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Mines Mathématiques 1 MP 2021

Théorème de De Moivre-Laplace

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommables
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Mines
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2021MP MathsMaths 2021
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le problème :
  • Par convention .
  • Si et sont des entiers naturels tels que , on note l'ensemble des entiers tels que .
  • et sont des réels tels que .
  • Si est un réel, on définit :
  • est un réel de et .
  • est la fonction de dans définie par :
  • est la fonction de dans définie par :
  • est un espace probabilisé.
  • est une suite de variables aléatoires définies sur telle que, pour tout suit la loi binomiale de paramètres et , ce que l'on note .

Résultats préliminaires

Rappeler la formule de Stirling. En déduire l'existence d'une suite réelle convergeant vers 0 telle que :
Soit et . Démontrer que :
Prouver que l'intégrale converge.
Démontrer que :

Étude asymptotique d'une suite

Dans cette partie, si , on note le nombre entier et le réel .
Justifier que est le plus grand élément de .
Vérifier que et .
Établir alors :
Montrer que, pour tout entier
Montrer que la suite converge.

Convergence en loi

Dans toute la suite, pour tout , on note et on définit les réels par la relation :
Soit . Déterminer la loi de et vérifier que est une variable aléatoire centrée réduite.
Justifier l'existence d'un élément tel que :
On définit les suites et , de fonctions de dans de la façon suivante : pour tout , pour tout ,
Démontrer que pour tout est une fonction en escalier croissante vérifiant :
Démontrer que converge simplement vers une fonction que l'on précisera.
Montrer que :
puis vérifier que
Prouver que, pour tout , pour tout :
où est la suite définie à la question 1 .
Justifier que, pour tout :
Montrer que pour tout et pour tout tels que
Démontrer que :
En conclure que :
puis que :
Déduire de tout ce qui précède que :
puis que :

Applications

Montrer que :
puis en déduire la valeur de .
Les suites et sont-elles convergentes? En préciser les limites éventuelles.

Généralisation

Soit une fonction de dans , de classe et telle que ne s'annule pas sur . Pour tout , on note .
Montrer que, si , il existe une unique fonction continue sur telle que:
pour tout , si , alors , où désigne l'ensemble constitué des réels, de et de .
Que dire si l'on ne suppose plus ?

Fin du problème

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