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ENS Physique C PC 2025

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X-ENS
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2025
Filière
PC
Matière
Physique
X-ENS PCX-ENS 2025PC PhysiquePhysique 2025
2025_09_04_001c05ef653bf294d51ag

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

JEUDI 17 AVRIL 2025 08h00-14h00
FILIERE PC - Epreuve

PHYSIQUE C (U)

Autour de l'énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d'étudier l'énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l'énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s'interrogera également sur la signification physique de l'énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.
Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l'une de l'autre, la première traitant de l'énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l'énergie de distributions de courants dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l'ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s'appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Formulaire

Analyse vectorielle et intégrales utiles

  • On désigne par :
    le gradient d'un champ scalaire ,
    la divergence d'un champ vecteur ,
    rot le rotationnel d'un champ vecteur .
  • Pour et des champs scalaire et vecteur quelconques:
    ,
    .
  • Notant , le gradient de vaut:
  • Pour et des champs scalaire et vecteurs quelconques:
— Le produit mixte de trois vecteurs et possède les propriétés suivantes:
  • Dans tout le sujet, on note les éléments de volume dans les intégrales, où l'indice repère des éléments de volume sur lesquels l'intégration est effectuée. On repère similairement et les éléments de surface et de longueur, respectivement.
  • On rappelle les formulations des intégrales sur tout l'espace en coordonnées cartésiennes ( ), cylindriques ( ), et sphériques ( ) :
  • On a:
où l'intégrale est effectuée sur tout l'espace et est un vecteur unitaire quelconque, et

Symétries et propriétés à grande distance des champs et

On rappelle quelques propriétés des champs électrique et magnétique créés par des distributions de charges et de courants . On note également le potentiel électrique.
  • Symétries des champs par rapport aux charges et courants :
    les plans de symétrie de et sont de symétrie pour et d'antisymétrie pour ,
    les plans d'antisymétrie de et sont d'antisymétrie pour et de symétrie pour .
  • Soit un plan de symétrie du champ dans un repère cartésien ( ), on a :
où et sont les composantes normale et tangentielle de par rapport à ce plan. Pour , on a , et est donc contenu dans le plan de symétrie.
  • Soit un plan d'antisymétrie du champ dans un repère cartésien ( ), on a :
où et sont les composantes normale et tangentielle de par rapport à ce plan. Pour , on a , et est donc perpendiculaire au plan de symétrie.
  • On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale . En électrostatique, magnétostatique, et dans l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :
    si et décroissent respectivement en et ,
    si et décroissent respectivement au moins en et ,
    quelle que soit décroît au moins en .
  • Discontinuité des champs électriques et magnétiques :
    les champs ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
    les champs ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.

Constantes fondamentales

  • Vitesse de la lumière
  • Constante de Planck
  • Permittivité diélectrique du vide
  • Perméabilité magnétique du vide
  • Masse de l'électron
  • Charge élémentaire
On rappelle que .

Première partie Énergie électrostatique

On étudie dans cette partie l'énergie de systèmes électrostatiques à l'équilibre, ou en déplacements quasi-statiques. On négligera donc tout effet lié aux champs magnétiques. Sauf mention contraire, on n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes d'extension spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l'infini.

