J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques BCPST 2010

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéductionEquations différentielles
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2010
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2010BCPST MathsMaths 2010
2025_08_29_eb4431cb4140fd42d033g

MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrice est interdit.

Ce sujet porte sur l'émergence de formes, dites "structures de Turing", utilisées en morphogénèse (développement de la forme des organismes).
Les structures de Turing sont le résultat d'une instabilité dans un système de réactiondiffusion. Les systèmes de réaction-diffusion décrivent l'évolution de mélanges d'espèces chimiques soumises à des réactions chimiques et à de la diffusion. La première partie de ce sujet est consacrée à l'étude de la diffusion. La seconde partie étudie la stabilité des équilibres d'une équation de réaction-diffusion. La troisième partie établit un résultat pour des systèmes d'équations différentielles. La quatrième partie étudie la stabilité des équilibres d'un système d'équations de réaction-diffusion.
Il est recommandé de parcourir le sujet dans son intégralité avant de commencer. Toutes les équations numérotées sont susceptibles d'être utilisées à un stade ultérieur du sujet. Enfin, il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté , celui des nombres réels non nuls est noté , l'ensemble des vecteurs de dimension deux à cœfficients réels est noté et celui des matrices carrées de dimension deux à cœefficients réels est noté .
De même, désigne l'ensemble des nombres complexes et celui des vecteurs de dimension deux à cœefficients complexes.
Pour un vecteur désigne la norme euclidienne de : .
Pour deux vecteurs et , on notera la matrice dont la première colonne est et la deuxième colonne est .
Pour une fonction de deux variables désigne la dérivée partielle de par rapport à désigne sa dérivée partielle par rapport à , et désigne sa dérivée partielle seconde par rapport à .
Pour une fonction d'une seule variable désigne la dérivée de par rapport à .
Pour désigne l'ensemble des fonctions définies sur dont la dérivée seconde existe et est continue.
Enfin, on notera l'ensemble des fonctions continues sur , telles que existe et soit continue sur et telles que , .

1 La diffusion

L'équation de la diffusion sur le domaine monodimentionnel est :
où
  • est la quantité qui diffuse,
  • est le temps,
  • est l'espace,
  • est un cœefficient décrivant la vitesse de diffusion.
Cette équation est complétée par des conditions aux bords :
et par une condition initiale donnée. On admettra que si , les solutions de (1.1) avec conditions aux bords (1.2) sont dans l'ensemble défini dans la partie Notations.
La notion fondamentale pour l'étude de l'émergence de formes est celle de fonction propre : On dira que la fonction est une fonction propre de sur avec conditions aux bords (1.2) si n'est pas identiquement nulle, s'il existe tel que et si vérifie les conditions (1.2). On dit alors que est la valeur propre associée à .
  1. Vérifier que les pour sont des fonctions propres de sur avec conditions aux bords (1.2) et calculer les valeurs propres associées.
  2. On suppose que la condition initiale de l'équation (1.1) est une de ces fonctions propres, avec . On cherche alors une solution de (1.1) avec conditions aux bords (1.2) sous la forme . Déterminer l'équation différentielle vérifiée par et calculer . Pour tout , calculer .
  3. On admettra le résultat suivant :
Si est continue sur et telle que soit continue sur , alors est dérivable sur et .
Montrer l'unicité dans des solutions de l'équation (1.1) avec conditions aux bords (1.2), pour une condition initiale donnée. (Pour cela, on supposera qu'il existe dans deux solutions et de (1.1), (1.2) avec cette condition initiale et on étudiera .
4. On suppose que la condition initiale de (1.1) est une combinaison linéaire des premières fonctions propres de la question 1 , avec :
où pour .
Montrer que l'équation (1.1) avec conditions aux bords (1.2) et condition initiale (1.3) admet une solution que l'on calculera. Calculer pour tout .
5. On dit que la diffusion "lisse" les conditions initiales, et lisse plus vite les hautes fréquences. Expliquer brièvement pourquoi cette affirmation est illustrée par le résultat précédent.

