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Mines Mathématiques 1 PC 2001

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Mines
Année
2001
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2001PC MathsMaths 2001
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

NOTATIONS

Soit un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel est désigné par . Soit un endomorphisme de l'espace vectoriel ; l'endomorphisme noté , où est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité si l'entier est nul, l'endomorphisme obtenu en composant -fois avec lui-même si l'entier est supérieur ou égal à 1:
Soit l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel , soit l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à :
Soit l'endomorphisme de l'espace vectoriel qui, au polynôme , fait correspondre le polynôme dérivé . De même, soit l'endomorphisme de l'espace vectoriel qui, au polynôme , fait correspondre le polynôme dérivé .
L'objet du problème est de rechercher des réels pour lesquels l'endomorphisme est égal au composé d'un endomorphisme de l'espace vectoriel avec lui-même ; ainsi que des réels pour lesquels l'endomorphisme est égal au composé d'un endomorphisme de l'espace vectoriel avec lui-même.

Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des première et deuxième parties ainsi que des préliminaires.

PRÉLIMINAIRES

Noyaux itérés :

Soient un espace vectoriel réel et un endomorphisme de .
a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes est une suite de sous-espaces vectoriels de emboitée croissante :
b. Démontrer que, s'il existe un entier tel que les noyaux des endomorphismes et soient égaux ( ), pour tout entier supérieur ou égal à , les noyaux des endomorphismes et sont égaux ( ) ; en déduire la propriété suivante :
ééà
En déduire que, si l'espace vectoriel est de dimension finie , la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes est constante à partir d'un rang inférieur ou égal à la dimension . En particulier les noyaux , sont égaux.
c. Démontrer que, si l'endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie , est tel qu'il existe un entier supérieur ou égal à , pour lequel l'endomorphisme est nul ( ), l'endomorphisme est nul ( ).
L'endomorphisme est dit nilpotent.

PREMIÈRE PARTIE

Le but de cette partie est d'établir des propriétés des endomorphismes recherchés et de donner un exemple.

I-1. Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par :

Soit un réel donné.
a. Étant donné un entier naturel , soit un entier naturel inférieur ou égal à l'entier . Démontrer que, s'il existe un endomorphisme de l'espace vectoriel , tel que
l'endomorphisme commute avec :
En remarquant que le sous-espace vectoriel est égal à , démontrer que est stable par l'endomorphisme de ; soit la restriction de l'endomorphisme à . Démontrer la relation :
b. Démontrer que, s'il existe un endomorphisme de l'espace vectoriel , tel que
l'endomorphisme commute avec :
En déduire que, pour tout entier naturel , le sous-espace vectoriel est stable par l'endomorphisme et que, si est la restriction de l'endomorphisme à , il vient :
c. Soit un endomorphisme de l'espace des polynômes réels tel que :
i/ Soit un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel de dimension stable par l'endomorphisme . Démontrer que l'endomorphisme , restriction de à , est nilpotent.
En déduire que le sous-espace vectoriel est égal à . Déterminer ensuite tous les sous-espaces vectoriels de (de dimension finie ou non) stables par .
ii/ Démontrer que, pour qu'un sous-espace vectoriel de soit stable par l'endomorphisme , il faut et il suffit qu'il soit stable par .
I-2. Une application immédiate : le cas :
a. À quelle condition nécessaire sur le réel existe-t-il un endomorphisme de l'espace vectoriel tel que
b. Soit un réel strictement négatif ( ), déduire des résultats précédents les deux propriétés :
. Il n'existe pas d'endomorphisme de tel que :
. Il n'existe pas d'endomorphisme de tel que :

I-3. Une représentation matricielle simple de :

Soient un entier naturel supérieur ou égal à un réel.
Matrice : soit la matrice carrée d'ordre définie par les relations suivantes : ses coefficients , sont définis par les relations :
C'est-à-dire :
a. Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie tel que l'endomorphisme soit nul sans que l'endomorphisme le soit :
Démontrer qu'il existe un vecteur de l'espace vectoriel tel que la famille soit libre. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme dans la base ?
b. En déduire qu'il existe une base de l'espace vectoriel pour laquelle la matrice associée à l'endomorphisme est la matrice . Que vaut la matrice associée à l'application dans cette base ?