1.1 Énergie d'un système de charges ponctuelles

On rappelle que la force de Coulomb d'une charge sur une charge s'écrit
où est le vecteur repérant la position de par rapport à celle de .
1 - On considère un système de deux charges et . La charge étant fixe, on déplace de façon quasi-statique à partir de l'infini jusqu'à une distance . Calculer l'énergie potentielle d'interaction électrostatique associée au travail de sur , que l'on exprimera en fonction de et .
2 - On considère à présent la charge fixe, et on déplace . Déterminer la force dérivant de l'énergie potentielle obtenue précédemment. Cette énergie potentielle décrit-elle complètement l'interaction électrostatique entre les deux charges?
3 - En déduire le facteur tel que l'énergie électrostatique d'un système de charges s'écrive
où la somme est prise sur toutes les paires possibles d'indices et entre 1 et telles que , et où l'on définira . Quel signe peut avoir cette énergie?
Par la suite, on parlera de l'énergie électrostatique propre U d'un système S, ou simplement de son énergie électrostatique, pour décrive l'énergie électrostatique totale de ce système. On parlera également de l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes et pour décrire les interactions électrostatiques entre les constituants de ces systèmes.
4 - On prend un système de quatre charges que l'on décompose en deux sous-systèmes et . Décomposer l'énergie électrostatique du système en l'énergie propre et de chaque sous-système et l'énergie d'interaction entre les deux sous-systèmes. On exprimera ces énergies en fonction des charges et des potentiels définis à la question précédente.
5 - On généralise à présent au cas de deux systèmes et contenant respectivement et charges et . En vous appuyant sur la question précédente, montrer que l'on peut écrire l'énergie d'interaction entre et sous la forme
avec un facteur numérique à déterminer et un potentiel que l'on définira. Obtenir un résultat similaire écrit uniquement à partir d'un potentiel , que l'on définira.

1.2 Formulations intégrales de l'énergie électrostatique

Pour un système composé d'une distribution continue de charges , on propose la formulation intégrale suivante de l'énergie électrostatique propre :
où est le potentiel créé en par la distribution . Cette intégrale s'étend sur le support de la distribution de , mais peut être de façon équivalente considérée sur tout l'espace.
6 - Pour un système composé de deux sous-systèmes et , de distributions de charges et , et créant respectivement des potentiels et , décomposer l'énergie électrostatique du système en l'énergie propre et de chaque soussystème et l'énergie d'interaction entre les deux sous-systèmes.
Dans la suite, on admettra que l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes et peut aussi s'écrire :
L'égalité entre ces termes est parfois appelé le théorème de réciprocité en électrostatique.
7 - Voyez-vous une différence entre les formulations et obtenues pour des systèmes de charges ponctuelles, et celles et obtenues pour des distributions continues de charges?
8 - Déterminer et commenter les modifications de et si le potentiel électrostatique est redéfini à une constante près. On pourra introduire les charges totales et contenues dans les systèmes et .
9 - À partir de l'équation (11), que l'on écrira comme une intégrale sur tout l'espace, montrer que l'on peut écrire l'énergie électrostatique de tout système d'extension spatiale finie sous la forme
où est le champ électrostatique créé par ce système, et où l'intégrale est prise sur tout l'espace.
10 - Commenter le signe de cette énergie. Comment expliquer la différence avec le résultat obtenu pour des charges ponctuelles? Le signe de cette énergie permet-il d'avoir une interaction attractive entre systèmes électrostatiques?
11 - Calculer l'énergie électrostatique d'un système composé d'une unique charge ponctuelle q. Commenter sur la possibilité d'utiliser les formulations des équations (11) et (13) pour décrire un système de charges ponctuelles.
12 - On considère un système de deux charges ponctuelles et aux positions et par rapport à une origine . En utilisant l'équation (13), décomposer l'énergie électrostatique totale de ce système de charges en des termes d'énergie propre et d'énergie d'interaction. Calculer la ou les intégrales non-divergentes, pour obtenir un résultat que l'on mettra sous la forme la plus simple possible, et qui dépendra de et . Commenter.

