Si le (la) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction, et poursuit l'épreuve en conséquence.

Les applications numériques seront données avec un chiffre significatif.
Le sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Début du sujet

Notations

Dans le sujet, on note en gras un vecteur , sa norme est notée
sur sa copie, le (la) candidat(e) pourra utiliser la notation
dans le repère cartésien ( ), on décompose
on écrit le vecteur position
dénote le produit scalaire de et
dénote le produit vectoriel de et
on note l'opérateur différentiel nabla qui, en coordonnées cartésiennes, s'écrit
dénote le gradient dénote la divergence div représente le Laplacien scalaire dénote le rotationnel
on note i l'unité imaginaire, telle que

Identités mathématiques

Identité de Taylor-Young pour suffisamment différentiable en :

intégration par partie sur un volume délimité par une surface fermée :

avec

où

est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface

sont les éléments de surface et de volume
— pour

(théorème de Green-Ostrogradski)

Constantes mathématiques

Grandeurs physiques

Charge du proton : A s
masse de l'électron :
perméabilité magnétique du vide :
constante de Boltzmann

Valeurs typiques pour des alliages de fer

Distance inter-atomique :
énergie d'échange :
constante d'anisotropie :
coefficient de dissipation magnétique :

Micromagnétisme

Figure 1 - Un échantillon ferromagnétique de volume

délimité par une surface fermée

. (a) Zoom : les atomes composant l'échantillon portent des moments magnétiques,

. Ici, les atomes sont arrangés dans une structure cristalline cubique; chaque atome a six "plus proches voisins" à une distance

. (b) Plutôt que de décrire chaque moment individuel, le micromagnétisme consiste à décrire le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé aimantation

Les matériaux ferromagnétiques, comme le fer, le nickel ou le cobalt, présentent une aimantation spontanée

lorsque leur température est inférieure à une température critique, dite de Curie,

(

). Les électrons autour de chaque noyau atomique à la position

sont à l'origine d'un moment magnétique qui est décrit par un vecteur

de norme constante, voir Fig. 1(a). La théorie du micromagnétisme consiste à remplacer cette description discrète en termes des moments magnétiques localisés sur chaque atome par une description en termes d'une fonction continue de l'espace et du temps : le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé vecteur aimantation,

; voir Fig. 1(b). Un matériau ferromagnétique est rarement uniformément aimanté :

peut varier en direction dans l'espace et le temps, mais conserve une norme uniforme et constante, c'est-à-dire

Figure 2 - L'aimantation

est un vecteur de norme constante

dont la direction est paramétrée par les angles

. On a représenté le repère sphérique local (

) avec

Le sujet est constitué de trois parties très largement indépendantes. Les aspects statiques de l'aimantation, c'est-à-dire avec

, seront étudiés dans une première partie. La seconde partie étudiera la dynamique de l'aimantation dans les cas où l'aimantation est uniforme dans l'espace, c'est-à-dire avec

. Enfin, la troisième partie abordera une application du micromagnétisme aux mémoires informatiques.

Question 1. Donner les unités d'un moment magnétique

et de l'aimantation spontanée

dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Première partie

Statique

1.1 Énergie d'un échantillon magnétique

L'énergie d'un échantillon magnétique de volume

sous l'influence d'un champ magnétique externe est composée de : l'énergie d'échange, l'énergie d'anisotropie, l'énergie de démagnétisation, et l'énergie de Zeeman :

Ces termes sont étudiés un par un ci-dessous.

1.1.1 Énergie d'échange

L'interaction d'échange est une interaction à courte portée entre deux moments magnétiques voisins. L'énergie d'échange entre deux moments magnétiques

, portés par des atomes

situés en

respectivement, est donnée par

avec la constante

est la densité volumique des moments magnétiques dans le matériau (supposée uniforme et constante).

Question 2. Cette interaction favorise-t-elle l'alignement ou l'anti-alignement des moments magnétiques?

