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ENS Mathématiques PC 2001

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéductionTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2001
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2001PC MathsMaths 2001
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SESSION 2001

Filière Physique - Chimie

MATHÉMATIQUES

(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans documents d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement : Les labels , avec indiquent les questions, certaines d'entre elles étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à , avec .

Notations

On désigne par R le corps des nombres réels. Le problème concerne l'étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l'ensemble est noté . La matrice identité est notée . On notera le groupe orthogonal et l'ensemble des matrices symétriques réelles à lignes. Rappelons que est l'ensemble des matrices de qui satisfont ou, ce qui revient au même, . Si , on note le polynôme caractéristique de , défini par .
On identifie canoniquement les vecteurs de aux matrices colonnes à lignes. En particulier, est identifié à R .
On dit que , appartenant à , est une matrice de permutation s'il existe une permutation de l'ensemble , telle que si sinon.
Q1 Soit une matrice diagonale, un vecteur et un nombre. On forme une matrice par
  1. On note les coefficients diagonaux de . Montrer que
  1. On suppose que et que pour tout . Etudier les variations de la fonction . En déduire que les valeurs propres de sont réelles et que, rangées dans l'ordre croissant, elles satisfont
On admettra que, dans le cas général (les pouvant s'annuler, et ), on a encore
Q2 Réciproquement, soit comme ci-dessus avec . On se donne des nombres réels , satisfaisant
  1. Montrer que la fraction rationnelle
n'a que des pôles simples, qu'on identifiera.
2. En déduire qu'il existe des nombres tels que
ù
  1. On commence par le cas simple où . Montrer que chaque est négatif ou nul.
  2. Dans le cas général, montrer qu'on peut choisir les négatifs ou nuls.
  3. En déduire qu'il existe un vecteur tel que les nombres soient les valeurs propres de la matrice définie à la question Q 1 .
Q3 Soit et ses valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant.
  1. Soit un vecteur et un nombre. Soit les valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant, de
Montrer que
  1. Réciproquement, soit des nombres réels satisfaisant
Montrer qu'il existe un vecteur et un nombre , tels que soient les valeurs propres de la matrice définie au 1.).

Spectre et diagonale des matrices symétriques

Pour désigne l'ensemble des suites croissantes de nombres réels. Si et , on note . Si , on dit que majore , et on note , si
  • , pour tout ,
  • .
Q4 Montrer que est une relation d'ordre sur .
Tournez la page S.V.P.
Q5 Soit et . Montrer que , où .
Q6 Si appartient à , on note diag la liste de ses coefficients diagonaux, rangés dans l'ordre croissant, et celle de ses valeurs propres, rangées dans l'ordre croissant.
Montrer que . On pourra faire une récurrence sur .
Q7 Soit et , vérifiant . Notons le sous-ensemble de formé des suites qui vérifient
  • ,
  • pour tout .
  1. Montrer que est un compact non vide de . En déduire qu'il existe un dans tel que pour tout .
  2. On définit un entier de la façon suivante : si pour tout compris entre 1 et , on pose . Sinon, est le plus grand entier entre 1 et tel que .
    (a) Montrer que pour tout .
    (b) En déduire que .
    (c) Conclure qu'il existe telle que et , où .
Q8 Montrer, par récurrence sur , que si satisfont , alors il existe telle que et .

Matrices doublement stochastiques

On dit qu'une matrice est doublement stochastique si
  • ses coefficients sont positifs ou nuls,
  • pour tout ,
  • pour tout .
On note le vecteur de dont toutes les composantes valent un. On désigne par l'ensemble des matrices doublement stochastiques.
Si , on désigne par la suite des coordonnées de , rangées dans l'ordre croissant ; on a . Si , on convient de noter encore lorsque .
Q9 Soit .
  1. Montrer que est un vecteur propre de et de .
  2. Soit une matrice de permutation. Montrer que et appartiennent à .
Q10 Soit . On suppose que pour tout . Montrer que .
Q11 Soit , satisfaisant
  1. Montrer d'abord que .
  2. Choisissant dans l'intervalle , montrer alors que .
  3. En déduire que si satisfont
alors .
Q12 On munit de la norme
Soit .
  1. Montrer que , pour tout .
  2. Appliquer cette inégalité et la question Q 11.3 pour montrer que pour tout .
Q13 1. Soit . On définit une matrice par . Montrer que .
2. Soit deux vecteurs tels que . Utilisant le 1.) et la question Q 8 , montrer qu'il existe une matrice telle que .
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