1.3 Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

Pour éviter d'avoir des divergences, et pour permettre une modélisation continue, on décrit généralement les distributions de charges avec des grandeurs nivelées. Partant d'une distribution de N charges ponctuelles situées aux positions , la distribution de charges nivelées est définie à l'aide d'une fonction fenêtre :
Par la suite, on suppose que est positive et vérifie:
où l'intégrale est prise sur tout l'espace. On supposera également que est à symétrie sphérique, et qu'elle ne prend des valeurs non-nulles que jusqu'à une distance de son centre.
13 - Représenter graphiquement le passage d'une distribution de charges ponctuelles à une distribution de charges nivelées. Quelle est la charge totale contenue dans ?
14 - Écrire explicitement la fonction pour une charge nivelée de manière homogène sur une boule de rayon .
Par la suite, on notera la distribution de charge nivelée associée à une charge , que l'on repérera par la position de son centre.
15* - Montrer que le potentiel électrique créé par une distribution de charges d'extension spatiale finie, et telle qu'il existe vérifiant pour tout , est de valeur finie en tout point.
16 - En déduire que l'énergie électrostatique d'une distribution contenant une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas.
L'utilisation de grandeurs nivelées permet donc d'éviter les divergences apparaissant avec des charges ponctuelles. Dans les questions suivantes, on étudie comment l'énergie électrostatique est modifiée en travaillant avec de telles grandeurs plutôt qu'avec des charges ponctuelles.
17 - Calculer l'énergie électrostatique propre d'une charge ponctuelle nivelée, pour une fenêtre qui correspond à une boule homogène de rayon . On exprimera cette énergie en fonction de et .
18 - En relativité, on associe une énergie à toute masse, par la formule . En modélisant l'électron comme une boule homogène, et en supposant que toute la masse d'un électron est due à son énergie électrostatique, quel serait son rayon ? On tiendra compte pour cela du champ électrique à l'intérieur comme à l'extérieur de l'électron. On entend généralement que la description classique d'un électron n'est plus valide en dessous de ce rayon. À cette échelle, a-t-on déjà atteint d'autres limitations de la physique classique?
19* - On considère à présent deux charges nivelées et , séparées par une distance . Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, expliquer pourquoi l'énergie d'interaction électrostatique entre ces deux charges nivelées est la même que celle obtenue sans le nivellement, tant que les deux supports nivelés de et ne se recoupent pas.
20* - On étudie à présent la situation où les deux charges nivelées s'interpénètrent. On se place dans le cas où les deux charges et sont de signes opposés, et où la fonction fenêtre correspond à une boule homogène de rayon . Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, montrer que l'énergie d'interaction entre les charges est une fonction décroissante de la distance entre leurs centres, et que la configuration d'énergie minimum est celle où ces deux charges sont superposées. On note la valeur absolue de l'énergie associée à cette configuration.
21 - On admet que le résultat de la question précédente est valable pour toute fenêtre vérifiant . Tracer un graphique représentatif de l'énergie d'interaction entre deux charges ponctuelles ou nivelées en fonction de la distance entre leurs centres, en y faisant apparaitre les grandeurs pertinentes. On considérera les cas où et .
22 - Expliquer pourquoi l'introduction de grandeurs nivelées revient à introduire une distance effective minimale entre charges. Calculer cette distance minimale pour , lorsque correspond à une boule homogène.

