Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Opérateur de Volterra et équations différentielles

L'objectif de ce problème est l'étude d'un opérateur de Volterra appliqué notamment à la résolution de certaines équations différentielles.

On considère l'espace vectoriel

des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle

, muni du produit scalaire défini pour tous

dans

par :

On note

la norme associée à ce produit scalaire. Un endomorphisme

de l'espace

est dit symétrique défini positif si pour tous

dans

, on a

et si de plus,

pour tout

non nul.

Les parties et sont mutuellement indépendantes.

A. Opérateur de Volterra

On note

les endomorphismes de

défini par les formules :

pour tous

En observant que et sont des primitives de , montrer que pour tous dans , on a .
Montrer que l'endomorphisme est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.

Soit

une valeur propre de

un vecteur propre associé à

.
3) Montrer que

est de classe

et est solution de l'équation différentielle:

avec les conditions

.
4) En déduire que

est une valeur propre de

si et seulement s'il existe

tel que

. Préciser alors les vecteurs propres associés.

B. Théorème d'approximation de Weierstrass

Soit

un entier strictement positif,

une fonction continue. On note

des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la loi de Bernoulli de paramètre

. On note également

.
5) Rappeler, sans démonstration, la loi de

. En déduire, avec démonstration, les valeurs de l'espérance et de la variance de

en fonction de

et de

.
6) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout

Montrer que :

et en déduire que la suite

converge uniformément vers

sur

. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème de Heine.

On a donc établi le théorème d'approximation de Weierstrass sur le segment

: toute fonction continue sur

y est limite uniforme d'une suite de polynômes. On en déduit aisément, et on l'admet, le théorème d'approximation de Weierstrass sur un segment quelconque

C. Développement de en série trigonométrique

On considère maintenant l'espace vectoriel

des fonctions réelles définies et continues sur l'intervalle

, muni du produit scalaire défini pour tous

dans

par :

On note

la norme associée à ce produit scalaire.
Pour

, on définit la fonction

par la formule

et on note

le sous-espace vectoriel de G engendré par

. On note également

la projection orthogonale de

sur

.
8) Montrer que si

est un polynôme de degré

, la fonction

définie sur

appartient à

.
9) Trouver une suite

de nombres réels strictement positifs telle que la suite

soit orthonormée. Déduire du théorème d'approximation de Weierstrass que la suite orthonormée

est totale.
10) Soit

. Démontrer que

tend vers 0 lorsque

tend vers l'infini. Si, de plus, la suite

converge uniformément sur

vers une fonction

, montrer que

.
Pour tout

, on définit la fonction

sur

par la formule :

Soit . Déterminer les coordonnées de sur la base de . En déduire que pour tout :

Montrer que pour tous et :

et en déduire la suite des coefficients

pour laquelle on a:

D. Équations différentielles du type Sturm-Liouville

Soit

et l'équation différentielle:

On définit

pour tout

par la formule

.
13) Montrer que pour tous

.
14) Montrer que

est solution de l'équation différentielle

si et seulement si

et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout

On suppose dans cette question que n'est pas égal au carré d'un entier impair. Montrer que la série :

est normalement convergente. Exhiber alors une solution de

.
On suppose maintenant qu'il existe

tel que

.
16) Montrer que si

alors

a une infinité de solutions, puis exhiber l'une d'entre elles. Que peut-on dire si

Fin du problème