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ENSAE Mathématiques MP 2003

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Algèbre linéaireSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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2003
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Maths
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CONCOURS 2003 POUR LE RECRUTEMENT D'ELEVES NON FONCTIONNAIRES DE L'ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L'ADMINISTRATION ECONOMIQUE - OPTION MATHEMATIQUES -

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

Durée 4 heures

Si le candidat détecte ce qu'il pense être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations :

Dans tout le problème, le corps des scalaires ets et les espaces vectoriels sont de dimension finie. Si et sont deux espaces vectoriels normés, on note l'espace des applications linéaires de dans et on note la norme subordonnée (ou norme opérateur ou norme triple) usuelle de toute application continue . On note muni de la norme duale, c'est-à-dire de la norme subordonnée comme précédemment, où est muni de la valeur absolue.
Si et sont deux espaces vectoriels, désigne comme d'habitude l'ensemble des isomorphismes de sur .
On rappelle qu'une isométrie entre deux espaces vectoriels normés ( ) et ( ) est une application linéaire de dans qui conserve la norme : pour tout , . On dit que deux espaces vectoriels normés de dimension finie sont isométriques s'il existe une isométrie de l'un sur l'autre.
Soit une base d'un espace vectoriel de dimension ; on notera le déterminant dans la base de .

Partie I. Espaces et leur dual.

Dans cette partie, et sont deux réels strictement supérieurs à 1 vérifiant . Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
  1. Soient et deux réels positifs. Montrer que .
  2. Soient des réels. Montrer que :
On pourra d'abord envisager le cas où .
3) En déduire que pour tous réels , on a
  1. Soient des réels. Montrer que pour tout , on a :
Indication : et appliquer 2).
On pose et on désigne par l'espace muni de la norme . Pour , on définit comme l'espace muni de la norme .
5) a) Soit , justifier que est bien un espace vectoriel normé dont le dual est isométrique à .
Indication : on pourra considérer l'application de dans définie par .
b) Déterminer le dual de et celui de .

Partie II. Hahn-Banach fini-dimensionnel.

Soit un espace vectoriel normé de dimension finie. Soient un sous-espace vectoriel de , distinct de , et une forme linéaire sur .
  1. Soit un vecteur de n'appartenant pas à . On note .
    a) Montrer que
b) En déduire qu'il existe un réel tel que pour tout , on ait :
On pose pour , où et .
c) Montrer que est une forme linéaire continue sur dont la restriction à est et que .
2) Montrer qu'il existe une forme linéaire continue sur , dont la restriction à est , telle que .
3) Soit . Montrer que avec .

Partie III. Distance de Banach-Mazur. Généralités.

Soient et deux espaces vectoriels normés de même dimension finie. ON définit
  1. a) Montrer que .
    b) Montrer que .
  2. a) Montrer que la borne inférieur est atteinte.
    b) En déduire que et sont isométriques si et seulement si .
  3. Soient et trois espaces vectoriels normés de même dimension finie. Montrer que
  1. a) Soit . On définit , pour . Montrer que et que .
    b) En déduire que .

Partie IV. Distance de Banach-Mazur entre espaces .

On note (qui est muni de la norme ), où et . On note l'ensemble des applications de dans .
  1. Soit un entier supérieur ou égal à 1 . Montrer que pour tous , on a:
Soit un isomorphisme. On note ( ) la base canonique de et
  1. a) Montrer que .
    b) Montrer que .
  2. Montrer que .
  3. a) Montrer que pour tout et tout , on a : .
    b) Montrer que .
Indication : on pourra considérer l'identité sur .
c) Que se passe-t-il pour ?

Partie V. Distance de Banach-Mazur à .

Soit un entier supérieur ou égal à 1 et ( ) un espace vectoriel normé de dimension . On note la sphère unité de .
  1. Montrer qu'il existe vecteurs de de norme 1 et formes linéaires , de norme (opérateur) égale à 1 telles que pour tous , on ait si et 0 sinon.
    Indication : on pourra considérer l'application : à valeurs dans qui à un -uplet de vecteurs ( ) associe leur déterminant dans une base ; ainsi que l'application, à fixé et quand est non nul, qui à associe
  1. On pose pour tout . Montrer que est une norme sur et qu'en notant l'espace muni de cette norme, et sont isométriques.
  2. Montrer que .

Partie VI. Compact de Minkowski.

Soit un entier supérieur ou égal à 1 , on note l'ensemble des normes sur . On considère l'ensemble des espaces vectoriels normés ( ), où .
Pour et dans , on définit la relation si et sont isométriques.
  1. Montrer que est une relation d'équivalence sur . Justifier la notation (où , resp. , est la classe de , resp. de ) est cohérente.
    On note l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence.
    On note la boule unité (fermée) de l'espace et est l'espace des fonctions continues sur , à valeurs réelles, muni de la norme . On note l'ensemble des fonctions continues sur qui sont la restriction à d'une norme sur vérifiant pour tout et .
  2. a) Montrer que est une partie fermée bornée de .
    b) Montrer que pour tout , il existe tel que pour tout :
On admet dans la suite que ces deux résultats impliquent que est une partie compacte de (Th. d'Ascoli).
3) On considère l'application de dans qui à associe la classe de ( ), où est la norme associée à par définition de .
a) Montrer que est bien définie et surjectie.
b) Montrer que si converge vers dans alors .
4) En déduire que est un espace métrique compact.
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