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ENSAI Mathématiques 1 MP 2000

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsRéduction

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EPREUVE DE MATHEMATIQUE I - (4 H)

L'usage des calculatrices est interdit

L'énoncé original contient quelques erreurs qui ont été corrigées ici.

Soit

-espace vectoriel de dimension finie

. On note

l'ensembles des endomorphismes de

le groupe des endomorphismes bijectifs de

.
Pour

, une partie

est dite stable par

.
Un polynôme non nul de

est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1 .
On note

le polynôme minimal de

son polynôme caractéristique.
Un endomorphisme

est dit cyclique s'il existe un entier naturel non nul

et un vecteur

tels que :

soit une partie génératrice de

de cardinal

, stable par

, c'est à dire :

è é é à

Une telle partie

est nommée cycle de

et on dit alors que

est cyclique d'ordre

PARTIE I

Pour quel(s) entier(s) un projecteur peut-il être cyclique ? Comment s'écrit alors un cycle de ?
On considère la base canonique de .
a. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est :

Montrer que

est cyclique et expliciter un cycle de

.
Déterminer le rang de

. L'endomorphisme

est-il diagonalisable ?
b. Mêmes questions avec l'endorphisme

de matrice :

Soit cyclique d'ordre .
a. Justifier que .
b. Montrer que est au moins de rang .
Soit un endomorphisme cyclique et un cycle de .

Soit

le plus grand entier tel que la famille

soit libre.
a. Prouver que

.
b. En déduire que la famille

est une base de

.
c. Montrer que

.
5. Montrer que si

est bijectif et si

est un cycle de

, alors

.
6. Soit

l'endomorphisme de

de matrice dans la base canonique :

On suppose que 1 n'est pas valeur propre de

.
Déterminer les valeurs (si elles existent) de

pour que

soit cyclique d'ordre 2 .
7. Soit

. Soit

l'endomorphisme de

de matrice dans la base canonique :

Montrer que

est cyclique si et seulement si

PARTIE II

Dans cette partie on se propose de caractériser les endomorphismes cycliques inversibles.

Soit un endomrphisme cyclique et un cycle de .
a. Montrer que et en déduire que est diagonalisable.
b. Montrer que le polynôme d'après I.4c.) divise et que est le plus petit entier non nul tel que divise .
Réciproquement, on considère un endomorphisme bijectif tel que divise et soit le plus petit entier non nul tel que divise .
a. Montrer que . (On pourra utiliser la décomposition en facteurs irréductibles de et
b. Montrer que est diagonalisable.
c. Soit une base de vecteurs propres de et un vecteur de tel que .
Montrer que la famille ( ) est libre.
d. Montrer que est cyclique et que est un cycle.
Soit l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice :

a. Trouver un polynôme anulateur de degré 2 de

.
b.

est-il cyclique ?

PARTIE III

Dans cette partie on se propose de caractériser les endomorphismes cycliques non inversibles.

Soit cyclique d'ordre non inversible et un cycle de .
a. Vérifier que .
b. Montrer que .

Soit

tel que

.
c. Montrer que

.
d. Montrer que

d'après I.4.c.) est de la forme

où

est un polynôme qui divise

Réciproquement, soit

un endomorphisme de

un entier non nul tel que :

où

est un polynôme qui divise

et aucun des polynômes

pour

.
2. Montrer que si

est un polynôme constant, alors

est cyclique.

On suppose désormais que degré

.
3.a. Montrer que

.
b. Justifier que les sous-espaces

sont stables par

On note

les endomorphismes induits par

sur

.
4.a. Prouver que

est cyclique d'ordre

. Soit

un cycle de

.
b. Prouver que

engendre

.
5.a. Montrer que

et en déduire que

.
b. Montrer que

.
c. En déduire qu'il existe

tel que

est une base de

.
6. Soit

; montrer que

est un cycle de

.
7. Soit

l'endomorphisme de

canoniquement associé à la matrice :

où

. Montrer que

est cyclique et déterminer un cycle.