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ENS Mathématiques BCPST 2016

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X-ENS
Année
2016
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2016BCPST MathsMaths 2016
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2016

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et à l'ENPC
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

L'épreuve est composée de quatre parties. Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. On pourra admettre les résultats des parties 1 et 3 pour traiter la partie 4 .
Dans ce qui suit, on utilisera les notations suivantes.
  • On note l'ensemble des nombres réels.
  • Une fonction continue est à support compact s'il existe , avec , tels que si ou .
  • Soit . On note la Gaussienne de paramètre , c'est-à-dire la fonction de dans , définie pour par .
  • Pour deux fonctions continues telles que et convergent, on admettra que pour tout , l'intégrale converge. On notera alors la convolution de par , définie pour tout par
On admettra de plus que pour tous et .

1. Fonctions gaussiennes

(1.1) Soient une fonction continue de dans à support compact et . Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout .
(1.2) Soient , et la fonction définie sur par . En étudiant le signe de sur , montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,
En déduire que pour tout . En utilisant un argument similaire, montrer qu'il existe une constante telle que pour tout .
(1.3) Soient et . Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,
(1.4) Soit . Montrer que les intégrales et sont convergentes, et calculer leurs valeurs.
(1.5) Pour et , calculer

2. Dynamique D'un système D'Équations différentielles

Soit . On considère des fonctions continues et , dérivables sur , solutions du système suivant:
On suppose de plus que et . Le but de cette partie est d'étudier le comportement de et lorsque est grand.
(2.1) Calculer les constantes et telles que la fonction définie pour par vérifie
(2.2) Soit . En dérivant , trouver une solution explicite de l'équation telle que .
On admet que cette solution explicite est l'unique solution de l'équation différentielle telle que .
(2.3) En déduire une formule explicite de pour .
Montrer que converge vers une certaine constante lorsque .
Vérifier que est l'unique solution positive de l'équation
(2.4) Calculer la constante telle que
(2.5) Pour , on considère la solution de l'équation différentielle
de condition initiale . Montrer qu'il existe (que l'on explicitera), tel que
(2.6) Soit . Montrer qu'il existe tel que pour tout ,
(2.7) Déterminer la valeur du paramètre pour laquelle .
Quelle est la limite de lorsque , dans les cas où et ?

3. DÉRIVATION ET INTÉGRATION

Soit une fonction continue, telle que soit deux fois dérivable en la variable . Soit aussi . On suppose qu'il existe et tels que pour tout ,
(3.1) Soient et tel que . Grâce à la formule des accroissements finis, montrer que
(3.2) Soient et tel que . Montrer que
(3.3) Soient et tel que . Montrer que
et
(3.4) Soient et tel que . Montrer que
(3.5) Soient et tel que . Montrer que
(3.6) Soit tel que . Montrer que
(3.7) Montrer que la fonction définie sur est dérivable en , et

4. Étude d'une ÉQUATION INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE

Soit une fonction continue à support compact, positive. On suppose que et . Soit aussi . On s'intéresse à l'équation suivante:
Soit une fonction continue positive, vérifiant l'équation ci-dessus pour tout , deux fois dérivable en la variable sur , et telle que pour tout ,
On suppose que est une fonction à support compact, et que pour tout . Le but de cette partie est d'obtenir des équations différentielles sur les fonctions et définies pour par
(4.1) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,
(4.2) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,
(4.3) Montrer qu'il existe une constante telle que la fonction définie pour tout par
vérifie pour tout , et pour tout , .
On admet que cette inégalité implique que pour tout .
(4.4) Montrer que les intégrales et sont convergentes pour tout .
(4.5) On admet la formule
Montrer que pour tout ,
(4.6) On admet la formule
Montrer que pour tout ,
L'équation étudiée dans la partie 4 est inspirée par un modèle décrivant l'effet d'échanges de P-glycoprotéines sur une population de cellules cancéreuses mutantes . Nous montrons que l'étude de cette équation peut se faire au moyen d'un système de deux équations différentielles. La partie 2 décrit ainsi la dynamique la taille de la population mutante.
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