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Mines Mathématiques 1 MP 2017
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresPolynômes et fractions
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve :
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.
Abstract
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Étude d'un endormorphisme d'un espace de fonctions numériques
Soit
-
le -espace vectoriel constitué des applications de dans de classe ; -
la partie de constituée de ses éléments développables en série entière sur un voisinage de 0 ; -
la partie de constituée de ses éléments polynomiaux.
Pour tout
et si
Les candidats devront justifier leurs affirmations.
A Préliminaires
- Justifier que
et sont des sous-espaces vectoriels de . - Montrer que si
et sont bien définies et appartiennent à , et que l'on définit ainsi des endomorphismes et de . - Montrer que
est stable par et par . - Établir pour
une relation simple entre et . En déduire que pour tout ,
- Montrer que la suite
est strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.
B Étude de la continuité de
On considère la norme
- Vérifier que
est bien définie et montrer que est une application continue de l'espace vectoriel normé ( ) dans lui-même. - L'application
est-elle continue de ( ) dans lui-même ? - Vérifier que l'application
définie par est une norme sur , et montrer que est continue de dans . Les normes et sont-elles équivalentes? - Si
et , montrer qu'il existe tel que et pour tout . En déduire que est dense dans l'espace vectoriel normé .
C Étude de l'inversibilité de
- Déterminer les restrictions de
et à . - Déterminer
pour tout . Le réel 0 est-il valeur propre de l'endomorphisme ? - Déterminer également
pour tout . Conclure.
Applications.
- Pour tout
, donner une relation liant et . Calculer à l'aide du changement de variable et en déduire . - Montrer que
est paire (respectivement impaire) si et seulement si l'est. Qu'en est-il pour ?
D Étude des valeurs et vecteurs propres de
- Montrer que
est une valeur propre de si et seulement si est une valeur propre de . Qu'en est-il des vecteurs propres correspondants? - Montrer que
est stable par . L'est-il par ?
On considère une valeur propre
17. Vérifier que si
17. Vérifier que si
En déduire que
18. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de
19. L'espace vectoriel
18. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de
19. L'espace vectoriel