2 Une équation de réaction-diffusion

On considère maintenant l'équation de réaction-diffusion sur :
où est une fonction décrivant le bilan entre la création et la destruction de dues aux réactions chimiques (ces réactions sont supposées catalysées par et c'est la raison pour laquelle dépend de ). Les autres termes de l'équation (2.4) sont définis comme pour l'équation (1.1). L'équation (2.4) est complétée par les conditions aux bords (1.2) et par une condition initiale. On admettra que si la condition initiale , les solutions de (2.4), (1.2), lorsqu'elles existent pour tout , sont dans l'ensemble défini dans la partie Notations.
  • On dit que est un équilibre de la réaction si .
  • On dira qu'un équilibre de la réaction est asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme pour l'équation (2.4) si, lorsque la condition initiale est , la solution de (2.4) vérifie pour tout .
  1. On suppose pour commencer que . Soit un équilibre de la réaction. On suppose que est dérivable en . Soit fixé.
    (a) Etude linéaire :
On suppose que la condition initiale de l'équation (2.4) vérifie où la perturbation est supposée petite. On pose . Expliquer brièvement pourquoi, tant que est assez petit, sa dynamique peut être décrite de façon approchée par
avec une condition initiale que l'on précisera. Calculer alors , solution de l'équation (2.5) avec cette condition initiale. Donner la condition sur pour que soit asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations suffisamment petites, d'après l'équation (2.5).
(b) Etude non-linéaire :
On suppose que .
i. Montrer qu'il existe tel que ,
ii. On suppose que la condition initiale de l'équation (2.4) vérifie .
Soit le premier instant (fini ou infini) tel que ou . En supposant fini et en étudiant les signes de et , obtenir une contradiction.
iii. En déduire que , où . (On pourra utiliser le changement de variable . Conclure sur la stabilité asymptotique de .
2. On suppose maintenant que . Soit un équilibre de la réaction tel que existe et .
(a) Etude linéaire :
Montrer brièvement que tant que est assez petit, son évolution peut être décrite de façon approchée par
Montrer que est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations de la forme avec et suffisamment petit, d'après l'équation (2.6).
(b) Etude non-linéaire :
On suppose que la condition initiale de (2.4) vérifie pour tout où est défini à la question 1 b partie 2 .
Soit le premier instant (fini ou infini) tel que ou . Montrer que est infini.
En déduire que , où .

3 Systèmes d'équations différentielles

Le but de cette partie est d'étudier le système d'équations différentielles linéaires
où est un vecteur de et une matrice carrée de , et d'étudier les conditions sous lesquelles .
  1. On considère d'abord le cas où a deux valeurs propres réelles distinctes et . Soient un vecteur propre de associé à et un vecteur propre de associé à . On considère la matrice .
    (a) Montrer que est inversible et que .
    (b) On pose où est solution du système (3.7) avec condition initiale donnée. Montrer que est solution d'un système d'équations différentielles que l'on précisera et calculer .
    (c) Montrer que
    et
    ,
    où et sont définis à la question précédente.
  2. On considère ensuite le cas où a une seule valeur propre , réelle, et de multiplicité 2. Soit un vecteur propre de associé à .
    (a) Montrer qu'on peut construire une matrice , inversible, telle que avec et . Montrer qu'alors on a forcément (on montrera que est valeur propre de ).
    (b) Déduire de la question précédente que .
  3. On considère enfin le cas où a deux valeurs propres complexes conjuguées et où et . Soit un vecteur propre de associé à . est un vecteur de où et .
    (a) Montrer que et sont linéairement indépendants.
    (b) On pose . Montrer que .
    (c) On pose où est solution du système (3.7) avec condition initiale donnée. Soient et les coordonnées polaires de :
    .
    En calculant et en fonction des coordonnées de , montrer que et .
    En déduire que .
  4. Déduire des questions précédentes que pour toute matrice , la solution du système (3.7) avec condition initiale donnée vérifie

4 Système de réaction-diffusion

Le but de cette partie est de montrer que pour certains systèmes de réaction-diffusion, la diffusion peut déstabiliser l'équilibre de la réaction. Les perturbations de la forme de certaines fonctions propres de sont alors amplifiées. Ces perturbations, une fois amplifiées, sont appelées structures de Turing.
On considère le système de réaction-diffusion sur :
où et sont les coefficients de diffusion de et de respectivement.
Ce système est complété par les conditions aux bords :
et par des conditions initiales et données pour .
  • De façon analogue à la partie 2 , on dit que est un équilibre de la réaction du système (4.8) si
  • On dira qu'un équilibre de la réaction de (4.8) est asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme pour (4.8) si, lorsque la condition initiale est et , la solution de (4.8) vérifie et pour tout .
  1. Déterminer les équilibres de la réaction de (4.8).
Dans toute la suite, on supposera que la condition initiale de (4.8) est , où est un équilibre de la réaction de (4.8) et sont des petites perturbations, et on posera et .
(a) On suppose pour commencer que .
Montrer que tant que et sont assez petits, leur évolution peut être décrite de façon approchée par le système
où .
Montrer que est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations suffisamment petites, d'après le système (4.9).
2. On suppose maintenant que et . Déterminer le système linéaire décrivant de façon approchée l'évolution de et si ces derniers sont suffisamment petits.
Montrer que d'après ce système, si , l'équilibre de la réaction de (4.8) est asymptotiquement stable par rapport à toutes les perturbations de la forme , avec et et suffisamment petits.
Montrer que d'après ce système, si , il existe pour lequel l'équilibre de la réaction de (4.8) n'est pas asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme , même avec et petits. Déterminer .
3. Refaire l'étude de la question précédente en supposant que le système (4.8) est posé sur au lieu de . Lorsque , peut-on encore trouver pour lequel l'équilibre de la réaction de (4.8) n'est pas asymptotiquement stable par rapport aux perturbations de la forme ? Refaire la même étude sur [0, ].
Fin de l'épreuve.
ENS Mathématiques BCPST 2010 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa