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Mines Mathématiques 1 MP 2003

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionAlgèbre linéaire
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Banque
Mines
Année
2003
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2003MP MathsMaths 2003
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A 2003 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÊRE ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP. Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Première partie

Le but de cette première partie est d'établir des résultats qui seront utiles dans la seconde partie.
Étant donné un entier strictement positif ( ), soient et les deux réels définis par les relations ci-dessous :
Intégrale .
  1. Calculer, pour toute valeur de l'entier strictement positif , l'intégrale .
  2. Déterminer les constantes et figurant dans le développement limité de la fonction à l'infini qui s'écrit sous la forme suivante :
Somme :
3. Établir un encadrement du réel à l'aide de .
4. En déduire que la somme est équivalente à l'infini à .
Soit l'intégrale suivante :

Intégrale :

  1. Déterminer la relation qui lie l'intégrale au réel . En déduire, lorsque l'entier croît indéfiniment, un équivalent de à l'infini.

Seconde partie

Soit un espace préhilbertien réel ; soit le produit scalaire de cet espace. La norme d'un vecteur de , déduite de ce produit scalaire est notée .
Étant donné un réel supérieur ou égal à , une suite de vecteurs d'un espace euclidien , de dimension finie est dite -presque orthogonale (en abrégé -p.o.) si et seulement si :
i. les vecteurs sont de norme unité,
ii. pour toute suite finie de réels la norme du vecteur vérifie la double inégalité suivante :
Plus généralement : une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien réel est dite presque orthogonale (p. o.), si et seulement s'il existe un réel tel que, pour tout entier strictement positif, pour toute suite extraite de la suite et pour toute suite finie de réels , la norme du vecteur vérifie la relation suivante :
Remarque: la suite des indices de la suite extraite , est une suite monotone strictement croissante .

Premières propriétés :

Soit un espace euclidien de dimension .
6. Démontrer que, pour qu'une suite de vecteurs soit une base orthonormée de , il faut et il suffit qu'elle soit une suite 1-presque orthogonale.
7. Démontrer que, si une suite de vecteurs de est -presque orthogonale, la suite est libre.
Un exemple :
Soit l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le segment ; le produit scalaire de deux fonctions et de est défini par la relation suivante :
Soit la suite des fonctions de définies par la relation suivante :
  1. Démontrer que, bien que la suite des fonctions de norme unité soit libre, la suite n'est pas presque orthogonale.
Soit ( ) une suite libre de vecteurs indépendants unitaires d'un espace euclidien de dimension . Soit la matrice carrée d'ordre dont les éléments sont égaux aux produits scalaires des vecteurs et .
Étant donnée une suite de réels , soit le vecteur de de coordonnées et W le vecteur égal à la combinaison linéaire des vecteurs avec les coefficients :
La suite de vecteurs est -presque orthogonale :
9. Démontrer l'existence d'une matrice carrée orthogonale et d'une matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale sont différents de 0 , telles que :
  1. Établir la relation qui lie la norme du vecteur au réel désigne la matrice transposée de la matrice colonne .
  2. En déduire que les éléments de la matrice sont strictement positifs, puis en déduire un encadrement de la norme du vecteur à l'aide des valeurs propres de la matrice et de la norme du vecteur égal à l'image par la matrice du vecteur .
  3. En déduire que la suite est -presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réel .
Soit maintenant une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien réel .

Une condition suffisante :

  1. Démontrer que, s'il existe un réel , strictement supérieur à , tel que le produit scalaire de deux vecteurs et soit majoré en valeur absolue par le réel , c'est-à-dire :
la suite est presque orthogonale.

Deux questions préliminaires :

  1. Soit la fonction définie dans le quart de plan par la relation suivante :
Soit la fonction, définie sur la demi-droite [ [, par la relation suivante :
Étudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée par les relations suivantes:
  1. Soit un réel strictement compris entre 0 et . Démontrer l'existence d'une fonction , définie sur la demi-droite fermée , telle que, pour tout réel de la demi-droite , la relation ci-dessous soit vérifiée :
Démontrer l'existence d'un réel tel que la fonction , définie ci-dessus, prenne la valeur en ce point : . Démontrer que ce réel est strictement supérieur à 1 et est un minorant de l'image par de la demi-droite fermée .
Soit une suite extraite de la suite des polynômes considérés à la question 8. L'application est une suite strictement croissante. Pour simplifier les notations, soit le polynôme :
Étude de la suite :
16. On choisit une suite telle que la suite soit presque orthogonale.
Démontrer que le réel entrant dans la définition de la presque orthogonalité est strictement supérieur à .
Démontrer qu'il existe un réel , strictement supérieur à , tel que, pour tout indice , les indices et soient liés par la relation suivante:
FIN DU PROBLÈME
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