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Mines Mathématiques 1 MP 2006

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Algèbre linéaireTopologie/EVNRéduction
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Mines
Année
2006
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2006MP MathsMaths 2006
2025_08_29_3b5a31d8c6563fc2e798g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Pour ou , on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans . Un élément de sera considéré comme élément de . Dans la suite, on identifie les matrices carrées (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respectivement les vecteurs) canoniquement associés dans : par exemple, on note par la même lettre une matrice de et l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique de .
Si et désigne la -ième composante du vecteur . On note la matrice identité de . Pour , on note
pour , la norme matricielle subordonnée.
Définition 1 On dit qu'une matrice , de coefficients notés ( ), est positive (respectivement strictement positive), ce que l'on note (respectivement ), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs):
Pour deux matrices et de (respectivement ) lorsque (respectivement ).
Une matrice de coefficients notés ( ) est dite stochastique lorsqu'elle est positive et que de plus
On définit les ensembles et par:
Nous souhaitons montrer le résultat suivant:
Théorème 1 (Perron-Frobenius) Soit stochastique telle que . Il existe un vecteur strictement positif satisfaisant . Toutes les valeurs propres de sont de module inférieur à 1 et pour tout vecteur de ,

Les deux parties sont dans une large mesure indépendantes.

I Un vecteur propre strictement positif

On suppose que est un élément positif de tel que
  1. Montrer que pour tout , l'ensemble est non vide, fermé et borné.
On note son plus grand élément.
2) Montrer que pour tout , on peut calculer de la manière suivante:
On note l'application de dans qui à associe .
3) Montrer que pour tout et tout .
4) Montrer que .
5) Montrer que pour tout et .
6) Soit un vecteur propre de . Montrer que .
7) Soit tel que , montrer que est un vecteur propre de pour la valeur propre .
8) Soit . Montrer que l'application est continue de dans .
9) Justifier l'existence de tel que .
10) Montrer que .
11) Montrer que .
12) Montrer que et que .
On pose .
13) Montrer que est un vecteur propre, strictement positif, de pour la valeur propre et que .

II Une méthode d'approximation

On suppose maintenant que est stochastique et telle que est strictement positive.
Pour un vecteur de , on note le vecteur , où est le module du complexe . Pour tout entier , on pose
  1. Soit et un vecteur propre de pour la valeur propre . Montrer que .
  2. En déduire que .
  3. Montrer que et en déduire que .
  4. En déduire .
  5. Montrer que pour tout et sont des matrices stochastiques.
  6. Établir, pour tout , les inégalités suivantes:
  1. Montrer que pour tout .
  2. Soit , montrer que la suite ( ) a au moins une valeur d'adhérence.
  3. Soit une valeur d'adhérence de la suite ( ), montrer que et que pour tout .
  4. Soit et deux valeurs d'adhérence de ( ), montrer pour tous les entiers et , l'identité suivante:
  1. Montrer que la suite ( ) a exactement une valeur d'adhérence.
  2. Montrer qu'il existe une matrice telle que pour tout et .
  3. Montrer que et commutent.
  4. Montrer que et .
  5. Caractériser en fonction de et .
  6. On admet que est de dimension 1 . Pour , expliciter en fonction de et .

FIN DU PROBLÈME

Ce théorème possède d'innombrables applications. L'une des dernières est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectué par le plus connu des moteurs de recherche.
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