interprétation de ces modèles sera formulée en terme de dynamiques de populations.
L'ensemble du problème traite des modèles de Lotka-Volterra compétitifs déterministes et aléatoires de dimension 1 et 2 . Du point de vue des dynamiques de populations, ces modèles servent à décrire la compétition entre deux espèces ou deux sous-populations (par exemple, les
individus de type mutant et de type sauvage d'une même espèce), ou bien entre individus d'une même espèce ou d'une même sous-population. Il peut être commode de penser à une compétition entre individus pour des ressources.
La première partie du problème traite du comportement en temps long des systèmes de Lotka-Volterra compétitifs déterministes en dimension 2. La deuxième partie définit et étudie certaines propriétés du processus de Poisson. Enfin, la troisième partie utilise ces résultats pour construire et étudier les processus de Lotka-Volterra compétitifs discrets aléatoires en grande population.

Préliminaires : Équation logistique en dimension 1

Cette partie traite de quelques propriétés simples de l'équation de Lotka-Volterra compétitive en dimension 1, aussi connue sous le nom d'équation logistique.
Soit et dans . On considère l'équation différentielle
avec condition initiale .
  1. Donner une interprétation des paramètres de cette équation.
  2. On cherche dans cette question à calculer .
    a) Que vaut lorsque ?
    b) En effectuant le changement de fonction inconnue , calculer lorsque .
    c) Montrer que pour tout .
  3. Calculer la limite de lorsque en fonction de . Vérifier que cette limite est un équilibre de l'équation différentielle (1).

Première partie : Systèmes de Lotka-Volterra compétitifs déterministes

Cette partie porte sur l'étude des systèmes de Lotka-Volterra compétitifs en dimension 2, définis comme suit.
Soit et dans . On considère le système d'équations différentielles de dimension 2
avec condition initiale . On notera et . On admettra que, pour toute condition initiale, ce système admet une solution unique définie pour tout temps.
On introduit les deux quantités suivantes :
On supposera que et .
On pose et .
  1. Donner une interprétation des paramètres du système (2).
  2. Dans le plan cartésien de coordonnées , on considère les deux droites et d'équations
a) On suppose dans cette question que et . Donner une représentation graphique des droites et . Ces droites s'intersectent-elles dans le quart de plan et ? Quelle est leur position relative dans ce quart de plan?
b) On suppose maintenant que . Montrer que le système (2) a 3 équilibres appartenant à .
c) On suppose enfin que . Montrer que le système (2) a 4 équilibres appartenant à .
3. a) Vérifier que
et donner une expression similaire pour . En déduire que et pour tout et que, si (respectivement, ), alors (respectivement ) pour tout .
b) On pose pour tout . On suppose que pour fixé. Quel est le signe de pour tout tel que ? En déduire que pour tout .
4. On suppose de nouveau dans cette question que et . On cherche à déterminer le comportement quand de la solution du système (2).
a) On considère les ensembles
Représenter graphiquement ces ensembles.
b) Pour , examiner le signe de et pour tel que . Faire de même lorsque , et lorsque .
En déduire que, s'il existe tel que , alors pour tout .
c) En déduire que, pour toute condition initiale converge vers une limite finie quand . On rappelle que est nécessairement un équilibre du système (2).
d) Soit . Quel est le signe de pour tel que ? En déduire que, si , alors .
e) Soit . Soit tel que et . Quel est le signe de ? Que peut-on en conclure sur ?
f) Donner la limite de quand en fonction de . Que signifie ce résultat en terme de coexistence des deux populations lorsque ?

Deuxième partie : Le processus de Poisson

Soit un ensemble fondamental (ou univers) donné muni d'une probabilité . Cette partie et la suivante traitent de fonctions aléatoires du temps, aussi appelées processus. Plus précisément, on dira que est un processus si . Afin d'alléger les notations, on notera au lieu de lorsque l'épreuve sera fixée. On utilisera parfois la notation ( ) pour désigner le processus .
On dira que est un processus de Poisson s'il existe une suite de v.a. i.i.d. de loi telle que pour tout et , et
𝟙
où
La suite croissante est appelée suite des instants de sauts du processus de Poisson.
Soit deux processus de Poisson et obtenus respectivement par l'expression (4) à partir des suites de v.a. exponentielles et . On dira que et sont indépendants si les suites de v.a. et sont indépendantes. On dira également que est indépendant d'une v.a. donnée si la suite est indépendante de .
Dans toute cette partie, on considère un processus de Poisson ( ) fixé, construit à partir d'une suite de v.a. i.i.d. de loi donnée.
  1. a) Montrer que et que est une application (aléatoire) croissante. Que vaut pour ? Justifier le nom "instants de sauts" pour la suite . Montrer que ne peut pas sauter de 2 ou plus à un instant de saut donné. Donner une représentation graphique de la fonction en indiquant les v.a. et .
    b) Montrer que, pour tout , la loi de a pour densité
𝟙
c) Montrer que quand , puis que pour tout .
d) Montrer que, si ne tend pas vers lorsque , alors il existe tel que pour tout . En déduire que et pour tout .
2. Le but de cette question est de montrer que suit la loi de Poisson de paramètre .
a) Quelle est la densité jointe de ?
b) Montrer que .
c) Conclure.
3. Le but de cette question est de montrer que, pour fixé, est proche de avec grande probabilité.
a) Soit la fonction . Montrer que pour tout .
Montrer également que pour tout .
b) Calculer pour tout et .
c) Soit fixé. En déduire que, pour tout et ,
d) En calculant la valeur optimale de dans l'inégalité précédente, montrer que
e) En utilisant un argument similaire avec , montrer que, pour tout ,
f) En déduire que, pour tout ,
g) Montrer que, si ,
On rappelle que .
4. Le but de cette question est de montrer que n'est pas trop éloigné de sur de grands intervalles de temps avec grande probabilité. Soit et fixés.
a) Soit et . Montrer que, si pour tout , alors pour tout .
b) Soit et le plus petit entier supérieur à . Déduire de la question précédente que
c) Montrer que pour assez grand, puis que
d) Montrer que, pour tout ,

