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ENSAE Mathématiques MP 2002

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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2002
Filière
MP
Matière
Maths
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CONCOURS 2002 POUR LE RECRUTEMENT D'ELEVES NON FONCTIONNAIRES DE L'ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L'ADMINISTRATION ECONOMIQUE - OPTION MATHEMATIQUES.

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

Durée 4 heures

Ce sujet comporte cinq pages. Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations:

Dans tout le problème, désigne un espace de Banach réel, un convexe fermé, borné, non vide de . Une application (resp. ) est appelée une contraction si pour tous (resp. pour tous ), on a
Un point est dit fixe pour si . Si est une suite d'éléments de , on dira que cette suite est quasi-fixe pour si quand . L'objet de ce problème est d'étudier dans certains cas le comportement des suites quasi-fixes et l'existence de points fixes pour .

Première partie:

Dans cette partie, désigne une contraction de dans et a un élément fixé de .
Pour tout et tout , on pose:
  1. Montrer que pour tout , il existe tel que .
  2. Montrer que la suite ( ) est quasi-fixe pour .
  3. Dans cette question, on suppose que est compact. Montrer qu'il existe fixe pour .
  4. Soient ( ) et ( ) deux suites quasi-fixes pour et telles que:
et soit . Pour tout et pour tout , on pose:
a) Montrer que pour tout , il existe tel que .
b) Montrer que pour tout ,
c) Montrer que la suite ( ) est quasi-fixe pour et vérifie et .

Deuxième partie:

Dans cette partie, désigne l'espace des suites réelles telles que la série converge, muni de la norme:
et la boule unité fermée de . (On admettra que muni des opérations usuelles sur les suites et de la norme ci-dessus est un espace de Banach).
On considère une contraction de dans et une suite d'éléments de .
  1. Montrer, par récurrence sur , qu'il existe une suite d'applications strictement croissantes de telles que pour tout ,
    la suite converge dans .
  2. Montrer que la suite est une sous-suite de la suite et que pour tout , la suite réelle converge dans vers quand .
  3. On note la suite définie dans la question 2). Montrer que .
  4. Soit une suite d'éléments de telle que pour tout , la suite converge dans vers . Notons . On suppose que . Montrer que pour tout .
  5. Soit ( ) une suite d'éléments de vérifiant les hypothèses de la question 4) et quasifixe pour . Montrer, en utilisant (*), que .
  6. En déduire que possède un point fixe dans .

Troisième partie:

Dans cette partie désigne un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire , un convexe fermé, non vide de . Pour tout , on note dist , la distance de à .
  1. Soit ( ) une suite d'éléments de telle que dist ( ).
    a) Montrer que .
    b) En déduire que la suite ( ) converge vers un point vérifiant dist ( ). Montrer que est le seul point de vérifiant cette égalité.
    c) Montrer que pour tout et que cette inégalité caractérise parmi tous les éléments de .
Dans toute la suite on note et on appellera projection de sur le convexe cet élément.
d) Montrer que pour tous .
2) Dans cette question, désigne un sous-cspacc vectoriel fermé de . On note l'orthogonal de défini par
a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que .
c) Montrer que l'application est linéaire.
3) Dans cette question, désigne une forme linéaire continue et non nulle de dans et son noyau.
a) Montrer que est une droite vectorielle engendrée par un vecteur .
b) Montrer qu'il existe tel que pour tout , on ait .

Quatrième partie:

Dans cette partie désigne toujours un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire . Soient une suite bornée d'éléments de et . On dit que la suite converge faiblement dans vers si pour tout , on a . On note le plus petit sous-espace vectoriel fermé de contenant tous les termes de la suite .
  1. On suppose dans cette question que pour tout , la suite réelle converge. Montrer, en posant et en utilisant les résultats précédents que la suite converge faiblement dans .
  2. On suppose maintenant que pour tout , la suite réelle converge. Montrer que la suite converge faiblement dans .
  3. Montrer qu'il existe une suite d'éléments de dense dans .
  4. Montrer en utilisant les techniques de la deuxième partie que la suite possède une sous-suite telle que pour tout , la suite réelle converge.
  5. Conclure.

Cinquième partie:

Dans cette partie, désigne toujours un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire un convexe fermé, borné, non vide de et une contraction. désigne la projection de sur . Cette application est définie dans la troisième partie.
  1. Soit une contraction. Montrer que pour tous ,
  1. Soit ( ) une suite d'éléments de qui converge faiblement dans vers un élément . Supposons que dans . Montrer que . (On pourra appliquer l'inégalité (**) avec et ).
    3 ) Montrer qu'il existe tel que . (On pourra utiliser une suite quasi-fixe pour d'éléments de qui converge faiblement vers et utiliser la question précédente). En déduire que et .
  2. On note l'ensemble des points fixes de . Montrer que est un convexe fermé non vide de .
  3. On considère dans cette question deux contractions telles que . Montrer que et possèdent au moins un point fixe commun.
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