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Mines Mathématiques 1 MP MPI 2025

Inégalité de Khintchine

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales généraliséesTopologie/EVN
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Mines
Année
2025
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Mines MP/MPIMines 2025MP/MPI MathsMaths 2025
2025_08_29_f93f7e8b106b6dfaea2ag

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

  • Dans tout le sujet, est un entier naturel fixé non nul.
  • Dans tout le sujet, ( ) est un espace probabilisé fini.
  • On note le -espace vectoriel des variables aléatoires réelles definies sur . On notera que si est une partie finie de . On confondra systématiquement variable aléatoire nulle et variable aléatoire presque sûrement nulle.
  • Si , on note son espérance.
  • Une variable aléatoire suit une loi de Rademacher si :
  • Si et , on note . On admet que l'application est alors une norme sur .
  • Si et , on définit la quantité par :
On admet que l'application est une norme sur .
  • On note l'ensemble des suites de nulles à partir d'un certain rang. On admet alors que l'application définie par
est un produit scalaire sur .

Inégalité de Hölder

Soient tels que . Soient que l'on suppose toutes les deux positives.
1 - Montrer que
En déduire l'inégalité suivante (inégalité de Hölder) :
On pourra commencer par traiter le cas où .
Quelle inégalité retrouve-t-on lorsque ? En donner alors une preuve directe.

Une inégalité de déviation

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher.
Montrer que
Montrer que : pour tout , pour tout ,
En déduire que : pour tout , pour tout et pour tout ,
On pourra utiliser l'inégalité de Markov.
Montrer que : pour tout et pour tout non nul,

Inégalités de Khintchine

Soit . Soit une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher. Soit .
Soit une variable aléatoire réelle positive et finie. Soit la fonction définie pour tout , par
Montrer que l'intégrale converge, puis que
On suppose dans cette question que . Montrer que l'intégrale converge, puis que
Montrer que
En déduire qu'il existe un réel tel que
On suppose . Montrer que
Dans les questions numérotées de à , on suppose .
Justifier qu'il existe tel que .
14
Montrer que
Montrer qu'il existe tel que
En déduire qu'il existe un réel tel que

Une première conséquence

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une loi de Rademacher.
Montrer que l'application définie sur par
est un produit scalaire sur .
Soit l'application . Montrer que prend ses valeurs dans , puis que conserve le produit scalaire.
On note . Montrer que pour tous , les normes et sont équivalentes sur .

Une deuxième conséquence

Dans cette partie, on suppose que est une puissance de 2 : on écrit avec .
Soit . Montrer que
On pourra utiliser les questions 11 et 16.
En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel de dimension de tel que :
En ordonnant les éléments de de manière arbitraire, on pourra utiliser l'application définie sur par .

Fin du problème

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