L'énergie d'échange entre tous les moments magnétiques de l'échantillon est donc

où la somme s'effectue sur toutes les paires de "plus proches voisins", notées

. On se placera dans le cas où les atomes magnétiques sont disposés dans une structure cristalline cubique, comme representée sur la Fig. 1(a). Deux atomes "plus proches voisins" sont séparés par une distance

Question 3. Exprimer

, la densité volumique des moments magnétiques, en termes de

Pour passer de l'ensemble discret des

à la fonction continue

, on écrit

où

est la position de l'atome, et on fait l'hypothèse que les variations de la fonction

s'opèrent sur des distances beaucoup plus grandes que la distance

entre deux "plus proches voisins".

Question 4. Lorsque les atomes

sont "plus proches voisins", en introduisant

, montrer que

au premier ordre non-nul en

La somme sur toutes les paires de "plus proches voisins" peut être formellement réécrite

, où la présence du facteur

dans le terme de droite permet de ne pas comptabiliser deux fois chaque paire.

Question 5. En remarquant que dans le cas d'une structure cristalline cubique

prend les valeurs

[voir Fig. 1(a)], passer à la limite du continu, c'est-à-dire échanger

par

, et montrer que l'énergie d'échange peut s'écrire, à une constante additive près, comme

où

est le volume de l'échantillon.
Question 6. À l'aide du formulaire, montrer que l'expression (4) peut finalement s'écrire

Question 7. Quelles configurations de l'aimantation

minimisent

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.1.2 Énergie d'anisotropie

L'environnement direct d'un moment magnétique, comme par exemple le champ électrostatique créé par les ions qui forment la structure cristalline, agit sur sa direction en favorisant certaines directions dans l'espace. Le cas le plus courant est celui de l'anisotropie uniaxiale pour laquelle l'énergie correspondante a pour expression

où

est un vecteur unitaire et

est une contante qui dépendent tous deux du matériau considéré.

Question 8. Quelles configurations de l'aimantation

sont favorisées par

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.1.3 Énergie de démagnétisation

Dans un matériau ferromagnétique, on distingue les densités de courants électrique des charges libres et liées :

é

. Les courants liés sont responsables de l'aimantation :

é

. De plus, chacun de ces courants liés produit un champ ressenti par les autres moments magnétiques. Le champ magnétique

en un point de l'échantillon est donc la somme du champ dû à l'aimantation locale et du champ créé par tous les autres moments magnétiques présents dans l'ensemble de l'échantillon. On introduit le vecteur d'excitation magnétique (parfois appelé champ démagnétisant)

tel que

Question 9. En l'absence de courant de charges libres,

, montrer que

dérive d'un potentiel tel que

, et que le problème se ramène à l'équation de Poisson suivante

À l'interface de deux milieux magnétiques 1 et 2 , le potentiel

est continu, c'est-à-dire

où

sont infiniment proches et de part et d'autre de l'interface, mais sa dérivée dans la direction normale à l'interface est discontinue.

Question 10. En sélectionnant soigneusement une surface fermée à l'interface des milieux 1 et 2 , démontrer la relation de passage

où

est le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté de 1 vers 2 .
Par analogie avec l'équation de Poisson électrostatique, la quantité

peut être interprétée comme une densité volumique de charge magnétique et

comme sa densité surfacique. L'énergie associée à des densités de charge électrique

dans un potentiel électrostatique

est donnée par

où

est la surface fermée délimitant le volume

.
Question 11. En utilisant cette analogie et à l'aide du formulaire, montrer que l'énergie magnétique correspondante, dite énergie de démagnétisation, s'écrit

Figure 3 - Échantillon magnétique ellipsoïdal.

L'équation de Poisson (7) révèle que le vecteur d'excitation magnétique

dépend de l'aimantation

. On ne résoudra pas cette équation dans le cas général, mais on se placera dans le cas d'un échantillon ellipsoïdal dont les axes principaux de l'ellipsoïde coïncident avec le repère cartésien (

), voir Fig. 3. On admettra que la solution est donnée par

où

, et

sont des coefficients positifs qui dépendent de la géométrie précise de l'échantillon mais vérifient nécessairement

Question 12. Donner

, et

dans le cas d'un échantillon sphérique.

1.1.4 Énergie de Zeeman

Si un champ magnétique externe

est appliqué, il contribue à l'énergie (plus précisément à l'enthalpie) totale via le terme

Question 13. Quelle configuration de l'aimantation

est favorisée par

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.2 Équilibre magnétique

On cherche à déterminer les états d'équilibre de l'aimantation en identifiant les extrema de l'énergie

, c'est-à-dire les configurations de l'aimantation

pour lesquelles

où la variation

est calculée au premier ordre en

, une variation arbitraire infinitésimale de l'aimantation :

. Pour alléger les notations, on omet ici et dans ce qui suit d'écrire les dépendences explicites en

, et

Question 14. Montrer, en calculant

au premier ordre en

, que la norme constante de l'aimantation impose de considérer uniquement des variations transverses de l'aimantation, c'est-à-dire

perpendiculaire à

On remarquera qu'on peut donc écrire la variation

avec

un vecteur de direction arbitraire en tout point

de l'espace et

Question 15. Calculer la variation

et montrer que

Question 16. Montrer que

Question 17. Montrer que

Question 18. Montrer que pour un échantillon magnétique ellipsoïdal

Question 19. Montrer que

peut s'écrire sous la forme

et donner l'expression du champ magnétique effectif

rassemble les contributions des interactions d'échange, d'anisotropie, de démagnétisation et du champ externe. On notera que, dans le cas général, il dépend de l'aimantation.

Question 20. Justifier que les états d'équilibre sont ainsi donnés par les équations suivantes, dites équations de Brown,

1.3 Paroi de domaine magnétique

Figure 4 - Paroi entre deux domaines magnétiques.

Dans la plupart des cas, comme pour le fer, un matériau ferromagnétique est constitué de multiples domaines à l'intérieur de chacun desquels le vecteur aimantation est uniforme. Ces domaines sont séparés par des régions de transition, appelées parois de domaines magnétiques, où la direction de l'aimantation varie spatialement.
On cherche à estimer l'épaisseur typique

de ces parois, c'est-à-dire la longueur typique sur laquelle l'aimantation

change de direction entre deux domaines. Pour cela, on considère deux domaines magnétiques semi-infinis comme représentés sur la Fig. 4, avec les conditions aux limites

. La paroi de domaine est ainsi parallèle au plan

et on détermine son épaisseur

dans la direction

. On cherche donc une solution à la première équation de Brown (19) qui est invariante par translation selon

.
Question 21. En admettant que la solution (11),

, est encore valable dans cette géométrie (et

), utiliser une équation de Maxwell pour montrer que l'angle

entre

est une constante que l'on précisera.

La solution

est donc uniquement déterminée par la donnée de l'angle

entre

. On peut donc chercher une solution sous la forme

. Pour simplifier, on négligera l'énergie de démagnétisation devant celle d'anisotropie en prenant

, on prendra l'anisotropie selon

, et aucun champ externe appliqué, c'est-à-dire

Question 22. En utilisant la valeur de

obtenue à la Question 21, refaire le schéma de la Fig. 2 en projection dans le plan (

). Exprimer

, les composantes de

dans le repère sphérique local, en termes de

et de sa dérivée seconde.

Question 23. Réécrire la première équation de Brown (19) dans le repère sphérique local, et montrer que l'angle

obéit à l'équation

où l'on donnera l'expression de

.
Question 24. En ramenant au préalable l'équation précédente à une équation différentielle du premier ordre, calculer explicitement

. On rappelle la primitive

pour

et on pourra prendre

. Identifier la longueur typique

qui sépare les deux domaines magnétiques. Évaluer numériquement

Deuxième partie Dynamique

Les équations de Brown (19) permettent de calculer les états d'équilibre de l'aimantation, mais ne renseignent ni sur leur stabilité ni sur la manière dont ces états sont formés. Dans ce qui suit, on étudie la dynamique de l'aimantation. Pour simplifier, on se placera dans le cas où l'échantillon de volume

n'est composé que d'un seul domaine magnétique où l'aimantation est uniforme :

. Cette situation est attendue pour les échantillons de petite taille devant

, si la condition initiale et si

sont eux-même uniformes.

2.1 Précession de Larmor

On rappelle le principe fondamental de la dynamique en rotation :

où

est le moment cinétique et

est le moment des forces appliquées. Les électrons dans les atomes ont deux types de moments cinétiques : orbital

et de spin

. Le moment cinétique orbital est dû au mouvement de l'électron autour du noyau atomique. Le spin, quant à lui, prend son origine dans la mécanique quantique; il n'a pas d'analogue classique. Le moment cinétique total est simplement la somme

Question 25. Donner les unités d'un moment cinétique

dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Question 26. En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-àdire son spin, et en considérant un électron de charge

et de masse

sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un noyau atomique, montrer que son moment magnétique

est proportionnel à son moment cinétique orbital, c'est-à-dire

. Pour cela, on pourra exprimer tour à tour

en termes du rayon

de l'orbite de l'électron et de sa période de révolution

, ainsi que des autres données du problème. Donner l'expression du rapport gyromagnétique

. Évaluer numériquement

En prenant maintenant en compte le spin de l'électron, on admettra que

avec un rapport gyromagnétique

. La dynamique d'un moment magnétique en présence d'un champ magnétique

est donc donnée par l'équation de Larmor

On rappelle que dans un matériau magnétique, on définit le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé vecteur aimantation, qui est ici supposée uniforme :

. L'aimantation subit l'action d'un champ magnétique effectif

, décrit dans la Partie 1.

Question 27. En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation

dans son champ magnétique effectif

Question 28. Vérifier que cette équation conserve la norme de l'aimantation.
La dynamique de l'aimantation

décrit donc des trajectoires sur la surface d'une sphère de rayon

, voir Fig. 2.

Question 29. Montrer que les états stationnaires de l'aimantation correspondent aux états d'équilibre solutions de la première équation de Brown (19).

Question 30. Dans le cas simple où le champ magnétique effectif est statique, soit

avec

, montrer que l'énergie

est constante. Pour une condition initiale quelconque, l'équation de Larmor (22) permet-elle de rendre compte de la relaxation de l'aimantation vers un état d'équilibre stable?

Par "renversement du temps", on désigne l'opération qui consiste à renverser le déroulé du film d'une action. Ainsi, une particule se déplaçant à une vitesse

et une accélération

apparaît se déplacer à la vitesse

et une accélération

après renversement du temps.

Question 31. Comment se transforme un champ magnétique

si l'on renverse la flèche du temps? (On pourra s'aider du fait qu'un champ magnétique peut être vu comme résultant d'une charge électrique en rotation.)

Question 32. Comment se transforment

par renversement du temps? Comment se transforme l'équation de Larmor après un renversement du temps?

2.2 Dissipation

Pour expliquer la relaxation du système magnétique vers son état d'équilibre stable, on doit prendre en compte le phénomène de friction magnétique dû à l'environnement magnétique (l'aimantation résiduelle des noyaux atomiques, des autres atomes non-magnétiques, etc). Cela se traduit par l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) :

où

est une petite constante sans dimension qui depend du matériau,

.
Question 33. Vérifier que l'équation de LLG conserve la norme de l'aimantation.
Question 34. Montrer que l'équation de LLG peut se mettre sous la forme suivante, dite de Landau-Lifshitz (LL),

où

sera donné en termes de

. Justifier que

.
Question 35. Représenter les deux moments de l'équation de Landau-Lifshitz agissant sur

sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan

dans le cas

(on choisira

orienté selon

Question 36. Dans le cas simple où le champ effectif est statique, soit

avec

, montrer que l'énergie

est une fonction décroissante du temps, permettant ainsi la relaxation de l'aimantation vers un état d'équilibre stable quelle que soit sa condition initiale.

Question 37. Dans le cas où l'on applique un champ magnétique dépendant du temps, c'est-à-dire

, la variation

donne lieu à deux termes distincts. En argumentant succintement, identifier le terme qui peut être interprété comme un travail par unité de temps, noté

, et celui qui peut être interprété comme une chaleur échangée avec l'environnement par unité de temps, noté

Question 38. Donner la forme de l'équation de LLG après un renversement du temps. Quelle est l'influence du terme proportionnel à

sur cette dynamique?

2.3 Susceptibilité

On s'intéresse à la dynamique des perturbations de l'aimantation autour de sa valeur d'équilibre

lorsqu'on varie infinitésimalement le champ magnétique externe autour de sa valeur statique

. On pose

, avec

. Pour simplifier, on considère un matériau isotrope, c'est-à-dire

, et on néglige la démagnétisation en prenant

. On commence l'étude en négligeant aussi la dissipation, c'est-à-dire en prenant

, de telle sorte que seul

contribue à

Question 39. Montrer, à l'ordre le plus bas en

, que

obéit à l'équation

Question 40. En utilisant le résultat de la Question 14 pour la perturbation initiale

et l'équation ci-dessus pour les temps

, montrer que la perturbation

est perpendiculaire à

à tout temps

L'équation différentielle ci-dessus est linéaire, à coefficients constants, et on peut chercher des solutions à des perturbations harmoniques à la fréquence

en passant en représentation de Fourier. Pour cela, on remplace

par

, respectivement, où

sont des amplitudes complexes. Pour simplifier, on prendra

, et

Question 41. Montrer que la susceptibilité longitudinale

et la susceptibilité transverse

sont données par

où la fréquence

et la fréquence de résonance

seront exprimées en termes des données du problème.

Question 42. En prenant maintenant en compte la dissipation telle qu'introduite à l'équation (23), soit

, montrer que

obéit à l'équation d'un oscillateur harmonique amorti forcé avec pour équation (puisque

, on négligera le terme d'ordre

et la correction d'ordre

au terme de forçage)

Exprimer

en termes des données du problème.
Question 43. Donner la relation de proportionalité entre

, à l'ordre 0 en

.
Question 44. En utilisant les réponses aux deux dernières questions et en repassant en notation réelle, calculer

dans le cas où la variation du champ magnétique

est nulle et la perturbation initiale de l'aimantation est orientée selon

, c'est-à-dire

. Tracer la solution dans le plan (

), paramétriquement en

Troisième partie Magnetoresistive Random-Access Memory

Les ordinateurs modernes font appel à plusieurs types de mémoires. La mémoire cache, positionnée au plus près du processeur central, doit être rapide quitte à être relativement coûteuse. La mémoire principale est généralement une mémoire vive dynamique (DRAM) à base de semi-conducteurs; elle est volatile en cela qu'elle nécessite un apport constant d'énergie pour conserver l'information entreposée. Le stockage de masse, non-volatile, est lui typiquement assuré par la mémoire flash ou les disques durs magnétiques.
Ici, on s'intéresse à une nouvelle alternative à la DRAM : la MRAM, pour Magnetoresistive Random-Access Memory. C'est une mémoire vive basée sur les principes du micromagnétisme étudiés dans les deux premières parties. La MRAM promet de combiner robustesse, non-volatilité, grande vitesse de lecture et d'écriture, faible consommation électrique, le tout à un coût modéré.

3.1 Écriture par transfert de spin

On dit qu'un courant électrique est polarisé en spin lorsque les électrons participant au courant portent un moment cinétique de spin orienté selon un même vecteur unitaire

. Lorsqu'un courant polarisé en spin traverse un domaine magnétique, il y a un échange de moment cinétique entre les électrons qui participent au courant et ceux qui gravitent autour des atomes de l'échantillon magnétique (selon la conservation du moment cinétique total). Cela se traduit par un transfert de moment magnétique entre le courant polarisé en spin et l'aimantation de l'échantillon. Ce phénomène, appelé transfert de spin (TS), peut être utilisé pour manipuler l'aimantation qui encode les bits d'information dans une MRAM. On étudie le dispositif représenté sur la Fig. 5. Les électrons se déplacent selon

. Conventionnellement, cela se traduit par un courant électrique

. Le courant est d'abord polarisé en spin en le faisant passer à travers une première couche ferromagnétique F 1 , dite de référence, aimantée uniformément selon

