pour , on définit comme le plus petit entier supérieur ou égal à , c'est-à-dire ;
on note l'ensemble des entiers naturels non nuls;
sauf mention contraire, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Exercice 1

Soit

un nombre réel fixé. On considère l'équation différentielle

où

est une fonction de classe

satisfaisant

, ainsi qu'une fonction continue

, satisfaisant

, de classe

sur l'intervalle

, vérifiant

1.1. Déterminer

et calculer l'intégrale

.
1.2. Trouver une primitive de la fonction

sur l'intervalle

. Étant donnée une fonction

de classe

, en déduire une primitive de la fonction

1.3. En remarquant que

et en utilisant la question précédente, exprimer

en fonction de

et de

On définit

par l'égalité

. Donner une formule explicite pour

en fonction de

.
1.4. Montrer que la fonction

est monotone sur

et décrire son image

.
1.5. On considère une fonction continue

, dérivable sur

, qui vérifie

ainsi que les équations différentielles

Donner une formule explicite pour

pour

, en déduire

, puis une formule explicite pour

pour

On cherche à déterminer

tels que

1.6. Montrer que l'hypothèse

implique

1.7. Montrer que les hypothèses (

) impliquent l'inégalité

.
1.8. Sous les hypothèses

, écrire, à l'aide des questions

et 1.7 , des formules explicites pour

, puis, grâce à

, une formule pour

.
1.9. En déduire des valeurs explicites pour

puis pour

. Expliciter

en utilisant ces valeurs et la question 1.3.
1.10. Vérifier que les valeurs

calculées à la question 1.9 satisfont effectivement les hypothèses

Exercice 2

Cet exercice est composé de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Soit

une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, de loi uniforme sur

. On définit récursivement les variables aléatoires

par

puis, pour

2.1. Première partie de l'exercice 2.

2.1.1. Soit

. On considère l'évènement suivant :

Identifier

, ainsi que

.
2.1.2. Montrer que la famille

est strictement croissante et que, pour tout

, on a

.
2.1.3. Soit

et soit

. On définit une variable aléatoire

par

Identifier la loi de

. Si

, montrer que les variables aléatoires

sont indépendantes.
2.1.4. Pour

, décrire la loi de

, expliciter son espérance et sa variance. Montrer l'indépendance des variables aléatoires

pour tous les

tels que

.
2.1.5. Pour tout

, montrer l'inégalité

et en déduire que

, où

est une constante indépendante de

.
2.1.6. Calculer l'espérance et la variance de

.
2.1.7. Soit

. Montrer qu'il existe une constante

indépendante de

telle que

2.2. Deuxième partie de l'exercice 2.

Pour

, on définit l'évènement

. Pour

, on pose

On rappelle la formule du crible : pour toute famille d'évènements

et tout

, on a

2.2.1. Soit

et soit

. Pour

, montrer l'égalité

2.2.2. Écrire l'évènement

comme une union d'évènements

, puis, en utilisant la formule du crible, montrer l'égalité

2.2.3. En étudiant la fonction

, montrer que l'on a

pour tout

.
2.2.4. Soit

et soit

. Si

, montrer l'inégalité

puis l'inégalité

2.2.5. Soit

et soit

. Montrer qu'il existe une constante

telle que, pour tout

, on a

En déduire

2.2.6. Montrer que la série

est absolument convergente et calculer sa somme.
2.2.7. Soit

. Pour

, montrer qu'il existe

tel que, pour tout

, on a

En déduire qu'il existe

tel que, pour tout

Le premier exercice est issu de travaux expérimentaux sur des bactéries résistantes à l'ampicilline (A). Le second est en lien avec l'attachement de monomères sur des chaînes carbonées.