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Mines Mathématiques 1 MP 2011

Critère de diagonalisation de Klarès

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Algèbre linéaireRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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Mines
Année
2011
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2011MP MathsMaths 2011
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2011

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soit un entier naturel non nul et l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes. On note la matrice nulle et la matrice identité de . La trace d'une matrice de est notée . On dit que deux matrices et de commutent si . Une matrice de est dite nilpotente s'il existe un entier pour lequel .
Dans tout le problème, on considère une matrice de et on note l'endomorphisme de canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de est . Le polynôme caractéristique de est noté et les valeurs propres complexes distinctes de sont notées . Pour tout on note:
  • l'ordre de multiplicité de la valeur propre , c'est-à-dire l'ordre de multiplicité de la racine du polynôme ;
  • le polynôme défini par ;
  • le sous-espace vectoriel de défini par ;
  • l'endomorphisme de obtenu par restriction de à .
La partie B, à l'exception de la question 11), est indépendante de la partie A. La partie C est indépendante des parties précédentes.

A. Décomposition de Dunford

  1. Justifier que l'espace vectoriel est somme directe des espaces :
  1. En considérant une base de adaptée à la somme directe précédente, montrer que pour tout , le polynôme caractéristique de est . (On pourra d'abord établir que est un polynôme annulateur de .)
  2. Montrer qu'il existe une matrice inversible de telle que soit une matrice définie par blocs de la forme suivante :
où est nilpotente pour tout .
4) En déduire que la matrice s'écrit sous la forme , où est une matrice diagonalisable et une matrice nilpotente de qui commutent.
Les matrices et vérifiant ces conditions constituent la décomposition de Dunford de la matrice . Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité de cette décomposition, c'est-à-dire que et sont déterminées de façon unique par .
Un exemple pour :
5) Calculer la décomposition de Dunford de .

B. Commutation et conjugaison

Pour toute matrice et toute matrice inversible de , on note et les endomorphismes de définis par:
Le but de cette partie est de démontrer que est diagonalisable si et seulement si comm est diagonalisable.
6) Soit une matrice inversible de . Calculer .
Pour tous , on note la matrice de dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la -ème ligne et de la -ème colonne qui est égal à 1 .
7) Si est une matrice diagonale, montrer que pour tous , admet comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de .
8) En déduire que si est diagonalisable, l'est aussi.
9) Montrer que si est nilpotente, comm l'est également, c'est-à-dire qu'il existe un entier pour lequel est l'endomorphisme nul de .
10) Montrer que si est nilpotente, et si est l'endomorphisme nul, alors est la matrice nulle.
D'après la partie A , l'endomorphisme admet une décomposition de Dunford de la forme , où les endomorphismes diagonalisable et nilpotent commutent : .
11) Déterminer la décomposition de Dunford de à l'aide de celle de et conclure.

C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe

Soit un entier et un espace vectoriel de dimension sur . On note le dual de , c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur .
On considère une forme bilinéaire symétrique sur , c'est-à-dire une application linéaire par rapport à chacune de ses deux composantes (et non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que pour tous . Si est un sous-espace vectoriel de , on appelle orthogonal de relativement à le sous-espace vectoriel de défini par
On suppose que est non dégénérée, c'est-à-dire que .
12) Soit un endomorphisme de . Démontrer les implications suivantes:
(i) est diagonalisable (ii) (iii) .
Soit un sous-espace vectoriel de , de dimension , et soit une base de . Pour tout , on note la forme linéaire sur définie par .
13) Montrer que ( ) est une famille libre de .
On complète cette famille libre en une base ( ) de et on note ( ) la base de antéduale (dont ( ) est la base duale).
14) Montrer que est engendré par ( ), et en déduire la valeur .

D. Critère de Klarès

Le but de cette partie est de démontrer que la matrice est diagonalisable si et seulement si .
15) Montrer que l'application de dans , définie par la formule pour tous , est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
16) Établir l'égalité .
17) En déduire que si est nilpotente, il existe une matrice de telle que . Calculer alors pour tout .
Soit et les matrices de la décomposition de Dunford de définies à la question 4).
18) Démontrer qu'il existe une matrice de telle que .
19) Conclure.
Fin du problème
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