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Mines Mathématiques 1 MP 2008

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNRéduction
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Mines
Année
2008
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2008MP MathsMaths 2008
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité d'Alexandrov

Dans tout ce problème, est un entier au moins égal à 1 . On note le groupe des permutations de .
On note l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes, à coefficients réels. Pour une matrice de coefficients , on notera le -ème vecteur colonne de , celui dont les composantes sont ( ). On écrira ainsi
On remarquera que est indifféremment le coefficient en ligne et colonne de ainsi que la -ième composante de . On identifiera une matrice colonne et le vecteur de dont les composantes dans la base canonique de sont les coefficients de . On note la norme euclidienne de et représente le produit scalaire euclidien de deux vecteurs de . On note la sphère unité de , c'est-à-dire
Pour une matrice , pour et éléments de , on note la matrice obtenue en supprimant de la -ème ligne et la -ième colonne. Pour un vecteur colonne représente le vecteur colonne duquel on a ôté la -ième composante.
Soit une matrice symétrique réelle de . On note la forme bilinéaire associée : pour tout et de ,
et on note la forme quadratique associée : .
Définition 1. Soit un sous-espace vectoriel de , on dira que est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) sur lorsque
(respectivement , respectivement ). On notera (respectivement , respectivement ) l'ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose
avec la convention que .

I Permanents

Définition 2. Pour , on définit son permanent, noté per, par
On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c'est-à-dire invariante par permutation des vecteurs.
  1. Établir pour tous éléments de , l'inégalité
  1. Pour et éléments de , établir l'inégalité suivante :
où l'on convient que
  1. Montrer la propriété suivante : pour tout ,

II Formes quadratiques

Dans toute cette partie, est une matrice symétrique réelle inversible. On note la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, le nombre de termes strictement positifs dans et le nombre de termes strictement négatifs dans .
4. Soit et , montrer que et sont en somme directe et que .
5. Montrer que .
On a alors de même .
6. Montrer que et que .
Soit une autre matrice symétrique réelle inversible de taille telle qu'il existe une constante satisfaisant la propriété suivante : pour tout et de ,
  1. Montrer qu'il existe tel que si .

III Espaces de Lorentz

Définition 3. Soit , une matrice symétrique et la forme quadratique associée. On dit que ( ) est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :
i) est inversible,
ii) et .
On suppose dans cette partie que est telle que ( ) soit un espace de Lorentz. Soit un vecteur tel que et . Soit l'application définie par
  1. On suppose, dans cette question, que et sont linéairement indépendants. Montrer qu'il existe au moins une valeur de telle que
  1. Établir la propriété :
avec égalité si et seulement si et sont colinéaires.
On pourra s'inspirer de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

IV Inégalité d'Alexandrov

On veut maintenant établir le théorème suivant. On note ( ) la base canonique de .
Théorème 1. Soit un entier supérieur à 2. Soit des éléments de à composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les coefficients sont définis par
Soit et les formes bilinéaires et quadratiques associées à respectivement. L'espace ( ) est un espace de Lorentz.
10. Calculer et pour , c'est-à-dire pour
On suppose le théorème 1 établi pour tout .
11. Établir pour tout de l'inégalité :
avec égalité si et seulement si et sont colinéaires.
Dans les questions 12 et est un élément de tel que .
12. Établir l'identité :
  1. Montrer que pour tout ,
  1. En déduire si et seulement si .
Soit , pour tout appartenant à , on pose
On note et la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétrique .
15. Expliciter . Montrer que ses valeurs propres sont ! et ! et que
  1. Soit et deux éléments distincts de . Montrer que, pour tout et tout de ,
  1. Établir que et .
On pourra raisonner par l'absurde et considérer .
18. Établir l'inégalité d'Alexandrov qui stipule que pour vecteurs de à coordonnées strictement positives et vecteur quelconque de ,

Fin du problème

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