1.4 Étude d'un système de sphères concentriques

On considère deux conducteurs sphériques et concentriques, de rayons et vérifiant , et de charges respectives et . Ces charges sont réparties de façon homogène sur les sphères. Pour toute cette section, on se place en coordonnées sphériques centrées sur le centre des sphères étudiées.
On veut décomposer l'énergie électrostatique du système en la somme de l'énergie propre de chaque sphère et de l'énergie d'interaction électrostatique entre les deux sphères. Pour calculer ces énergies, on va étudier les travaux mis en jeu lorsque les deux sphères changent de rayon, avant de faire une comparaison avec les résultats obtenus en utilisant la formulation de l'énergie électrostatique introduite dans l'équation (13).
Figure 1 - Vue de coupe de l'élément sur la sphère , avec en pointillés le reste de la sphère. Les points et ont également été représentés.
On considère pour commencer une sphère seule , de rayon , de densité surfacique de charges , et de charge totale . On commence par calculer directement le travail fourni par la sphère sur elle-même lorsqu'elle change de rayon. Cela est cependant rendu difficile par le fait que le champ électrique créé par une distribution surfacique de charges diverge sur cette même surface.
Pour résoudre ce problème, on considère un élément de la sphère, de la forme d'un carré de centre , de côté négligeable par rapport à , et que l'on peut donc considérer comme plan. On va calculer la force exercée par le reste de la sphère sur cet élément, en faisant l'hypothèse que le champ
électrique créé par est homogène sur , et peut donc être évalué en . On note également et les champs créés par et , respectivement.
On se place en coordonnées sphériques avec pour origine le centre de , et on définit les trois points et , alignés sur un même rayon, et situés respectivement aux distances et du centre de . Ces trois points sont donc respectivement dans, en dessous et au dessus de (voir Figure 1).
23 - En procédant par étapes, calculer la valeur du champ électrique créé par en :
a) Calculer le champ créé par en , puis en .
b) Sans effectuer un calcul explicite, montrer que l'on peut déterminer un facteur numérique tel que . Quelle est la valeur du champ créé par en ?
c) En considérant la limite , en déduire la valeur du champ créé par en , que l'on exprimera en fonction de et .
24 - En ne considérant pour chaque élément de que la force exercée par sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut, sur un élément orienté vers l'extérieur,
où l'on exprimera en fonction de et . Commenter le sens de cette force en fonction du signe de la charge totale .
25 - À partir du travail fourni par la sphère sur elle-même lors d'une transformation quasi-statique l'amenant d'un rayon à un rayon , calculer la variation d'énergie propre associée. En déduire l'énergie électrostatique d'une sphère de rayon , en supposant que cette énergie tend vers zéro lorsque . On écrira cette énergie en fonction de et .
26 - On revient à présent à l'étude des deux sphères et . La sphère intérieure étant de rayon fixé, calculer le travail qu'elle fournit à la sphère extérieure lorsque cette dernière passe de façon quasi-statique d'un rayon à un rayon . On écrira ce travail en fonction de et des rayons en question.
27 - La sphère extérieure étant de rayon fixé, calculer le travail qu'elle fournit à la sphère intérieure lorsque celle-ci passe de façon quasi-statique d'un rayon à un rayon . Ce résultat est-il en contradiction avec la troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques?
28 - Des résultats précédents, déduire l'énergie de l'ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où , que l'on exprimera en fonction de et des rayons en question. Que peut-on dire de son signe?
29 - Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l'équation (13), pour .
30* - Quelle est la limite de cette énergie quand et tendent vers l'infini? Ce résultat est-il compatible avec le fait de prendre en compte l'énergie propre des charges individuelles composant ces sphères? On pourra revenir sur une ou plusieurs des hypothèses effectuées dans cette partie. La réponse à cette question, qui pourra utiliser des résultats obtenus précédemment, ne demande pas de développements calculatoires poussés.

Deuxième partie

Énergie magnétique

On étudie dans cette partie l'énergie de distributions de courants dans des circuits conducteurs nonmagnétiques. Sauf mention contraire, on n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l'énergie d'interaction magnétique entre deux systèmes d'extension spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l'infini.
Dans toute cette partie, on se place également dans l'approximation des Régimes Quasi-Stationnaire (ARQS) magnétique. Dans cette approximation, les équations de Maxwell prennent la forme suivante :
On a également
et l'on supposera que l'on peut décomposer toute distribution volumique de courants en une somme continue de distributions filiformes à courant constant.

2.1 Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

On cherche à estimer l'énergie associée à une distribution de courants dans un champ magnétique. Pour ce faire, on commence par suivre le même raisonnement que dans le début de la partie précédente, en étudiant le travail reçu par un élément de circuit parcouru par un courant lorsqu'il est déplacé dans un champ magnétique.
31 - On considère un circuit filiforme orienté , parcouru par un courant constant et déplacé dans un champ magnétique . On considère un élément de ce circuit, soumis à un déplacement . Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur cet élément pour ce déplacement vaut
32 - À l'aide d'un schéma, identifier à un élément de surface . En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit lors d'une translation élémentaire d vaut
où est un flux infinitésimal de champ magnétique sur une surface que l'on représentera graphiquement. Préciser explicitement sur le schéma l'orientation des vecteurs .
33 - On suppose que le circuit , parcouru par un courant constant , subit un déplacement entre une position initiale à et une position finale à . Si l'on ne fixe aucune contrainte sur le champ magnétique :
a) L'intégration sur cette trajectoire du travail élémentaire précédent peut-elle être exprimée uniquement à partir des positions initiale et finale du circuit?
b) Peut-elle être exprimée sinon à partir de la donnée de la trajectoire géométrique du circuit entre ces deux positions?
c) Qu'en est-il si l'intensité parcourant le circuit varie avec le temps?
34 - On suppose à présent que le circuit effectue un déplacement à courant toujours constant, mais dans un champ stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement fini correspond à
où est la variation de flux de à travers le circuit , entre ses configurations initiale et finale, notées et , et est un facteur numérique à déterminer. On s'appuiera en particulier sur un schéma où l'on fera apparaître clairement les différentes grandeurs introduites. Ce résultat constitue le théorème de Maxwell.
35 - En déduire l'énergie potentielle d'interaction d'un circuit parcouru par un courant constant dans un champ stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d'un circuit rigide à courant constant dans un champ magnétique stationnaire? Cette conclusion est-elle valide a priori pour des circuits non-rigides?
On va vérifier la validité du théorème de Maxwell sur des cas simples. On considère pour cela un solénoüde de longueur grande devant son rayon , et bobiné avec spires par unité de longueur, parcourues par un courant . On se place dans un repère cartésien tel que l'axe est l'axe de symétrie de révolution du solénoïde. Le champ magnétique que celui-ci génère peut être approximé dans la suite, sauf mention contraire explicite, par celui d'un solénoïde infiniment long. On rappelle que le champ magnétique créé par un tel solénoïde est nul à l'extérieur de celui-ci, et vaut en son intérieur:
On commence par étudier le travail que reçoit une spire rigide carrée, de côté a, au cours de ses déplacements à l'intérieur du solénoïde. On suppose que cette spire, parcourue par un courant constant , est disposée initialement dans le plan ( ), centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde, et de telle façon que le flux magnétique du champ du solénoïde à travers cette spire soit positif. On considère deux trajectoires, en supposant que la spire reste à l'intérieur du solénoïde :
A1 : la spire subit une translation dans le plan .
A2 : la spire subit une rotation autour d'une droite passant par son centre et alignée avec l'axe , jusqu'à se trouver dans le plan ( ).
36 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.
37 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa validité, l'expression
du couple subi par un dipôle magnétique dans un champ uniforme . On pourra également accompagner les calculs d'un schéma.
On considère à présent une variation du rayon du solénoïde introduit précédemment, tout en gardant fixes ses paramètres et . On souhaite calculer le travail qu'il reçoit sous sa propre action lors de cette déformation. Cela est rendu difficile par le fait que lorsqu'on évalue le travail reçu par chaque élément de circuit sous l'action du champ magnétique, il faut exclure l'effet du champ magnétique généré par cet élément de circuit lui-même.
Pour étudier ce problème, on va procéder de façon similaire à ce qui a été fait dans la section 1.4 pour l'étude du travail d'une sphère chargée sur elle-même. On considère donc un élément du solénoïde,
de la forme d'un carré de centre , de côté négligeable devant , et que l'on peut considérer comme plan. On va alors calculer la force exercée par le reste du solénoïde sur cet élément, en supposant que le champ magnétique créé par est homogène sur , et peut donc être évalué en . On note et les champs créés par et , respectivement. On décrira les courants dans l'élément comme ceux d'un ensemble de fils parallèles d'épaisseur négligeable.
Par la suite, on pourra utiliser un jeu de coordonnées cylindriques où l'axe reste l'axe de symétrie de révolution du solénoïde.
38* - En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicitement les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique créé par au point .
39 - En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément orienté vers l'extérieur :
où l'on exprimera en fonction des paramètres pertinents du système. Commenter le sens de cette force en fonction du signe du courant .
40 - En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon à un rayon . Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell. Si ceux-ci ne sont pas en accord, proposer une justification.

