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ENS Mathématiques BCPST 2020

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X-ENS
Année
2020
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2020BCPST MathsMaths 2020
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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION - SESSION 2020
FILIÈRE BCPST
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Lyon, Paris, Paris-Saclay et à l'ENPC
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend cinq pages numérotées de 1 à 5 .

Début de l'épreuve

Une marche aléatoire est une suite de variables aléatoires obtenues en sommant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées.
Dans la première partie, nous étudions une marche aléatoire simple et exhibons un lien entre l'évolution temporelle de sa loi, et une certaine équation aux dérivées partielles.
Cela motive l'étude, dans la deuxième partie, d'une équation aux dérivées partielles un peu plus générale, avec cette fois des conditions au bord, censées modéliser l'absorption de la marche aléatoire.
Enfin, dans les troisième et quatrième parties, nous revenons au discret en nous intéressant cette fois à une matrice, et à ses valeurs propres et vecteurs propres.
Les trois premières parties sont indépendantes. Les parties II et III ne font aucune référence à des marches aléatoires ou à des probabilités.

Notations et rappels

On utilise les notations habituelles , mais aussi . Par exemple désigne l'ensemble des entiers relatifs non nuls, et l'ensemble des réels positifs ou nuls. Pour entiers naturels, on note l'ensemble des entiers naturels compris dans l'intervalle . Pour réel, on note sa partie entière, définie comme étant l'unique entier vérifiant .
Pour , on note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels. On identifie un vecteur de taille avec la matrice de taille . On dit qu'une suite de matrices dans converge vers une matrice si pour tout dans , la suite des coefficients converge vers le coefficient . On rappelle par ailleurs qu'un vecteur non nul est un vecteur propre de si il existe un réel tel que . Ce réel est alors appelé valeur propre associée au vecteur propre .
On rappelle qu'une application de dans est nulle si pour tout dans , on a , et non nulle si il existe dans tel que .
Enfin, toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur un même espace de probabilité .

Partie I

On considère une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans , et telles que, pour tout , on ait
On note également la marche aléatoire associée, définie par , et, pour ,
Enfin, pour et , on note
  1. (a) Pour , montrer que les variables sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre . En déduire que la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et .
    (b) Pour , on note
Montrer que pour tout et , on a :
(c) Montrer que la suite à double indices vérifie ainsi que pour tout , et
  1. Pour , on définit la fonction de dans par
et on s'intéresse au comportement de cette fonction lorsque tend vers l'infini.
(a) Montrer que pour fixé, on a
(b) On admet que dans la question précédente on peut remplacer par une suite ( ) qui tend vers , et encore obtenir
Montrer que pour , on a tend vers quand tend vers l'infini, où est la fonction définie par
  1. Montrer que, pour , on peut écrire , où est la fonction de dans définie par
  1. Montrer que vérifie, pour et ,

Partie II

Dans cette partie, on fixe , et on s'intéresse aux fonctions de dans , de classe , et solutions de l'équation aux dérivées partielles suivante :
avec conditions au bord
On cherche les solutions non nulles qui peuvent se décomposer en un produit de deux fonctions d'une seule variable.
Soient donc et deux fonctions de classe . On suppose que la fonction définie par est non nulle et solution de (1) et (2).
  1. Vérifier que les fonctions et sont alors non nulles.
  2. Montrer qu'il existe un réel tel que la fonction vérifie l'équation différentielle
puis résoudre cette équation différentielle.
3. Montrer que pour cette même valeur de , la fonction vérifie l'équation différentielle
avec conditions au bord .
4. On suppose dans cette question .
(a) Montrer qu'il existe deux réels et tels que
pour des réels et que l'on précisera.
(b) Montrer que et sont nécessairement nuls, et obtenir une contradiction.
5. En procédant comme dans la question précédente, obtenir une contradiction si l'on suppose .
6. On suppose dans cette question .
(a) Montrer qu'il existe deux réels et tels que
où .
(b) Montrer que l'on a nécessairement , et .
7. Déterminer tous les couples ( ) de fonctions tels que la fonction soit non nulle et solution de (1) et (2).

Partie III

Dans cette partie, on se fixe un entier supérieur ou égal à 2 , et et des réels strictement positifs. On s'intéresse à la matrice de définie par
  1. Dans cette question seulement, on suppose . On a alors . Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de .
  2. Pour et , on note le vecteur défini par
et le vecteur défini par
Pour et , montrer que l'on a :
En déduire que pour , le vecteur est un vecteur propre, et déterminer la valeur propre associée. On notera ce vecteur propre, et la valeur propre associée.
3. Soient et des vecteurs propres d'une matrice , associés aux valeurs propres supposées distinctes et ordonnées par ordre décroissant : .
(a) Sous l'hypothèse supplémentaire , montrer que la famille est libre. On pourra considérer, pour combinaison linéaire de ces vecteurs, le comportement de lorsque tend vers l'infini.
(b) Montrer que le résultat reste vrai sans l'hypothèse .
(c) En déduire que les vecteurs forment une base de .
4. Pour , on note le vecteur défini par
de sorte que est la base canonique de . Pour , on note les coefficients de dans la base . Montrer que la suite de matrices converge vers la matrice définie par
  1. Montrer que les coefficients sont tous strictement positifs.

Partie IV

Dans cette partie, on se fixe un entier supérieur ou égal à 2 , et et des réels strictement positifs et de somme 1 . On s'intéresse à la matrice de définie par
Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de , et expliquer les liens que l'on peut voir entre cette matrice et les trois premières parties.

Fin de l'épreuve

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