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ENS Mathématiques BCPST 2021

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X-ENS
Année
2021
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2021BCPST MathsMaths 2021
2025_08_29_2893588bebe7abea1126g
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES
CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2021
FILIÈRE BCPST
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Épreuve commune aux ENS de Lyon, Paris, Paris-Saclay et à l'ENPC
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le sujet comprend 5 pages numérotées de 1 à 5 .

Début de l'épreuve

L'épreuve est composée de quatre parties. Les trois premières parties peuvent être traitées de manière indépendante. Dans chaque partie, on pourra admettre le résultat d'une question pour continuer le sujet.
Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Partie I

Le but de cette partie est de donner une approximation de l'intégrale d'une fonction de classe sur un intervalle fini , où et sont deux réels tels que . On commence par s'intéresser au cas de polynômes de degré 2 .
  1. Dans cette question, on étudie les polynômes suivants:
1.a. Donner les racines de ces trois polynômes et les valeurs de , pour .
1.b. Montrer que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 et pour tout , on a
En déduire que
Dans la suite du problème, on choisit deux réels et dans tels que .
2. On considère un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 . En utilisant le changement de variable , calculer
  1. Soit une fonction de sur . Montrer qu'il existe une constante telle que pour tous ,
Dans la fin de cette partie, on fixe une fonction de classe sur .
4. Dans cette question, on se propose d'étudier la différence
Pour cela, on pose, pour tout ,
4.a. Justifier que est une fonction de classe sur et calculer ses dérivées jusqu'à l'ordre 3.
4.b. Montrer qu'il existe une constante indépendante de et telle que, pour tout ,
4.c. En déduire que pour tout .
4.d. En procédant de même, établir que
  1. On fixe entier strictement positif. Pour tout , on pose
Montrer qu'il existe une constante , indépendante de , telle que

Partie II

Dans cette partie, on considère une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que où est une variable aléatoire à valeurs réelles, de moyenne , de variance finie . De plus, pour tout entier , et pour tout réel , on suppose

Questions préliminaires :

a. Donner la moyenne et la variance de la variable aléatoire . Puis démontrer que pour tout ,
b. Dans cette question uniquement, on suppose que . Soit un entier strictement positif, montrer que la variable suit une loi binomiale de paramètres et . En déduire que
On revient maintenant au cas général.
  1. On considère deux entiers strictement positifs et et deux réels strictement positifs et .
    1.a. Justifier que les deux variables aléatoires et sont indépendantes.
    1.b. Puis établir que
Pour la suite de cette partie, on admettra le résultat suivant : pour tous entiers strictement positifs, et et ont la même loi et donc la même fonction de répartition.
2. Soit . On pose pour tout ,
Prouver que pour tout et tout ,
Dans toute la suite de cette partie, on admet qu'il existe tel que
  1. Montrer que, pour tout . On pose alors pour tout , en déduire que pour tout et tout ,
  1. Soit un entier , on pose . Montrer que, pour tout entier , on a
(Indication : on pourra utiliser la division euclidienne de par .)
5. Pour tout entier , on pose . Montrer que la suite converge vers une limite plus petite que .
6. Déduire des questions précédentes que la suite converge. (Indication : on pourra s'intéresser à inf .)
7. Déduire des questions précédentes que la suite de terme général
admet une limite lorsque tend vers . Puis comparez ce résultat avec celui des questions préliminaires.

Partie III

Dans cette partie, on considère une variable à valeurs réelles de moyenne finie et pour laquelle il existe deux réels tels que l'évènement est certain.
  1. Soient et deux réels et . Montrer que
  1. En remarquant que , en déduire que, pour tout réel ,
  1. Le but de cette question est de montrer que, pour tout réel ,
Pour cela, on introduit, pour tout ,
3.a. Vérifier que est de classe sur et donner ses dérivées d'ordres 1 et 2 .
3.b. Montrer que, pour tout et en déduire le résultat (1) pour tout .
3.c. Conclure.
4. Soit un entier strictement positif. Pour la dernière question de cette partie, on introduit un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi que .
4.a. Soit , en utilisant le résultat de la question précédente, montrer que
4.b. On veut finalement définir un intervalle de confiance. Soit , expliciter un réel , dépendant des paramètres et de , tel que

Partie IV

Comparer les résultats des parties II et III puis les résultats des parties I et III.
Fin de l'épreuve
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