2.2 Énergie d'une distribution volumique de courants

Pour estimer l'énergie magnétique associée à une distribution de courants dans un cadre général , on va procéder différemment de la section précédente. Plutôt que de considérer le travail exercé sur des circuits dans lesquels circule déjà un courant, on va étudier le travail reçu par les charges mobiles de ces circuits lors de l'établissement d'une distribution de courants. Cela requiert d'effectuer un bilan énergétique précis.
41 - Une distribution de courants d'extension spatiale finie peut-elle rayonner de l'énergie dans l'ARQS magnétique?
On considère un système de charge totale nulle et d'extension spatiale finie, constitué d'un ensemble de circuits conducteurs fixes, non-magnétiques, et pouvant être parcourus par un courant. On note la densité de porteurs de charges mobiles, que l'on supposera être uniquement des électrons de charge . On note également le vecteur densité de courant associé au déplacement de ces électrons, de vitesse moyenne . On suppose qu'à , aucun courant ne circule dans le système. Le système étant plongé dans un champ électromagnétique , on établit progressivement une distribution de courants jusqu'à atteindre un état stationnaire pour , où les courants sont constants. On veut faire un bilan de l'énergie fournie à la distribution de charges entre les instants et . À l'instant , où toutes les charges sont au repos, on prend comme convention une énergie totale nulle pour ces charges.
42 - Montrer que la puissance totale fournie à chaque instant à la distribution de charges par le champ électromagnétique s'écrit
Montrer que la contribution de la composante électrostatique du champ à cette puissance est nulle. Quelle autre composante du champ électrique peut avoir une contribution nonnulle?
43 - On considère un volume sphérique fixe, de rayon , délimité par la sphère , de normales dirigées vers l'extérieur. Le volume est défini de telle façon qu'il contienne le système . Montrer que l'on a, à tout instant,
∯
où est le vecteur de Poynting, dont on donnera la définition.
44 - En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour s'écrit:
où l'intégrale est prise sur tout l'espace.
45 - On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon à un rayon . Commenter.
46 - On considère à présent un système constitué d'un ensemble de distributions de courants. Identifier dans l'énergie magnétique de les contributions d'énergies propres de chaque distribution, et les contributions d'énergies d'interaction entre distributions. Commenter le signe de chaque énergie.

2.3 Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

On considère à présent un ensemble de circuits filiformes fermés , modélisés par des contours orientés parcourus par des courants . On veut exprimer l'énergie magnétique de ce système à partir des courants parcourant ces circuits, et de leurs flux magnétiques. Le flux magnétique à travers un circuit est défini sur une surface reposant sur le contour , non-nécessairement plane, et d'orientation compatible avec celle de :
où est le champ magnétique total. On définit similairement le flux magnétique créé par un circuit au travers d'un autre :
où désigne le champ magnétique créé par le circuit . On souligne que ne correspond pas forcément à .
47 - Montrer que le flux magnétique à travers le circuit ne dépend pas de la surface choisie, tant que celle-ci repose sur et est d'orientation compatible avec celle de .
Pour tout champ magnétique , on peut définir des tubes de champ, dont les surfaces latérales sont en tout point tangentes aux lignes de champ magnétique. On définit un tube de champ élémentaire comme un tube de champ de section suffisamment petite pour que le champ magnétique dans toute
coupe transverse puisse être considéré comme uniforme. Par la suite, on note ces tubes de champ élémentaires, que l'on décrit par leur élément de longueur dl্র et de surface transverse (voir Figure 2). Dans ces tubes de champ élémentaires, les vecteurs , et sont colinéaires et de même sens, et le volume d'un élément de tube de champ de longueur est . On note que le champ ainsi que les éléments di et peuvent varier le long des tubes de champ élémentaires.
Figure 2 - Tube de champ magnétique élémentaire.
48 - Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d'un tube de champ.
49 - Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l'infini.
Par la suite, on considérera que l'on peut négliger la contribution des tubes qui vont à l'infini.
50 - Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.
- On considère un unique circuit filiforme fermé . En décomposant tout l'espace où le champ magnétique est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée équation (27) que l'énergie magnétique propre de ce circuit s'écrit :
avec un facteur numérique à déterminer. On expliquera avec soin, en s'aidant si possible de schémas, les différentes étapes du raisonnement effectué.
52* - Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction entre les circuits et , que l'on exprimera en fonction de et . On supposera pour simplifier la démonstration que l'on travaille avec des circuits simples non-bobinés, et que les lignes de champ de et ne passent au maximum qu'une seule fois à travers ces deux circuits. On effectuera également la décomposition de et en tubes de champ élémentaires qui ont tous le même flux transverse . Sous quelle condition cette énergie d'interaction est-elle maximale?
53 - En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits parcourus par des courants s'écrit
avec un facteur numérique à déterminer, et où la somme inclut les cas où . Formuler le théorème de réciprocité en magnétostatique.
54 - Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces énergies? Ces résultats étaient-ils attendus pour l'énergie d'interaction entre circuits magnétiques?
55 - On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.
On étudie à présent un dernier exemple, nommé A3, où l'on prend en compte la longueur finie du solénoüde, et où l'on l'étudie la translation, à courants constants, de la spire précédente sur l'axe du solénoïde. La spire reste orientée parallèlement au plan ( ), mais se déplace du milieu du solénoïde ( ) à son extrémité ( ), tout en restant centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde. On suppose par ailleurs que le solénoïde est suffisamment long pour que:
a) le champ d'un solénoïde infini y règne à ,
b) le flux du champ créé par la spire à travers les extrémités du solénoïde est négligeable lorsque la spire est située en .
56* - Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le déplacement de l'exemple A3.