I-4. Un exemple :

Dans cette question l'entier est égal à 2 .
a. Démontrer que les seuls endomorphismes de qui commutent avec l'endomorphisme sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en :
sont trois réels.
b. En déduire qu'il existe des endomorphismes de qui vérifient la relation suivante :
Déterminer les matrices carrées d'ordre 3 qui vérifient la relation suivante :

DEUXIÈME PARTIE

L'objet de cette partie est d'étudier le cas où le réel est nul. Dans cette partie l'entier est supposé donné supérieur ou égal à 1 .
II-1. Existence d'un endomorphisme tel que :
a. Montrer que, s'il existe un endomorphisme de l'espace vectoriel tel que , alors l'endomorphisme est nilpotent et le noyau de l'endomorphisme a une dimension au moins égale à .
b. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme de l'espace vectoriel tel que .
c. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme de l'espace vectoriel tel que
.
II-2. Existence d'un endomorphisme tel que :
Soit un entier supérieur ou égal à et un entier supérieur ou égal à . Soit un endomorphisme de l'espace vectoriel tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
a. Démontrer que les deux endomorphismes et sont surjectifs.
b. Démontrer que les sous-espaces vectoriels de , ont des dimensions finies lorsque l'entier est inférieur ou égal à l'entier .
c. Soit un entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à . Soit l'application définie dans l'espace vectoriel par la relation :
Démontrer que cette application est une application linéaire de dans l'espace vectoriel . Quel est le noyau de l'application ? Démontrer que l'application est surjective ( ).
En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces vectoriels et . Quelle est la dimension de l'espace vectoriel en fonction de la dimension de l'espace vectoriel ker ?
d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les entiers et pour qu'il existe au moins un endomorphisme de l'espace vectoriel tel que . Retrouver le résultat de la question II-1.c.

TROISIÈME PARTIE

L'entier strictement positif est supposé fixé. Dans cette partie, l'espace vectoriel est muni de la base définie à la question I-3.b. La matrice associée à l'application est la matrice ; la matrice associée à l'endomorphisme , est désignée par le même symbole .
Étant donné un réel supposé strictement positif ( ), soit l'application de dans l'espace des matrices carrées réelles d'ordre qui, au réel associe la matrice définie par la relation suivante :
La matrice est le produit k-fois avec elle-même de la matrice .
III-1. Dérivée de l'application :
a. Démontrer que, pour tout réel, la matrice est inversible et que son inverse,
noté , s'écrit sous la forme suivante :
Déterminer les fonctions (bien sùr : ).
b. Démontrer que l'application de dans l'ensemble des matrices, réelles, carrées, d'ordre est dérivable ; exprimer sa dérivée à l'aide des matrices et .
c. Démontrer que, pour tout réel , la matrice , élevée à la puissance est nulle :
d. Calculer la fonction dérivée de la fonction au moyen des matrices et .
Étant donné un entier naturel donné, déduire des résultats précédents l'expression de la fonction dérivée de la fonction à l'aide de l'entier et des matrices et .
III-2. Matrice :
Étant donné un réel , soit la matrice définie par la relation suivante :
La matrice est la matrice élevée à la puissance .
a. Démontrer qu'étant donnés deux réels et le produit des matrices et est égal à la matrice :
b. Démontrer que la fonction est dérivable et que sa dérivée est définie sur la droite réelle par la relation suivante :
c. Dans cette question le réel est égal à 1 ; démontrer que la dérivée seconde de la fonction est nulle : pour tout réel . En déduire la relation :

III-3. Existence de l'endomorphisme :

a. Soit un réel strictement positif ( ) ; en utilisant les résultats de la question
précédente et en remarquant la relation suivante
démontrer qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre telle que
Exprimer cette matrice avec une matrice . En déduire l'existence d'un endomorphisme de tel que :
b. Retrouver les matrices obtenues à la question I-4.

QUATRIÈME PARTIE

IV-1. Un développement en série entière :

a. Soit la fonction définie sur la demi-droite [ [ par la relation :
Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont une solution est cette fonction .
b. En déduire qu'il existe un intervalle ouvert ] [ dans lequel la fonction est la somme d'une série entière de terme général . Déterminer le rayon de convergence et les coefficients .
éà
c. Déterminer les valeurs des réels . définis par la relation suivante :
IV-2 Existence d'un endomorphisme de tel que où est strictement positif :
Soit un réel strictement positif donné ( ).
a. Soit l'application définie dans par la relation :
Démontrer que est un endomorphisme de .
b. Calculer pour tout polynôme de son image par l'application composée .
c. En déduire l'existence d'un endomorphisme de qui vérifie la relation suivante :
d. En déduire, pour tout entier naturel , l'existence d'un endomorphisme de l'espace vectoriel tel que la relation ci-dessous ait lieu :
Exprimer l'endomorphisme comme un polynôme de l'endomorphisme . Retrouver les matrices obtenues à la question I-4.

FIN DU PROBLÈME

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