Troisième partie : Processus logistique

Le but de cette partie est de définir, construire et démontrer quelques propriétés du processus de Lotka-Volterra compétitif en dimension 1, aussi appelé processus logistique, qui est un équivalent aléatoire de la solution de l'équation différentielle (1).

A Construction du processus logistique

Soient des constantes dans fixées. Soit une v.a. à valeurs dans . Soient et deux processus de Poisson indépendants et indépendants de la v.a. . On note et les suites de v.a. i.i.d. associées à et , respectivement. On note également et les suites d'instants de sauts associées à et , respectivement.
On considère un processus satisfaisant pour tout l'équation
On admettra que cette équation admet une unique solution définie pour tout et telle que les intégrales apparaissant dans (5) sont toutes finies.
  1. a) Que vaut ? Montrer que pour tout .
    b) Soient et tels que .
On considère les fonctions et .
Soient et dans tels que et . Soit enfin tel que et .
Que vaut ? Exprimer et en fonction de et .
En déduire que pour tout .
c) Montrer que pour tout .
2. Soit et une v.a. de loi . Quelle est la loi de ? son espérance? sa variance? sa fonction de répartition?
3. Soit deux v.a. et indépendantes de loi et , respectivement. Calculer pour . Quelle est la loi de ? Calculer .
4. a) Soit . Pour tout tel que , on note le temps tel que pour tout et ou . Montrer que
En répétant cette construction pour tout et en posant si , on définit ainsi une v.a. à valeurs dans , appelée premier instant de saut de .
b) Soit tel que . Calculer la fonction de répartition de conditionnellement à . Calculer également et .
c) Pour tout , on définit
On admettra qu'il existe deux processus de Poisson et indépendants et indépendants de tels que et lorsque . Montrer que
d) Expliquer comment le processus peut être construit récursivement en définissant une suite d'instants de sauts croissante et à valeurs dans .
e) Soit , resp. une suite de v.a. i.i.d. de loi (resp. , resp. ). Soit . Quelles sont les lois de
Si l'on suppose que le processus représente le nombre d'individus d'une population en fonction du temps, expliquer pourquoi les paramètres et peuvent être appelés taux de naissance, mort et compétition individuels.

B Limite de grande population

On introduit maintenant un paramètre et la suite de processus logistiques obtenue en remplaçant par . Plus précisément, soit une suite de v.a. à valeurs dans indépendante de et . Pour tout , on définit le processus par
On définit également .
On note et on suppose que . On fixe et on appelle la solution de l'équation différentielle logistique (1) telle que . On rappelle que pour tout , où .
On suppose qu'il existe une constante telle que pour tout et que
Soit fixé. Le but de cette sous-partie est de démontrer que, quand converge vers pour en un sens précisé plus loin.
5. Soit une fonction continue par morceaux de dans . Soit . On suppose qu'il existe deux constantes et telles que
Soit . Montrer que pour tout , puis que
  1. On introduit les processus et . Montrer que
où
Montrer également que
  1. En déduire que, pour tout ,
  1. Soit le premier instant où où et soit . En déduire que, pour tout ,
Déduire de la partie II que
  1. Montrer que pour tout ,
En déduire que, pour tout ,
ù
  1. Conclure que, pour tout .
Justifier le nom "limite de grande population" donné à cette limite.
11. On suppose que . Montrer que, pour tout ,
  1. a) Donner les équations permettant de définir un couple de processus ( ) généralisant le processus logistique (5) à la dimension 2 . On utilisera des paramètres similaires à ceux apparaissant dans l'équation (2).
    b) Comment modifier ces équations pour construire des processus ( ) correspondant aux processus ? Énoncer un résultat similaire à celui de la question 10. Expliquer brièvement comment l'étude du processus permet d'adapter la méthode précédente pour démontrer ce résultat.
    c) Dans le cas où et , où et sont définis dans (3), énoncer un résultat similaire à celui de la question 11. portant sur les processus . Quelle information donne ce résultat sur la compétition entre les deux populations?

Fin du problème.

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