. On admet qu'elle est suffisament épaisse pour polariser tous les spins électroniques qui composent le courant dans la direction

sans que

soit sensiblement affecté. Après avoir traversé une très fine couche non-magnétique, le courant pénètre dans une seconde couche ferromagmétique F2, dite de stockage. F2 est cylindrique de section

et d'épaisseur

. Son aimantation est supposée uniforme, c'est-à-dire

, et de norme constante

Figure 5 - Principe d'écriture magnétique par transfert de spin. Une couche de référence F1 est aimantée selon

. En la traversant, les électrons du courant

se polarisent en spin, puis viennent manipuler l'aimantation de la couche de stockage,

Le courant polarisé en spin exerce un moment

sur

. On admettra donc que pour une faible dissipation et un faible courant, on peut simplement remplacer l'équation de Landau-Lifshitz (24) par

où le champ magnétique effectif

a été introduit et discuté dans la Partie 1 , où

ont été introduits et discutés dans la Partie 2, et où

avec

une grandeur discutée ci-dessous.
Question 45. Calculer la norme de

, et justifier que

est la quantité maximale de moment cinétique absorbée par la couche F2 par unité de volume et de temps.

Question 46. Discuter l'action du moment

sur

sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (

) dans le cas

Question 47. En supposant que le transfert de spin a lieu pour chacun des électrons qui traversent F2, exprimer

en termes du courant

, de la charge électrique d'un electron

, du moment cinétique échangé par chaque électron, noté

, et des autres données du problème.
On considérera le cas où le champ effectif est statique et orienté dans la même direction que

avec

.
Question 48. En utilisant l'équation (28), donner l'expression

pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Question 49. Donner l'expression du courant critique

pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Question 50. On rappelle que l'énergie s'écrit

. Exprimer la variation temporelle de l'énergie,

, en fonction de

, et des autres données du problème.

Le transfert de spin peut donc être utilisé pour manipuler la direction d'un moment magnétique, c'est-à-dire écrire un bit d'information (0 ou 1).

Question 51. Quel est l'état stationnaire de l'aimantation lorsque

, et lorsque

3.2 Stabilité thermique

Pour les applications à la mémoire numérique, une caractéristique clef est la durée pendant laquelle les informations qui y ont été écrites peuvent être conservées sans altération.

On considère la situation où une fois le bit d'information écrit, on laisse le dispositif au repos à la température

, sans appliquer de champ magnétique externe, ni de courant électrique. Le matériau de la couche F2 est choisi pour exhiber une forte anisotropie selon

avec

. On admettra que le vecteur d'excitation magnétique

est donné par la relation (11) avec

Question 52. En se référant à la Partie 1, exprimer l'énergie de la couche de stockage F2 seule,

Question 53. Tracer

en fonction des valeurs possibles de

. Identifier les états d'équilibre de l'aimantation, et distinguer les équilibres stables et instables.

Question 54. Exprimer la barrière d'énergie

, définie comme la différence d'énergie entre état instable et état stable.

La loi de Arrhenius donne le temps typique de commutation accidentelle de l'aimantation dûe aux fluctuations thermiques à la température

où

. Pour un bit donné, la probabilité de ne pas avoir commuté accidentellement pendant un temps

est

Question 55. Donner la probabilité

qu'un bit ait subit au moins une commutation accidentelle pendant un temps

Question 56. Pour un ensemble de

bits, donner la probabilité

qu'il y ait eu au moins une commutation accidentelle d'un des bits pendant un temps

Question 57. Pour un ensemble de

bits, donner l'expression du rapport

nécessaire pour que la probabilité qu'au moins une erreur survienne pendant un temps

soit inférieure à une certaine valeur

Question 58. Application numérique : pour une MRAM avec une capacité de 1 Gbit conservée à la température ambiante de 300 K pendant 10 ans , quelle doit être la valeur typique de

pour assurer que la probabilité qu'une erreur survienne sur un des bits soit inférieure à

Question 59. Application numérique : estimer le rayon minimal

d'une couche de stockage F2 cylindrique d'épaisseur

qui est ainsi nécessaire pour stocker un de ces bits.