2.4 Énergie propre des circuits magnétiques

Dans cette section, on cherche à faire le lien entre l'énergie magnétique propre d'une distribution de courant, et l'énergie cinétique des électrons qui composent ce courant. En effet, on a vu dans la première partie que l'on pouvait associer l'énergie de masse d'un électron à son énergie propre électrostatique. En considérant uniquement le champ électrique à l'extérieur d'un électron de rayon , on a:
Pour déterminer l'énergie magnétique propre d'un électron, on a besoin de calculer le champ magnétique créé par celui-ci quand il est en mouvement, ce que l'on souhaite faire à partir d'un changement de référentiel. On note pour cela et les champs électrique et magnétique dans un référentiel Galiléen , et et ces champs dans le référentiel se déplaçant en translation rectiligne uniforme à vitesse par rapport à .
57 - En mécanique Newtonienne, la force subie par un point matériel ne doit pas changer lorsqu'on passe d'un référentiel Galiléen à un autre par une translation rectiligne uniforme. Déduire dans ce cadre le champ magnétique créé par un électron, que l'on suppose ponctuel, se déplaçant à la vitesse . Commenter ce résultat.
On se place à présent dans le cadre d'une transformation relativiste des champs électromagnétiques. En prenant les notations décrites plus haut, les champs et dans le référentiel , se déplaçant en translation rectiligne uniforme à la vitesse par rapport à , s'écrivent :
où l'on a distingué avec les notations et les composantes des champs respectivement parallèles et perpendiculaires au vecteur , et où:
58 - En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron se déplaçant à la vitesse , que l'on écrira en fonction de et du vecteur repérant le point où le champ est considéré par rapport à la position de l'électron. On supposera que l'électron se déplace à une vitesse et on ne gardera que les termes dominants en .
59 - On considère un électron de rayon , se déplaçant à la vitesse . Justifier qu'à un facteur numérique près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique associée au champ créé par l'électron comme l'énergie cinétique de celui-ci. On utilisera l'équation (27) en ne considérant que la contribution liée au champ à l'extérieur de l'électron. Dans le cadre de cette interprétation, à quoi correspond la masse de l'électron? Dans la suite, on omettra le facteur .
60 - On considère à présent un solénoїde de longueur , composé de spires circulaires de rayon parcourues par un courant . On suppose que les fils de ce solénoïde sont de section circulaire, de rayon , et contiennent électrons de conduction par unité de volume. Calculer l'énergie cinétique totale des électrons de conduction dans ce solénoïde, que l'on exprimera en fonction de et des paramètres du circuit.
61 - En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et ne calculer que la contribution à l'énergie magnétique du champ à l'intérieur du solénoïde. On prendra (densité typique des électrons de conduction pour le cuivre), .
62* - D'où vient la différence constatée à la question précédente? En vous appuyant sur un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue de l'énergie magnétique du solénoïde en fonction de l'énergie cinétique des électrons de conduction. En donner une estimation numérique. Quelle taille devrait avoir le solénoïde pour que son énergie magnétique approche cette borne?
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