Les différentes parties sont dans une large mesure indépendantes.
L'objet du problème est l'étude d'une transformation qui, à certaines fonctions, associe une fonction numérique définie par une intégrale.

La première partie a pour objet l'étude de divers cas particuliers.
Dans la seconde partie, on étudie le cas particulier de fonctions périodiques, ce qui conduit à étendre la définition de la transformation.

Dans la troisième partie, on prouve le caractère

de la transformée.
Dans la dernière partie, on étudie le comportement en 0 de la transformée en fonction de diverses hypothèses faites sur la fonction d'origine.

Dans tout le problème on désigne par

l'ensemble des fonctions

telles que :

est continue sur ,
est intégrable sur ,
est intégrable sur .

PARTIE I

Soit un élément de et un réel strictement positif; prouver que la fonction est intégrable sur .
On définit pour et , la fonction par:

Déterminer si les fonctions suivantes sont dans :
a. ;
b. .
Dans cette question, on considère la fonction .
a. Justifier que et que .

On pose

.
b. Montrer que

est de classe

sur

.
c. Calculer

pour

.
d. En déduire

.
e. Montrer que la fonction

est intégrable sur

, et en utilisant les questions précédentes, calculer l'intégrale :

Dans cette question, on considère .
a. Justifier que .

Pour

, on pose

.
b. Montrer que

. (On pourra utiliser le changement de variable

.)
c. Montrer que

est bornée sur

.
d. Prouver que sur

on a :

En déduire que

est solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre que l'on déterminera.

. Déterminer explicitement

puis

PARTIE II

Dans cette partie,

est une fonction non nulle définie sur

, continue, périodique de période

Étudier la convergence de la série de terme général :

En déduire que .
On pose et .

Prouver que si

, on a, au voisinage de

.
4. Prouver que si

, l'intégrale :

n 'a pas de limite finie lorsque

tend vers

. (On pourra effectuer une intégration par parties.)
5. Prouver en revanche que si

, cette limite existe.

PARTIE III

Déterminer deux nombres complexes et tels que, pour tout couple de réels :

En déduire que pour tout couple de réels

, on a pour tout

Prouver que, pour toute fonction de , la fonction définie au I.1. est de classe et que l'on a pour tout entier :

Pour , on note la fonction définie sur par :

Montrer que

est continue sur

.
2. Dans cette question,

désigne une fonction de classe

sur

telle que

et dont la restriction à

est un élément de

.
Trouver un équivalent simple de

lorsque

tend vers

. (On pourra intégrer par parties l'intégrale

.)
3. Dans cette question,

désigne un élément de

tel qu'on ait en

.
a. Calculer

.
b. En déduire que