ENS Mathématiques PC 2003

SESSION 2003
Filière PC
MATHEMATIQUES

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Les définitions importantes sont signalées par un signe . Les résultats admis sont encadrés par des - Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Pour tout intervalle , et tout entier naturel , on note simplement l'espace des fonctions de classe sur et à valeurs réelles. L'espace des fonctions continues, , est noté . Si est un intervalle fermé , on note de plus l'espace des fonctions continues sur s'annulant en et , et l'espace des fonctions de classe sur , nulles en et ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre . De façon analogue, désigne l'espace des fonctions de classe sur admettant des limites nulles en et , ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre .

Dans tout le problème, est une fonction à valeurs réelles de deux variables réelles, notées et , et est supposée au moins de classe , c'est-à-dire . Les dérivées partielles premières de sont ainsi notées

et les dérivées partielles secondes de

Le problème concerne la minimisation de l'intégrale

pour appartenant à un ensemble de fonctions admissibles à préciser ( inclus dans ).

Soient et des nombres réels tels que et

i)

Déterminer toutes les fonctions telles que, pour tout ,

Indication : on pourra utiliser des fonctions de la forme

ii)

Déterminer, en utilisant i), l'ensemble des couples tels que, pour tout ,

Parmi ces couples, peut-on avoir ?

i)

On considère un arc de courbe défini par une équation cartésienne,

avec et . quelle est la longueur de l'arc ?
ii)

Soient et . Quelle est l'aire de

iii)

On suppose que l'arc défini en i) ne coupe pas l'axe et on considère la surface de révolution obtenue par rotation de autour de cet axe.

Vérifier cette formule dans le cas où est un segment de droite. On pourra s'aider d'un dessin, et utiliser ii).

Soient et des intervalles de . On suppose que ne s'annule pas. Soient et telle que et

pour tout . Calculer

Soient et des nombres réels tels que . Comme dans la partie I, on notera

A toute fonction on associe le nombre réel

1
Soient et . On considère , la fonction d'une variable réelle définie par

Montrer que et exprimer ses dérivées en 0

à l'aide de et des dérivées partielles de .
2
Soient et . On suppose qu'il existe tel que et , réalisant le minimum de sous cette contrainte, c'est-à-dire :

i)

Soit . Quelle est alors la valeur de

ii)

Déduire de ce qui précède que la fonction

est de classe et telle que

pour tout .
Désormais, on appelle extrémale de toute fonction , au moins de classe , telle que l'équation (2) soit satisfaite pour tout .
iii)

Soit une extrémale de . Calculer

On se place dans le même cadre qu'à la question 2 ci-dessus, en supposant que (1) a lieu pour de classe .
i)

Soit . Quelle est le signe de

ii)

Déduire de ce qui précède que, pour tout :

avec

A quelle(s) classe(s) appartiennent et ? On notera par la suite

i)

Dans cette question, on considère la fonction . A quoi correspond, en langage commun, le problème de minimisation de ? Trouver toutes les fonctions satisfaisant l'équation (2). Montrer qu'il en existe une et une seule appartenant à l'ensemble et l'expliciter. Pour cette solution et les fonctions définies par (4), l'inégalité (3) est-elle satisfaite?
ii)

Dans cette question, on considère la fonction . A quoi correspond le problème de minimisation de ? Montrer que, si satisfait (2), il existe une constante telle que

Supposons . Montrer, en utilisant la méthode de séparation de variables de la question I.3, que la recherche de fonctions , strictement croissantes et satisfaisant (5) sur , se ramène au calcul de la primitive d'une fonction que l'on explicitera.

NB : le calcul de la primitive n'est pas demandé.

On cherche ici des conditions sur les fonctions et assurant l'inégalité (3), c'est-à-dire, avec la notation introduite à la question 3. ii),

i)

Montrer que (6) implique

Indication : on pourra construire une famille de fonctions auxiliaires , où est un paramètre destiné à tendre vers 0 telles que

pour un certain indépendant de .
ii)

Supposons qu'il existe une fonction satisfaisant

pour tout . A-t-on alors (6) ? (On pourra interpréter (8) comme l'annulation du discriminant d'une forme quadratique.)

On suppose ici

Etant donné , une solution de l'équation différentielle du premier ordre

peut-elle s'annuler? Si une telle solution est de classe , exprimer sans utiliser .
On suppose qu'il existe une solution de classe de l'équation différentielle du second ordre

ne s'annulant pas sur . Construire alors vérifiant (8) pour tout .

Dans toute cette partie, la fonction est choisie de la forme

où les fonctions et satisfont les propriétés supplémentaires

On suppose pour fixer les idées .

i)

Montrer qu'il existe une unique fonction polynomiale de degré 4 et de coefficient dominant 1 satisfaisant (12).
ii)

Pour tout nombre , on définit comme l'ensemble des fonctions telles que

Montrer que, si , alors la fonction est intégrable sur . Dans ce cas, on définit

Par extension de la définition donnée à la question II.2.ii), on appelle extrémale de une fonction appartenant à pour au moins un nombre et satisfaisant (2) pour tout .
iii)

Montrer que pour toute extrémale de , on a

pour tout .

On suppose dans cette question que est la fonction constante égale à et la fonction polynomiale de la question 1.i) ci-dessus. En s'inspirant de la méthode de séparation de variables de la question I.3, calculer satisfaisant (14) et

Déterminer les couples pour lesquels .
ii)

On revient au cas général. Montrer qu'il existe une fonction telle que

pour tout . Montrer de plus que

avec

quel que soit .
A quels appartient cette fonction ?

Désormais, désigne une solution croissante de (14), construite grâce à la question 2.ii) ci-dessus. On associe à les fonctions et comme dans la partie II, par les formules (4).
i)

Exprimer les fonctions et à l'aide des fonctions et . Montrer que et sont bornées sur , et que

ii)

Montrer que la fonction est solution de l'équation différentielle (9) sur .
iii)

Montrer qu'il existe et tels que pour tout ,

iv)

Soit . En s'inspirant des question II.5.ii) et II.5.iii), montrer que

pour tout tel que