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Mines Mathématiques 1 MP 2019

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Séries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
Mines
Année
2019
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2019MP MathsMaths 2019
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à l'équation d'Airy

Soit un entier naturel non nul et un nombre réel. On considère la fonction définie sur par la série entière
L'objectif, dans les parties A et B du problème, est d'établir l'équivalence suivante quand :
Cet énoncé est noté ( ). Dans la partie C , on applique ce résultat à l'étude asymptotique d'une solution particulière de l'équation d'Airy.
  1. Question préliminaire. Justifier que la série entière a pour rayon de convergence . Qu'en est-il de la série entière ?

A Équivalence entre ( ) et ( ) lorsque

On suppose dans cette partie que et , et on se propose de montrer que les énoncés ( ) et ( ) sont équivalents. Pour tous et , on pose
  1. Pour fixé, étudier le signe de la fonction
En déduire que s'annule en un unique élément de [ [ que l'on note . Montrer que la suite finie est croissante et que la suite infinie est décroissante, où désigne la partie entière du nombre réel .
L'ensemble admet donc un maximum égal à . Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté .
3. Pour tout , déterminer la limite de quand tend vers . En déduire que tend vers zéro lorsque . (On pourra s'aider de la définition d'une limite.)
4. Montrer que pour tout entier relatif lorsque . En déduire que pour tout et pour tout au voisinage de ,
  1. En déduire que pour tout entier relatif ,
quand . Montrer alors que
(On pourra d'abord démontrer que, pour assez grand, pour un entier compris entre et .)
6. Soit un nombre complexe tel que et . Pour tout entier naturel non nul, on pose
Pour tout nombre réel , comparer à la somme
En déduire que pour tout au voisinage de et conclure que lorsque ,
  1. On pose . Pour tout réel , montrer que
et en déduire que les énoncés ( ) et ( ) sont équivalents.

B Une démonstration probabiliste

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé ( ), une famille de variables aléatoires à valeurs dans telle que suive la loi de Poisson de paramètre pour tout réel . On fixe de telles données dans l'intégralité de cette partie.
Soit un réel . On pose
et on se propose de démontrer que lorsque .
8. Pour tout réel , montrer que quand .
9. Montrer que, pour tout réel , les variables aléatoires
sont d'espérance finie et trouver les limites de et de lorsque .
Soit un entier naturel strictement positif.
10. Montrer que pour tout réel , la variable aléatoire
est d'espérance finie et que
Déduire alors de la question 8 que quand .
11. Montrer qu'il existe des réels tels que pour tout réel ,
et en déduire la limite de lorsque .
12. Démontrer que quand . En déduire que quand et conclure à la validité de l'énoncé .
En combinant les résultats des deux parties précédentes, nous concluons à la validité de ( ) pour tout entier naturel et tout réel . Dans la suite du sujet, nous aurons besoin du résultat classique suivant, que nous admettrons :
Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit et deux suites à termes réels. On suppose que :
(i) la série entière a pour rayon de convergence ;
(ii) les suites et sont équivalentes;
(iii) il existe un rang tel que pour tout , on a .
Alors la série entière a pour rayon de convergence et
Soit un entier naturel et un nombre réel .
13. En remarquant que pour tout réel ,
déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que
En déduire que ( ) implique ( ) et conclure à la validité de ( ).

C Application à l'équation d'Airy

L'équation différentielle d'Airy (Ai) est définie par
  1. Question préliminaire. Soit un réel . Pour tout entier , on pose . Établir la convergence de la série , et en déduire l'existence d'un réel vérifiant la formule d'Euler :
  1. Justifier qu'il existe une unique solution de (Ai) sur vérifiant et .
  2. Expliciter une suite telle que pout tout réel .
  3. Démontrer que puis que lorsque .
  4. En déduire une constante , que l'on exprimera à l'aide de , telle que

Fin du problème

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