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ENSAI Mathématiques 2 MP 2001

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Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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2001
Filière
MP
Matière
Maths
Autres MPAutres 2001MP MathsMaths 2001
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concours d'élève titulaire de I'ENSAI concours externe d'attaché de I'INSEE

AVRIL 2001
Option A. - MATHÉMATIQUES

deuxième composition de mathématiques
Durée : 4 heures
L'usage des calculatrices est interdit
Le sujet comprend 3 pages (y compris celle-ci).
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Soit une suite de nombres réels . On lui associe la suite des sommes partielles, et les deux fonctions et définies par :
On dira que la suite est B -sommable si la fonction est définie sur et si appartient à . Si est B-sommable, on pose alors : .
On dira que la suite ( ) est C -sommable si la fonction est définie sur et si existe dans . Si est C-sommable, on pose alors : , limite qu'on notera «de manière impropre» .

PARTIE I

  1. On considère la suite telle que pour tout .
    a. La suite ( ) est-elle B-sommable ?
    b. La suite ( ) est-elle C -sommable ?
  2. Soit a un réel non nul. On considère la suite ( ) définie par : .
    . Étudier suivant les valeurs de la B -sommabilité de la suite . Pour les valeurs de telles que la suite ( ) est B-sommable, calculer .
    b. Étudier suivant les valeurs de la C -sommabilité de la suite . Pour les valeurs de telles que la suite ( ) est C -sommable, calculer .

PARTIE II

Si la suite ( ) est convergente, on pose : .
  1. On considère une suite ( ) bornée. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction .
  2. On considère une suite telle que la série est convergente. Déterminer l'ensemble de définition
    des fonctions et .
  3. On suppose que la série ( ) est convergente, de somme . Prouver que l'on a . On pourra commencer par le cas .
  4. Dans le cas où ( ) est une série absolument convergente, montrer que : .
  5. Donner un exemple d'une suite ( ) qui est C -sommable et telle que la série ( ) diverge.
  6. Dans cette question, on suppose que la série ( ) est convergente. On pose :
a. Montrer que est définie et dérivable sur .
b. En déduire que on a: .
c. Prouver l'égalité .
7. Soit la somme de la série entière de rayon de convergence .
Montrer que la série entière a pour rayon de convergence .
On notera sa somme, et l'on pose .
8. Montrer que pour tout tel que alors .

PARTIE III

On note pour et .
1.a. Montrer que la fonction est développable en série entière au voisinagc de 0 .
b. Soit son développement en série entière. Préciser son rayon de convergence.
2.a. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
b. Exprimer la somme de cette série entière à l'aide de fonctions usuelles.
3.a. Montrer que pour :
b. Montrer que :
  1. On note .
Montrer que :
5.a. Montrer que la fonction est de classe sur , et qu'elle est solution de l'équation différentielle:
b. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation ( ) sur .
c. En déduirc la valcur de .
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